1、第三章第三章 函数的概念与性质函数的概念与性质 章末复习课章末复习课 一、求函数的定义域、值域 1求函数定义域的常用依据是分母不为 0，偶次根式中被开方数大于或等于 0 等，由几个式 子构成的函数，其定义域是使各式子有意义的集合的交集；函数的值域是在函数的定义域下 函数值的取值范围，一般是利用函数的图象或函数的单调性求值域 2掌握集合的运算，解简单的不等式，提升逻辑推理和数学抽象素养 例 1 (1)函数 f(x) 2x2 1x(2x1) 0的定义域为( ) A. ，1 2 B. 1 2，1 C. 1 2， 1 2 D. ，1 2 1 2，1 答案 D 解析 由题意知 1x0， 2x10， 解得
2、 x1 且 x1 2， 即 f(x)的定义域是 ，1 2 1 2，1 . (2)已知函数 yf(x1)的定义域是1,2，则 yf(13x)的定义域为( ) A. 1 3，0 B. 1 3，3 C0,1 D. 1 3，1 答案 C 解析 由 yf(x1)的定义域是1,2， 得 x12,1，即 f(x)的定义域是2,1， 令213x1，解得 0 x1，即 yf(13x)的定义域为0,1 反思感悟 求函数定义域的类型与方法 (1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合 (2)常见求定义域的形式：根式，根号下非负；分式，分母不为 0；0 次幂，底数不为 0. (3)复合函数问
3、题： 若 f(x)的定义域为a，b，f(g(x)的定义域应由 ag(x)b 解出； 若 f(g(x)的定义域为a，b，则 f(x)的定义域为 g(x)在a，b上的值域 注意：f(x)中的 x 与 f(g(x)中的 g(x)地位相同；定义域所指永远是 x 的范围 跟踪训练 1 (1)若函数 yf(x)的定义域是2,4，则函数 g(x)f(x)的定义域是( ) A4,4 B4,2 C4，2 D2,4 答案 B 解析 由2x4，得4x2. 所以函数 g(x)f(x)的定义域是4,2 (2)函数 y 5x x1 1 x29的定义域为_ 答案 x|1x5 且 x3 解析 解不等式组 5x0， x10，
4、x290， 得 x5， x1， x 3， 故函数的定义域是x|1x5 且 x3 二、函数的图象 1会根据函数的解析式及性质判断函数的图象，利用函数的图象可以直观观察函数值域、最 值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象 2掌握简单的基本函数图象，提升直观想象和数据分析素养 例 2 已知函数 f(x)|x22x3|. (1)画出函数图象并写出函数的单调区间； (2)求集合 Mm|使方程 f(x)m 有四个不相等的实数根 解 (1)当x22x30，即1x3 时，函数 f(x)x22x3(x1)24， 当x22x30，即 x3 时，函数 f(x)x22x3(x1)24，
5、 即 f(x) x124，1x3， x124，x3 的图象如图所示， 单调递增区间为1,1和3， )， 单调递减区间为(，1)和(1,3) (2)由题意可知，函数 yf(x)与 ym 的图象有四个不同的交点，则 0m4. 故集合 Mm|0m0，k0) 对称：yf(x)yf(x)； yf(x)yf(x)； yf(x)yf(x) 特别提醒：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图 跟踪训练 2 已知函数 f(x) x，x0， x22x，x0， 方程 f2(x)bf(x)0，b(0,1)，则方程的根 的个数是( ) A2 B3 C4 D5 答案 D 解析 因为 f2(x)bf(x)0， 所以f(x)0
6、或f(x)b， 作函数f(x) x，x0， x22x，x0 的图象如图， 结合图象可知， f(x)0 有 2 个不同的根， f(x)b(0bf(52m)，求 m 的取值范围 解 (1)函数 f(x)是奇函数 证明：函数 f(x)的定义域为(，0)(0，)， 因为 f(x)x 21 x x 21 x f(x)， 所以函数 f(x)是奇函数 (2) 函数 f(x)在(1，)上单调递增 证明：任取 x1，x2(1，)且 x1x2，则 f(x1)f(x2)x 2 11 x1 x 2 21 x2 x 2 1x2x2x1x 2 2x1 x1x2 x1x2x1x2x1x2 x1x2 x1x2x1x21 x1
7、x2 ， 因为 x1x21，所以 x1x20，x1x210，x1x20， 所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)， 所以函数 f(x)在(1，)上单调递增 (3)由(2)知函数 f(x)在(1，)上单调递增，所以 3m52m1，解得 1m2， 所以 m 的取值范围为(1,2) 反思感悟 (1)解决有关函数性质的综合应用问题的方法就是根据函数的奇偶性解答或作出 图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值 (2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意根据解题需要给 x 灵活赋值 跟踪训练 3 已知函数 f(x)mx 22 3xn 是奇函数，且 f(2)5 3. (1)求
8、实数 m 和 n 的值； (2)求函数 f(x)在区间2，1上的最值 解 (1)f(x)是奇函数，f(x)f(x)， mx22 3xn mx22 3xn mx22 3xn. 比较得 nn，n0. 又 f(2)5 3， 4m2 6 5 3，解得 m2. 实数 m 和 n 的值分别是 2 和 0. (2)由(1)知 f(x)2x 22 3x 2x 3 2 3x. 任取 x1，x22，1，且 x1x2， 则 f(x1)f(x2)2 3(x1x2) 1 1 x1x2 2 3(x1x2) x1x21 x1x2 . 2x1x21，x1x21，x1x210， f(x1)f(x2)0，即 f(x1)20 时，
9、年销售总收入为 260 万元记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元(年利 润年销售总收入一年总投资) (1)求 y(万元)与 x(件)的函数关系式； (2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？ 解 (1)由题意得，当 x20 时，y(33xx2)x100 x232x100， 当 x20 时，y260100 x160 x， 故 y x232x100，020 (xN*) (2)当 020 时，160 x140， 故当年产量为 16 件时，所得年利润最大，最大年利润为 156 万元 反思感悟 能够将实际问题转化为熟悉的函数模型，特别注意实际问题与自变量取值范围的
10、 联系 跟踪训练 4 某村充分利用自身资源，大力发展养殖业以增加收入计划共投入 80 万元，全 部用于甲、乙两个项目，要求每个项目至少要投入 20 万元在对市场进行调研时，发现甲项 目的收益 y1与投入 x(单位：万元)满足 y1 5 x20，20 x36， 50，36x60， 乙项目的收益 y2与投入 x(单位：万元)满足 y21 2x20. (1)当甲项目的投入为 25 万元时，求甲、乙两个项目的总收益； (2)问甲、乙两个项目各投入多少万元时，总收益最大？ 解 (1)当甲投入 25 万元时，乙投入 55 万元， 甲、乙两个项目的总收益为(5 2520) 1 25520 92.5， 故甲、
11、乙两个项目的总收益为 92.5 万元 (2)设甲投入 x 万元，则乙投入(80 x)万元， 由 x20， 80 x20， 解得 20 x60. 甲项目的收益为 5 x20，20 x36， 50，36x60， 乙项目的收益为1 2(80 x)2060 1 2x， 甲、乙两个项目的总收益为 f(x) 5 x1 2x80，20 x36， 1101 2x，36x60. 当 20 x36 时，f(x)1 2( x5) 292.5， 当 x5，即 x25 时，f(x)的最大值为 92.5； 当 36x60 时，f(x)1101 2x 单调递减， 当 x36 时，f(x)的最大值为 92， 综上，当 x25
12、 时，f(x)的最大值为 92.5， 故甲、乙两个项目分别投入 25 万元、55 万元时，总收益最大 1函数 y 2x1 34x的定义域为( ) A. 1 2， 3 4 B. 1 2， 3 4 C. ，1 2 D. 1 2，0 (0，) 答案 B 解析 由 2x10， 34x0， 解得1 2x 3 4， 所以函数 y 2x134x的定义域为 1 2， 3 4 . 2(2020 天津)函数 y 4x x21的图象大致为( ) 答案 A 解析 令 f(x) 4x x21， 则 f(x)的定义域为 R， 且 f(x) 4x x21f(x)， 所以函数为奇函数，排除 C，D. 又当 x1 时，f(1)
13、4 22，排除 B. 3已知定义域为 R 的奇函数 f(x)满足 f x3 2 f 1 2x ，且当 0 x1 时，f(x)x 3，则 f 5 2 等于( ) A27 8 B1 8 C. 1 8 D. 27 8 答案 B 解析 由 f x3 2 f 1 2x 知，函数 f(x)关于 x1 对称，所以 f 5 2 f 1 2 f 1 2 1 8. 4 设某公司原有员工 100 人从事产品 A 的生产， 平均每人每年创造产值 t 万元(t 为正常数) 公 司决定从原有员工中分流 x(0 x100)人去进行新开发的产品 B 的生产，分流后，继续从事产 品A 生产的员工平均每人每年创造的产值在原有基础上增长了 1.2x%.若保证产品A的年产值 不减少，则最多能分流的人数是_ 答案 16 解析 由题意知分流前产品 A 的年产值为 100t 万元，分流 x 人后，产品 A 的年产值为(100 x)(11.2x%)t 万元，故(100 x)(11.2x%)t100t 且 0 x100，xN，解得 0 x50 3 ，所以 x 的最大值为 16.