1、第四章第四章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 章末复习提升章末复习提升 要点一 指数、对数的运算 指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数 指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的. 对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的 三个运算性质并结合对数恒等式、 换底公式是对数计算、 化简、 证明常用的技巧. 【例 1】 (1)化简： a 4 38a 1 3b 4b 2 32 3 aba 2 3 12 3 b a 3 ab； (2)计算： lg 1 4lg 25 100 1 2. 解 (1)原式 a 1 3（
2、a8b） （2b 1 3）22a 1 3b 1 3（a 1 3）2 a 1 3 a 1 32b 1 3 a 1 3b 1 3a 1 3（a8b） a8b a 1 3a 1 3 b 1 3a 3 b. (2)原式(lg 2 2lg 52)1001 2 lg 1 2252 10 lg 10 21021020. 【训练 1】 (1)化简：( 8)2 3( 3 102) 9 2 105； (2)计算：lg 5 22lg 2 1 2 1 . 解 (1)原式 2 3 2 2 3 10 2 3 9 2 10 5 2 2 1103105 22 110 1 2 10 2 . (2)lg 5 22lg 2 1 2
3、 1 lg 5lg 22lg 22 lg 5lg 22lg 1021. 要点二 指数函数、对数函数的图象问题函数图象的画法 画法 应用范围 画法技巧 基本函 数法 基本初等函数 利用一次函数、反比例函数、二次函数、指 数函数、对数函数的有关知识，画出特殊点 (线)，直接根据函数的图象特征作出图象 变换法 与基本初等函数有关联的 函数 弄清所给函数与基本函数的关系， 恰当选择 平移、对称等变换方法，由基本函数图象变 换得到函数图象 描点法 未知函数或较复杂的函数 列表、描点、连线 【例 2】 函数 y2log4(1x)的图象大致是( ) 答案 C 解析 法一 当 x0 时，y0，故可排除选项 A
4、，由 1x0，得 x1，即函数 的定义域为(，1)，排除选项 B，又易知函数在其定义域上是减函数，故选 C. 法二 函数 y2log4(1x)的图象可认为是由 ylog4x 的图象经过如下步骤变换 得到的：(1)函数 ylog4x 的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 2 倍， 得到函数 y2log4x 的图象； (2)把函数 y2log4x 的图象关于 y 轴对称得到函 数 y2log4(x)的图象；(3)把函数 y2log4(x)的图象向右平移 1 个单位，即可 得到 y2log4(1x)的图象，故选 C. 【训练 2】 在同一直角坐标系中，函数 f(x)xa(x0)，g(x)lo
5、gax 的图象可能 是( ) 答案 D 解析 幂函数 f(x)xa的图象不过(0， 1)点， 故 A 错； B 项中由对数函数 f(x)logax 的图象知 0a1，而此时幂函数 f(x) xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故 C 错. 要点三 大小比较问题 数的大小比较常用方法： (1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函 数、对数函数的图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用.常用的方 法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法. (2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函 数、对数函数的函数值，然后利用该函
6、数的单调性比较. (3)比较多个数的大小时， 先利用“0”和“1”作为分界点， 即把它们分为“小于0”， “大于或等于 0 且小于或等于 1”，“大于 1”三部分，再在各部分内利用函数 的性质比较大小. 【例 3】 设 alog2，blog1 2 ，c 2，则( ) A.abc B.bac C.acb D.cba 答案 C 解析 因为2， 所以alog21， blog1 2 1， 所以0 21， 即0ccb. 【训练 3】 设 alog1 23，b 1 3 0.2 ，c2 1 3，则( ) A.abc B.cba C.cab D.bac 答案 A 解析 alog1 230，0b 1 3 0.2
7、 1， 故有 ab0的零点个数是_； (2)已知函数 f(x) |x|，xm， x22mx4m，xm，其中 m0.若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_. 答案 (1)2 (2)(3，) 解析 (1)当x0时， 由f(x)0， 即x220， 解得x 2或x 2.因为x0， 所以 x 2. 法一 (函数单调性法)当 x0 时，f(x)2x6ln x. 而 f(1)216ln 140，所以 f(1) f(3)0 时，由 f(x)0，得 2x6ln x0， 即 ln x62x. 如图，分别作出函数 yln x 和 y62x 的图象. 显然，由图可知，
8、两函数图象只有一个交点，且在 y 轴的右侧，故当 x0 时，f(x) 0 只有一个解. 综上，函数 f(x)共有 2 个零点. (2)如图，当 xm 时，f(x)|x|. 当 xm 时，f(x)x22mx4m， 在(m，)为增函数. 若存在实数 b，使方程 f(x)b 有三个不同的根， 则 m22m m4m|m|. m0，m23m0，解得 m3. 【训练 4】 已知关于 x 的方程 a 4xb 2xc0(a0)，常数 a，b 同号，b，c 异号，则下列结论中正确的是( ) A.此方程无实根 B.此方程有两个互异的负实根 C.此方程有两个异号实根 D.此方程仅有一个实根 答案 D 解析 由常数
9、a，b 同号，b，c 异号，可得 a，c 异号，令 2xt，则方程变为 at2 btc0，t0，由于此方程的判别式 b24ac0，故此方程有 2 个不等实 数根，且两根之积为c a5）. 假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列 问题： (1)写出利润函数 yf(x)的解析式(利润销售收入总成本)； (2)要使工厂有盈利，求产量 x 的取值范围； (3)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？ 解 (1)由题意得 G(x)2.8x. f(x)R(x)G(x) 0.4x23.2x2.8（0 x5）， 8.2x（x5）. (2)当 0 x5 时， 由0.4x23.2x2
10、.80 得 x28x70， 解得 1x7，15 时，由 8.2x0，得 x8.2， 所以 5x8.2. 综上，当 1x0， 即当产量 x 大于 100 台，小于 820 台时，能使工厂有盈利. (3)当 0 x5 时，函数 f(x)0.4(x4)23.6， 当 x4 时，f(x)有最大值为 3.6； 当 x5 时，函数 f(x)单调递减， f(x)f(5)3.2(万元). 综上，当工厂生产 4 百台产品时，可使盈利最多，为 3.6 万元. 【训练 5】 某化工厂每一天中污水污染指数 f(x)与时刻 x(时)的函数关系为 f(x) |log25(x1)a|2a1，x0，24，其中 a 为污水治理
11、调节参数，且 a(0， 1). (1)若 a1 2，求一天中哪个时刻污水污染指数最低； (2)规定每天中 f(x)的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染 指数不超过 3，则调节参数 a 应控制在什么范围内？ 解 (1)因为 a1 2，则 f(x) log25（x1）1 2 22. 当 f(x)2 时，log25(x1)1 20， 得 x1251 25， 即 x4.所以一天中早上 4 点该厂的污水污染指数最低. (2)设 tlog25(x1)， 则当 0 x24 时，0t1. 设 g(t)|ta|2a1，t0，1， 则 g(t) t3a1，0ta， ta1，at1， 显然 g(t)在0，a上是减函数，在(a，1上是增函数， 则 f(x)maxmaxg(0)，g(1)， 因为 g(0)3a1，g(1)a2， 则有 g（0）3a13， g（1）a23， 解得 a2 3， 又 a(0，1)，故调节参数 a 应控制在 0，2 3 内.