1、第四章第四章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 章末复习课章末复习课 一、指数、对数的运算 1指数、对数的运算主要考查对数与指数的互化，对数、指数的运算性质以及换底公式等， 会利用运算性质进行化简、计算、证明 2掌握基本运算性质，重点提升数学运算素养 例 1 计算： (1) 1 1 3 2 13 1 33+7103; 823 - (2)log20.25ln e 2 4 log 3 2 lg 42lg 5424. 解 (1) 1 1 3 2 13 1 33+7103 823 - 1 3 2 3 2 32 3 1 3 27 +1 8 1 32 3 1 3 3 33 +1= 22 - (2)lo
2、g20.25ln e 2 4 log 3 2 lg 42lg 5424 log21 4 4 2 1 log 3 2 lne +2lg 4lg 52424 21 281lg 1002 159 2 . 反思感悟 指数、对数的运算应遵循的原则 指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算， 其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的对数运算首先注意公式应 用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换 底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧 跟踪训练 1 计算：(2 018)03 1 2 9 4 (lg 4lg 25)
3、的值是_ 答案 5 解析 原式132 3lg 1001225. 二、指数、对数函数的图象及应用 1 指数函数、 对数函数的图象及应用有两个方面： 一是已知函数解析式求作函数图象， 即“知 式求图”；二是判断方程的根的个数时，通常不具体解方程，而是转化为判断指数函数、对 数函数等图象的交点个数问题 2掌握指数函数、对数函数图象的作法以及简单的图象平移翻折变换，提升直观想象和逻辑 推理素养 例 2 已知 a0，且 a1，则函数 f(x)ax和 g(x)loga 1 x 的图象只可能是( ) 答案 C 解析 函数 g(x)的定义域是(，0)，排除 A，B； 若 0a1，则 f(x)ax是增函数， 此
4、时 g(x)loga 1 x 是增函数，C 满足 反思感悟 指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解 不等式的工具，所以要能熟练画出这两类函数图象，并会进行平移、对称、翻折等变换 跟踪训练 2 对数函数 ylogax(a0 且 a1)与二次函数 y(a1)x2x 在同一坐标系内的图 象可能是( ) 答案 A 解析 若 0a1，则 ylogax 在(0，)上是增函数， 函数 y(a1)x2x 图象开口向上，且对称轴 x 1 2a1在 y 轴右侧， 因此 B 项不正确，只有选项 A 满足 三、指数、对数性质的应用 1以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及
5、利用性质进行大小比较、方程 和不等式求解等在解含对数式的方程或不等式时，不能忘记对数中真数大于 0，以免出现 增根或扩大范围 2掌握指数函数、对数函数的图象及性质，重点提升数学运算和逻辑推理素养 例 3 (1)设 alog2， 1 2 =log ,b c 2，则( ) Aabc Bbac Cacb Dcba 答案 C 解析 alog2log221， 11 22 log log 1= ,b c 21 2，即 0ccb. (2)已知 a0，a1 且 loga3loga2，若函数 f(x)logax 在区间a,3a上的最大值与最小值之差 为 1. 求 a 的值； 若 1x3，求函数 y(logax)
6、2logax2 的值域 解 因为 loga3loga2， 所以 f(x)logax 在a,3a上单调递增 又 f(x)在a,3a上的最大值与最小值之差为 1， 所以 loga(3a)logaa1， 即 loga31， 所以 a3. 函数 y(log3x)2log3x2 (log3x)21 2log3x2 log3x1 4 231 16. 令 tlog3x， 因为 1x3， 所以 0log3x1， 即 0t1. 所以 y t1 4 231 16 31 16， 5 2 ， 所以所求函数的值域为 31 16， 5 2 . 反思感悟 要熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质方程、不等式的求解可利用单调
7、 性进行转化，对含参数的问题进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现 增根；大小比较问题可直接利用单调性和中间值解决 跟踪训练 3 若 0 xy1，则( ) A3y3x Blogx3logy3 Clog4xlog4y D. 1 4 x 1 4 y 答案 C 解析 因为 0 xy1，则 对于 A，函数 y3x在 R 上单调递增，故 3x3y，A 错误； 对于 B，根据底数 a 对对数函数 ylogax 的影响：当 0a1 时，在 x(1，)上“底小图 高”因为 0 xylogy3，B 错误； 对于 C，函数 ylog4x 在(0，)上单调递增，故 log4x 1 4 y，D 错误
8、四、函数的零点 1函数的零点主要考查零点个数以及零点所在区间，主要利用了转化思想，把零点问题转化 成函数与 x 轴交点以及两函数图象交点问题 2掌握函数零点存在定理及转化思想，提升逻辑推理和直观想象素养 例 4 (1)设函数 f(x)log2x2x3，则函数 f(x)的零点所在的区间为( ) A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4) 答案 B 解析 因为函数 f(x)log2x2x3， 所以 f(1)log2121310， 所以根据函数零点存在定理可知在区间(1,2)内函数存在零点 (2)已知函数 f(x) exa，x0， 3x1，x0 (aR)，若函数在 R 上有两个零点，则
9、a 的取值范围是 ( ) A(，1) B(，1) C(1,0) D1,0) 答案 D 解析 由 3x10 可得 x1 30，若函数在 R 上有两个零点，可转化为 e xa0 在 x0 上 有一个实根，即 ya 与 yex在 x0 上有一个交点，因为当 x0 时，ex(0,1；又 y a 与 yex在 x0 上有一个交点，所以 0a1，即1a0. 反思感悟 (1)函数的零点与方程的根的关系： 方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x)有零点 (2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与 x 轴的交点个数或转化成两个函数 图象的交点个数进行判断 跟踪
10、训练 4 (1)方程x 3 4 1 2 x的根 x 0所在的区间为( ) A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4) 答案 B 解析 将方程变形，并构造函数 f(x)x 3 4 1 2 x， 因为 yx 3 4和 y 1 2 x均为增函数， 所以 f(x)x 3 4 1 2 x也为增函数， 由函数解析式可得 f(0)0110， f(1)1 4 1 2 1 40， 由函数零点存在定理可得 f(x)x 3 4 1 2 x的零点在(1,2)内， 即方程x 3 4 1 2 x的根 x 0所在的区间为(1,2) (2)设x表示不超过实数 x 的最大整数，则方程 2x2x10 的根有( ) A
11、4 个 B3 个 C2 个 D1 个 答案 B 解析 方程 2x2x10 根的个数等价于 y2x1 与 y2x的图象的交点个数， 在平面直角坐标系中，分别作出两个函数的图象如图所示： 由图象可知，两个函数共有 3 个不同的交点， 方程 2x2x10 有 3 个根 1下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) Ae01 与 ln 10 B 1 3 82 与 log821 3 Clog331 与 313 Dlg 1002 与 1 2 100 =10 答案 D 解析 e01 与 ln 10，A 正确； 1 3 82 与 log821 3，B 正确； log331 与 313，C 正确； lg 1002 应该化为 102100，D 不正确 2设 a0.60.4，b0.40.6，c0.40.4，则 a，b，c 的大小关系为( ) Aabc Bbca Ccab Dcbc， b0.40.6，c0.40.4，由指数函数的性质可得 bc， bc0， f(10)0.910.10， f(9)f(10)0. 故函数 f(x)9 xlg x 的零点所在的区间为(9,10) 4若 loga2 30，且 a1)，则 a 的取值范围为_ 答案 a1 或 0a1 时，loga2 30，故不等式成立； 当 0a1 时，原不等式即 loga2 3logaa， 0a1 或 0a2 3.