1、2021 年四川省绵阳市江油市八校联考中考数学三诊试卷年四川省绵阳市江油市八校联考中考数学三诊试卷 一选择题： （本大题共一选择题： （本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分分.每小题只有一个选项符合题目要求）每小题只有一个选项符合题目要求） 1 （3 分）3 的相反数是（ ） A3 B 1 3 C3 D3 2 （3 分）下列各项是一元二次方程的是（ ） Axx31 B2x1a Cx2x+10 Dx2 2 2 =5 3 （3 分）由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的俯视图如图，小正方形中的数字表示该位置的小正 方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ） A B
2、C D 4 （3 分）下列说法中，正确的是（ ） A “打开电视，正在播放湖北新闻节目”是必然事件 B某种彩票中奖概率为 10%是指买十张一定有一张中奖 C “明天降雨的概率是 50%表示明天有半天都在降雨” D “掷一次骰子，向上一面的数字是 2”是随机事件 5 （3 分）下列命题： 若 a+b+c0，则 b24ac0； 若 b2a+3c，则一元二次方程 ax2+bx+c0 有两个不相等的实数根； 若 b24ac0，则二次函数 yax2+bx+c 的图象与坐标轴的交点的个数是 2 或 3； 若 ba+c，则一元二次方程 ax2+bx+c0 有两个不相等的实数根 其中正确的是（ ） A B C
3、 D 6 （3 分）用一把带有刻度的直角尺， 可以画出两条平行的直线 a 与 b，如图（1） 可以画出AOB 的平分线 OP，如图（2） 可以检验工件的凹面是否成半圆，如图（3） 可以量出一个圆的半径，如图（4） 上述四个方法中，正确的个数是（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 7 （3 分）关于 x 的方程（m1）x2+x+m2+2m30 的一个根是 0，则 m 的值是（ ） A7 B3 C1 或3 D0 8 （3 分）如图，ABCDEF 是中心为原点 O，顶点 A，D 在 x 轴上，半径为 4 的正六边形，则顶点 F 的坐标 为（ ） A （2，23） B （2，2） C （2，
4、23） D （1，3） 9 （3 分）如图，点 C 为扇形 OAB 的半径 OB 上一点，将OAC 沿 AC 折叠，点 O 恰好落在 上的点 D 处，且 ： =1：3（ 表示的长） ，若将此扇形 OAB 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长 的比为（ ） A1：3 B1： C1：4 D2：9 10 （3 分）一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数从某时刻开始 4min 内只进 水不出水， 从第 4min 到第 24min 内既进水又出水， 从第 24min 开始只出水不进水， 容器内水量 y （单位： L）与时间 x（单位：min）之间的关系如图所示，则图中 a 的值是（
5、 ） A32 B34 C36 D38 11 （3 分） 九章算术中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几 何？”其大意是：今有人合伙买羊， 若每人出 5 钱， 还差 45 钱；若每人出 7 钱， 还差 3 钱，问合伙人数、 羊价各是多少？此问题中羊价为（ ） A160 钱 B155 钱 C150 钱 D145 钱 12 （3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A（3，0） ，B（3，0） ，若在直线 yx+m 上存在点 P 满 足APB60，则 m 的取值范围是（ ） A6 53 m 6 + 53 B6 53 m 6 +53 C3 26 m 3 +26 D
6、3 26 m 3 +26 二填空题：本大题共二填空题：本大题共 6 小题，每题小题，每题 4 分，共分，共 24 分分.将答案填写在答题卡相应的横线上将答案填写在答题卡相应的横线上. 13 （4 分）分解因式：3x26xy+3y2 14 （4 分）若多项式 xy|m n|+（n2）x2y2+1 是关于 x，y 的三次多项式，则 mn 15 （4 分）如图，已知O 上三点 A，B，C，半径 OC1，ABC30，切线 PA 交 OC 延长线于点 P， 则 PA 的长为 16 （4 分）如图，小明向水平放置的大正方形内部区域随机抛掷一枚骰子，则骰子落在小正方形内部（阴 影）区域的概率为 17 （4
7、分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为旋转中心，将AOB 顺时针旋转 90得到A OB，其中点 A与点 A 对应，点 B与点 B 对应若点 A（1，2） ，B（3，0） ，则直线 AB的 解析式为 18 （4 分）如图为二次函数 yax2+bx+c 图象，直线 yt（t0）与抛物线交于 A，B 两点，A，B 两点横 坐标分别为 m，n根据函数图象信息有下列结论： abc0； 若对于 t0 的任意值都有 m1，则 a1； m+n1； m1； 当 t 为定值时，若 a 变大，则线段 AB 变长 其中，正确的结论有 （写出所有正确结论的番号） 三解答题：本大共三解答题：本大共 7 小
8、题，共计小题，共计 90 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19 （10 分）计算：22+（1tan30） 3 +（ 1 2） 2+（）0|3 2| 20 （10 分） （1）先化简，再求值： （x1）（ 2 +1 1） ，其中 x 为方程 x2+3x+20 的根 （2）若 m 为实数，关于 x 的方程 x24x+m20 的两个非负实数根为 a、b，求代数式（a21） （b2 1）的最大值 21 （10 分）某校为了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了部分学生，调查结果按性别整 理如下： 女生阅读时间人数统计表 阅读时间 t（小时
9、） 人数 占女生人数百分比 0t0.5 4 20% 0.5t1 m 15% 1t1.5 5 25% 1.5t2 6 n 2t2.5 2 10% 根据图表解答下列问题： （1）在女生阅读时间人数统计表中，m ，n ； （2）此次抽样调查中，共抽取了 名学生，学生阅读时间的中位数在 时间段； （3）从阅读时间在 22.5 小时的 5 名学生中随机抽取 2 名学生参加市级阅读活动，恰好抽到男女生各 一名的概率是多少？ 22 （15 分）如图，直线 yx2（k0）与 y 轴交于点 A，与双曲线 y= 在第一象限内交于点 B（3，b） ， 在第三象限内交于点 C （1）求双曲线的解析式； （2）直接写出
10、不等式 x2 的解集； （3）若 ODAB，在第一象限交双曲线于点 D，连接 AD，求 SAOD 23 （15 分）如图，在ABC 中，C90，BAC 的平分线交 BC 于点 D，点 O 在 AB 上，以 OA 为半 径的O 经过点 D，与 AB 交于点 E （1）求证：BD2BEBA； （2）若 cosB= 22 3 ，AE4，求 CD 24 （15 分）已知，如图，在ABC 中，AC 的垂直平分线与ABC 的角平分线交于点 D， （1）如图 1，判断BAD 和BCD 之间的数量关系，并说明理由； （2）如图 2，若DAC60时，探究线段 AB，BC，BD 之间的数量关系，并说明理由； （3
11、）如图 3，在（2）的条件下，DA 和 CB 的延长线交于点 E，点 F 是 CD 上一点且 DFAE，连接 AF 交 BD 于点 G，若 CE9，求 DG 的长 25 （15 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+2x+3 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左 侧） ，与 y 轴交于点 C，抛物线顶点为点 D （1）求 B，C，D 三点坐标； （2）如图 1，抛物线上有 E，F 两点，且 EFx 轴，当DEF 是等腰直角三角形时，求线段 EF 的长度； （3）如图 2，连接 BC，在直线 BC 上方的抛物线上有一动点 P，当PBC 面积最大时，点 P 坐标 参考
12、答案与试题解析参考答案与试题解析 一一选择题： （本大题共选择题： （本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分分.每小题只有一个选项符合题目要求）每小题只有一个选项符合题目要求） 1 （3 分）3 的相反数是（ ） A3 B 1 3 C3 D3 【解答】解：3 的相反数是 3， 故选：D 2 （3 分）下列各项是一元二次方程的是（ ） Axx31 B2x1a Cx2x+10 Dx2 2 2 =5 【解答】解：A、该方程未知数的最高次数是 3，属于一元三次方程，故本选项不符合题意 B、该方程中含有两个未知数，属于二元一次方程，故本选项不符合题意 C、该方程符合一元二次
13、方程的定义，故本选项符合题意 D、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意 故选：C 3 （3 分）由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的俯视图如图，小正方形中的数字表示该位置的小正 方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ） A B C D 【解答】解：由俯视图中的数字可得：主视图有 4 列，从左到右分别是 1，2，2，1 个正方形 故选：A 4 （3 分）下列说法中，正确的是（ ） A “打开电视，正在播放湖北新闻节目”是必然事件 B某种彩票中奖概率为 10%是指买十张一定有一张中奖 C “明天降雨的概率是 50%表示明天有半天都在降雨” D “掷一次骰子，向上一面的数字是 2”是随机事件
14、【解答】解：A、打开电视，正在播放湖北新闻节目”是随机事件，故 A 不符合题意； B、某种彩票中奖概率为 10%是指买十张有可能中奖，故 B 不符合题意； C、明天降雨的概率是 50%表示明天有可能降雨” ，故 C 不符合题意； D、 “掷一次骰子，向上一面的数字是 2”是随机事件，故 D 符合题意； 故选：D 5 （3 分）下列命题： 若 a+b+c0，则 b24ac0； 若 b2a+3c，则一元二次方程 ax2+bx+c0 有两个不相等的实数根； 若 b24ac0，则二次函数 yax2+bx+c 的图象与坐标轴的交点的个数是 2 或 3； 若 ba+c，则一元二次方程 ax2+bx+c0
15、有两个不相等的实数根 其中正确的是（ ） A B C D 【解答】解：a+b+c0， bac， b24ac（ac）24aca2+2ac+c24aca22ac+c2（ac）20，故错误； b2a+3c， b24ac（2a+3c）24ac4a2+12ac+9c24ac4a2+8ac+9c24（a+c）2+5c2， 上式两个项都是非负数， 故为非负， 当两项都为 0 时，ac0，此时不满足一元二次方程定义（a0） ，即0， 故0， 一元二次方程 ax2+bx+c0 有两个不相等的实数根，故正确； b24ac0， 抛物线与 x 轴有两个不同的交点， 二次函数 yax2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点
16、的个数是 3 或 2，故正确； ba+c，那么设 b2，a4，c2， b24ac4320， 一元二次方程 ax2+bx+c0 没有实数根，故错误 故选：C 6 （3 分）用一把带有刻度的直角尺， 可以画出两条平行的直线 a 与 b，如图（1） 可以画出AOB 的平分线 OP，如图（2） 可以检验工件的凹面是否成半圆，如图（3） 可以量出一个圆的半径，如图（4） 上述四个方法中，正确的个数是（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【解答】解：根据平行线的判定：同位角相等，两直线平行，可知正确； 可以画出AOB 的平分线 OP，可知正确； 根据 90的圆周角所对的弦是直径，可知正确； 此作
17、法正确 正确的有 4 个 故选：A 7 （3 分）关于 x 的方程（m1）x2+x+m2+2m30 的一个根是 0，则 m 的值是（ ） A7 B3 C1 或3 D0 【解答】解：把 x0 代入方程（m1）x2+x+m2+2m30，得 m2+2m30，解得 m1 或3 故选：C 8 （3 分）如图，ABCDEF 是中心为原点 O，顶点 A，D 在 x 轴上，半径为 4 的正六边形，则顶点 F 的坐标 为（ ） A （2，23） B （2，2） C （2，23） D （1，3） 【解答】解：连接 OF AOF= 360 6 =60，OAOF， AOF 是等边三角形， OAOF4 设 EF 交 y
18、 轴于 G，则GOF30 在 RtGOF 中， GOF30，OF4， GF2，OG23 F（2，23） 故选：C 9 （3 分）如图，点 C 为扇形 OAB 的半径 OB 上一点，将OAC 沿 AC 折叠，点 O 恰好落在 上的点 D 处，且 ： =1：3（ 表示的长） ，若将此扇形 OAB 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长 的比为（ ） A1：3 B1： C1：4 D2：9 【解答】解：连接 OD 交 AC 于 M 由折叠的知识可得：OM= 1 2OA，OMA90， OAM30， AOM60， 且 ： =1：3， AOB80 设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l， 80 180 =2r
19、， r：l2：9 故选：D 10 （3 分）一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数从某时刻开始 4min 内只进 水不出水， 从第 4min 到第 24min 内既进水又出水， 从第 24min 开始只出水不进水， 容器内水量 y （单位： L）与时间 x（单位：min）之间的关系如图所示，则图中 a 的值是（ ） A32 B34 C36 D38 【解答】解：由图象可知，进水的速度为：2045（L/min） ， 出水的速度为：5（3520）（164）3.75（L/min） ， 第 24 分钟时的水量为：20+（53.75）（244）45（L） ， a24+453.7536
20、故选：C 11 （3 分） 九章算术中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几 何？”其大意是：今有人合伙买羊， 若每人出 5 钱， 还差 45 钱；若每人出 7 钱， 还差 3 钱，问合伙人数、 羊价各是多少？此问题中羊价为（ ） A160 钱 B155 钱 C150 钱 D145 钱 【解答】解：设共有 x 人合伙买羊，羊价为 y 钱， 依题意，得：5 + 45 = 7 + 3 = ， 解得： = 21 = 150 故选：C 12 （3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A（3，0） ，B（3，0） ，若在直线 yx+m 上存在点 P 满 足APB60，
21、则 m 的取值范围是（ ） A6 53 m 6 + 53 B6 53 m 6 +53 C3 26 m 3 +26 D3 26 m 3 +26 【解答】解：如图，作等边三角形 ABE， A（3，0） ，B（3，0） ， OAOB3， E 在 y 轴上， 当 E 在 AB 上方时，作等边三角形 ABE 的外接圆Q，设直线 yx+m 与Q 相切，切点为 P，当 P 与 P1重合时 m 的值最大， 当 P 与 P1重合时，连接 QP1，则 QP1直线 yx+m， OA3， OE33， 设Q 的半径为 x，在 RtAOQ1中则 x232+（33 x）2， 解得 x23， EQAQPQ23， OQ= 3，
22、 由直线 yx+m 可知 ODOCm， DQm3，CD= 2m， ODCP1DQ，CODQP1D， QP1DCOD， = ，即 23 = 3 2 ， 解得 m= 3 +26， 当 E 在 AB 下方时，作等边三角形 ABE 的外接圆Q，设直线 yx+m 与Q 相切，切点为 P，当 P 与 P2重合时 m 的值最小， 当 P 与 P2重合时，同理证得 m= 3 26， m 的取值范围是3 26 m 3 +26， 故选：D 二填空题：本大题共二填空题：本大题共 6 小题，每题小题，每题 4 分，共分，共 24 分分.将答案填写在答题卡相应的横线上将答案填写在答题卡相应的横线上. 13 （4 分）分
23、解因式：3x26xy+3y2 3（xy）2 【解答】解：3x26xy+3y2， 3（x22xy+y2） ， 3（xy）2 故答案为：3（xy）2 14 （4 分）若多项式 xy|m n|+（n2）x2y2+1 是关于 x，y 的三次多项式，则 mn 0 或 8 【解答】解：多项式 xy|m n|+（n2）x2y2+1 是关于 x，y 的三次多项式， n20，1+|mn|3， n2，|mn|2， mn2 或 nm2， m4 或 m0， mn0 或 8 故答案为：0 或 8 15 （4 分）如图，已知O 上三点 A，B，C，半径 OC1，ABC30，切线 PA 交 OC 延长线于点 P， 则 PA
24、 的长为 3 【解答】解：连接 OA， ABC30， AOC2ABC60， 过点 A 作O 的切线交 OC 的延长线于点 P， OAP90， OAOC1， APOAtan601 3 = 3， 故答案为：3 16 （4 分）如图，小明向水平放置的大正方形内部区域随机抛掷一枚骰子，则骰子落在小正方形内部（阴 影）区域的概率为 1 2 【解答】解：设小正方形的边长为 1，则其面积为 1 圆的直径正好是大正方形边长， 根据勾股定理，其小正方形对角线为2，即圆的直径为2， 大正方形的边长为2， 则大正方形的面积为2 2 =2，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为1 2 故答案为：1 2 17 （4
25、 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为旋转中心，将AOB 顺时针旋转 90得到A OB，其中点 A与点 A 对应，点 B与点 B 对应若点 A（1，2） ，B（3，0） ，则直线 AB的 解析式为 yx+3 【解答】解：AOB 顺时针旋转 90得到AOB，其中点 A与点 A 对应，点 B与点 B 对应， 而点 A（1，2） ，B（3，0） ， 点 A（2，1） ，B（0，3） ， 设直线 AB的解析式为 ykx+b， 把 A（2，1） ，B（0，3）代入得2 + = 1 = 3 ，解得 = 1 = 3 ， 直线 AB的解析式为 yx+3 故答案为 yx+3 18 （4 分）如
26、图为二次函数 yax2+bx+c 图象，直线 yt（t0）与抛物线交于 A，B 两点，A，B 两点横 坐标分别为 m，n根据函数图象信息有下列结论： abc0； 若对于 t0 的任意值都有 m1，则 a1； m+n1； m1； 当 t 为定值时，若 a 变大，则线段 AB 变长 其中，正确的结论有 （写出所有正确结论的番号） 【解答】解：由图象可知，a0，c2， 对称轴 x= 2 = 1 2， ba0， abc0； 正确； A、B 两点关于 x= 1 2对称， m+n1， 正确； a0 时，当 a 变大，函数 yax2ax2 的开口变小， 则 AB 的距离变小， 不正确； 若 m1，n2， 由
27、图象可知 n1， 不正确； 当 a1 时，对于 t0 的任意值都有 m1， 当 a1 时，函数开口变小，则有 m1 的时候， 不正确； 故答案 三解答题：本大共三解答题：本大共 7 小题，共计小题，共计 90 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19 （10 分）计算：22+（1tan30） 3 +（ 1 2） 2+（）0|3 2| 【解答】解：原式4+（1 3 3 ） 3 +4+1（23） 4+3 1+4+1+3 2 23 2 20 （10 分） （1）先化简，再求值： （x1）（ 2 +1 1） ，其中 x 为方程 x2+3x+20 的根
28、（2）若 m 为实数，关于 x 的方程 x24x+m20 的两个非负实数根为 a、b，求代数式（a21） （b2 1）的最大值 【解答】解： （1）原式（x1） 21 +1 （x1） +1 1 （x+1） ， 当 x2 时，原式（2+1）1； （2）a，b 是关于 x 的一元二次方程 24x+m20 的两个非负实根， 可得 a+b4，abm20，164 （m2）0 解得：2m6， （a21） （b21） （ab）2（a2+b2）+1 （ab）2（a+b）2+2ab+1， （a21） （b21） （m2）216+2 （m2）+1 （m1）216， 2m6， 当 m6 时， （m1）2取最大值，最
29、大值为 25， 代数式（a21） （b21）的最大值 25169 21 （10 分）某校为了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了部分学生，调查结果按性别整 理如下： 女生阅读时间人数统计表 阅读时间 t（小时） 人数 占女生人数百分比 0t0.5 4 20% 0.5t1 m 15% 1t1.5 5 25% 1.5t2 6 n 2t2.5 2 10% 根据图表解答下列问题： （1）在女生阅读时间人数统计表中，m 3 ，n 30% ； （2）此次抽样调查中，共抽取了 50 名学生，学生阅读时间的中位数在 1t1.5 时间段； （3）从阅读时间在 22.5 小时的 5 名学生中随机抽取
30、2 名学生参加市级阅读活动，恰好抽到男女生各 一名的概率是多少？ 【解答】解： （1）女生总人数为 420%20（人） ， m2015%3，n= 6 20 100%30%， 故答案为：3，30%； （2）学生总人数为 20+6+5+12+4+350（人） ， 这组数据的中位数是第 25、26 个数据的平均数，而第 25、26 个数据均落在 1t1.5 范围内， 学生阅读时间的中位数在 1t1.5 时间段， 故答案为：50，1t1.5； （3）学习时间在 22.5 小时的有女生 2 人，男生 3 人 共有 20 种可能情况，则恰好抽到男女各一名的概率是12 20 = 3 5 22 （15 分）如
31、图，直线 yx2（k0）与 y 轴交于点 A，与双曲线 y= 在第一象限内交于点 B（3，b） ， 在第三象限内交于点 C （1）求双曲线的解析式； （2）直接写出不等式 x2 的解集； （3）若 ODAB，在第一象限交双曲线于点 D，连接 AD，求 SAOD 【解答】解： （1）点 B（3，b）在直线 yx2（k0）上， b321， B（3，1） ， 双曲线 y= 经过点 B， k313， 双曲线的解析式为 y= 3 ； （2）解 = 2 = 3 得 = 3 = 1或 = 1 = 3， C（1，3） ， 由图象可知，不等式 x2 的解集是1x0 或 x3； （3）ODAB， 直线 OD 的解
32、析式为 yx， 解 = = 3 ，解得 = 3 = 3或 = 3 = 3， D（3，3） ， 由直线 yx2 可知 A（0，2） ， OA2， SAOD= 1 2 2 3 = 3 23 （15 分）如图，在ABC 中，C90，BAC 的平分线交 BC 于点 D，点 O 在 AB 上，以 OA 为半 径的O 经过点 D，与 AB 交于点 E （1）求证：BD2BEBA； （2）若 cosB= 22 3 ，AE4，求 CD 【解答】 （1）证明：连接 OD，如图， AD 平分BAC， 4BAD， OAOD， OAD1， 14， ACOD， ODBC90， 即3+290， AE 为直径， ADE90
33、，即1+390， 12， 2BAD， 而DBEABD， BDEBAD， BD：BABE：BD， BD2BEBA； （2）AE4， OD2， 在 RtBOD 中，cosB= = 22 3 ， 设 BD22x，则 BO3x， OD=(3)2 (22)2=x， x2， BD42，BO6， ODAC， = ，即 42 = 6 2， CD= 42 3 24 （15 分）已知，如图，在ABC 中，AC 的垂直平分线与ABC 的角平分线交于点 D， （1）如图 1，判断BAD 和BCD 之间的数量关系，并说明理由； （2）如图 2，若DAC60时，探究线段 AB，BC，BD 之间的数量关系，并说明理由； （
34、3）如图 3，在（2）的条件下，DA 和 CB 的延长线交于点 E，点 F 是 CD 上一点且 DFAE，连接 AF 交 BD 于点 G，若 CE9，求 DG 的长 【解答】解： （1）BAD+BCD180，理由如下： 如图 1，过点 D 作 DGBC 于点 G，DHBA 于点 H， AC 的垂直平分线与ABC 角平分线的交于点 D， ADDC，ABDDBC， DHDG， RtADHRtCDG（HL） ， HADDCG， BAD+HAD180， BAD+DCG180， 即BAD+BCD180； （2）BDAB+BC，理由如下： 如图 2，在 BD 上截取 BFAB，连接 AF， 由（1）知BA
35、D+BCD180， ABC+DAC180， DAC60， ABC120， ABDDBC60， ABF 为等边三角形， ABAFBF，BAF60， ADDC， ADC 为等边三角形， ADAC，DAC60， DAFBAC， ABCAFD（SAS） ， DFBC， BDBF+DFAB+BC （3）由（2）知DACDBC60，如图 3，延长 FD 至点 M，使 DMDF， ACBADB， DMDF，DFAE， DMAE， DACADC60， ADMEAC120， ACAD， EACMDA（SAS） ， AMCE，MADECA， MADADB， DGAM， DFDM， AGGF， = 1 2 = 1
36、2 = 9 2 25 （15 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+2x+3 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左 侧） ，与 y 轴交于点 C，抛物线顶点为点 D （1）求 B，C，D 三点坐标； （2）如图 1，抛物线上有 E，F 两点，且 EFx 轴，当DEF 是等腰直角三角形时，求线段 EF 的长度； （3）如图 2，连接 BC，在直线 BC 上方的抛物线上有一动点 P，当PBC 面积最大时，点 P 坐标 【解答】解： （1）对于 yx2+2x+3，令 yx2+2x+30，解得 x3 或1，令 x0，则 y3， 故点 A、B、C 的坐标分别为（1，0） 、
37、 （3，0） 、 （0，3） ， 函数的对称轴为 x1，当 x1 时，yx2+2x+34， 故点 D 的坐标为（1，4） ， 故 B，C，D 三点坐标分别为（3，0） 、 （0，3） 、 （1，4） ； （2）DEF 是等腰直角三角形，EFx 轴， 则根据函数的对称性，只有EDF 为直角一种情况， 设点 E（x，x2+2x+3） ，点 F 和点 E 关于函数对称轴对称，故点 F（2x，x2+2x+3） ， 过点 D 作 DHEF 与点 H， DEF 是等腰直角三角形，故DHF 为等腰直角三角形， 故 HFDH，即1 2EF（yDyF） ， 则1 2（2xx）（4+x 22x3） ，解得 x1（舍去）或 0， 故 x0， 则 EF2xx2； （3）过点 P 作 PHy 轴交 BC 于点 H， 由点 B、C 的坐标得，直线 BC 的表达式为 yx+3， 设点 P 的坐标为（x，x2+2x+3） ，则点 H（x，x+3） ， 则PBC 面积SPHC+SPHB= 1 2PHOB= 1 2 3（x2+2x+3+x3）= 3 2x 2+9 2x， 3 2 0，故PBC 面积存在最大值，此时 x= 3 2， 故点 P（3 2， 15 4 ）