1、2021 年云南省昆明市安宁市中考数学二模试卷年云南省昆明市安宁市中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题只有一一个正确选项，每小题个小题，每小题只有一一个正确选项，每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 1的相反数是（ ） A B C D 221 世纪以来我国经济总量规模扩大了 10 倍，取得了举世瞩目的成就，2020 年我国国内生产总值首次突 破 1000000 亿元，达到 1016000 亿元数据 1016000 用科学记数法表示为（ ） A1.016106 B1.016105 C10.16105 D1016103 3如图所示的几何体的左视图是（
2、） A B C D 4下列运算正确的是（ ） Aa3+（a）3a6 B（a+b）2a2+b2 C（）0+（） 13 D（ab2）3a3b5 5若点 A（a，b）在反比例函数 y的图象上，则代数式 ab4 的值为（ ） A0 B2 C2 D6 6如图是甲、乙两名射击运动员某节训练课的 5 次射击成绩的折线统计图，下列判断正确的是（ ） A乙的最好成绩比甲高 B乙的成绩的平均数比甲小 C乙的成绩的中位数比甲小 D乙的成绩比甲稳定 7如图，分别以正五边形 ABCDE 的顶点 A，D 为圆心，以 AB 长为半径作，若 AB1，则阴影部 分图形的周长是（ ） A +1 B C+1 D 8我们将如图所示的
3、两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如 1，3，6，10）和“正方形数” （如 1，4，9，16），在小于 200 的数中，设最大的“三角形数”为 m，最大的“正方形数”为 n，则 m+n 的值为（ ） A33 B301 C386 D571 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9代数式在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 10如图，ABCDEFAB 于 E，EF 交 CD 于 F，已知15812，则2 11如图，在 x 轴，y 轴上分别截取 OA，OB，使 OAOB，再分别以点 A，B 为圆心，以大于AB
4、 长为半 径画弧，两弧交于点 P若点 P 的坐标为（a，2a3），则 a 的值为 12若 x1，x2是元二次方程 x24x50 的两根，则 x1 x 2的值为 13如图，O 为 RtABC 直角边 AC 上一点，以 OC 为半径的O 与斜边 AB 相切于点 D，交 OA 于点 E， 已知 BC，AC3则图中阴影部分的面积是 14正方形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，EA1，EB2，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转，使点 E 落在直线 BC 上的点 F 处，则 FB 的长度为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，共个小题，共 70 分）分） 15先化简，再求值：（1）
5、，其中 asin30 16如图，在AEC 和DFB 中，EF，点 A、B、C、D 在同一直线上，AEDF，ABCD，求证： CEBF 17随着生活水平的日益提高，人们越来越喜欢过节，节日的仪式感日渐浓烈，某校举行了“母亲节暖心 特别行动”，从中随机调查了部分同学的暖心行动，并将其分为 A，B，C，D 四种类型（分别对应送服 务、送鲜花、送红包、送话语）现根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图 请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题： （1）该校共抽查了多少名同学的暖心行动？ （2）请通过计算补全条形统计图和扇形统计图； （3）求出扇形统计图中扇形 B 的圆心角度数？ （4）
6、若该校共有 2400 名同学，请估计该校进行送鲜花行动的同学约有多少名？ 18某商店想购进 A、B 两种商品，已知每件 B 种商品的进价比每件 A 种商品的进价多 5 元，且用 300 元 购进 A 种商品的数量是用 100 元购进 B 种商品数量的 4 倍 （1）求每件 A 种商品和每件 B 种商品的进价分别是多少元？ （2）商店决定购进 A、B 两种商品共 50 件，A 种商品加价 5 元出售，B 种商品比进价提高 20%后出售， 要使所有商品全部出售后利润不少于 210 元，求 A 种商品至少购进多少件？ 19一个不透明的口袋里装着分别标有数字3，1，0，2 的四个小球，除数字不同外，小
7、球没有任何区 别，每次实验时把小球搅匀 （1）从中任取一球，求所抽取的数字恰好为负数的概率； （2）从中任取一球，将球上的数字记为 x，然后把小球放回；再任取一球，将球上的数字记为 y，试用 画树状图（或列表法）表示出点（x，y）所有可能的结果，并求点（x，y）在直线 yx1 上的概率 20如图，已知抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0），B（3，0）两点，与 y 轴交于 C 点，点 P 是抛物线上第一象限内的一个动点 （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴为 l，l 与 x 轴的交点为 D在直线 l 上是否存在点 M，使得四边形 CDPM 是平 行四边形？若存在，求
8、出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 21为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库 的土方施工任务该工程队有 A，B 两种型号的挖掘机，已知 3 台 A 型和 5 台 B 型挖掘机同时施工一小 时挖土 165 立方米；4 台 A 型和 7 台 B 型挖掘机同时施工一小时挖土 225 立方米每台 A 型挖掘机一小 时的施工费用为 300 元，每台 B 型挖掘机一小时的施工费用为 180 元 （1）分别求每台 A 型，B 型挖掘机一小时挖土多少立方米？ （2）若不同数量的 A 型和 B 型挖掘机共 12 台同时施工 4 小时，至少完成 1080 立
9、方米的挖土量，且总 费用不超过 12960 元，问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是 多少元？ 22如图，AB 是O 的弦，D 为半径 OA 的中点，过 D 作 CDOA 交弦 AB 于点 E，交O 于点 F，且 BC 是O 的切线， （1）求证：CECB； （2）连接 AF，BF，求 tanABF； （3）如果 CD15，BE10，sinA，求O 的半径 23如图 1，在矩形 ABCD 中，AB8，AD10，E 是 CD 边上一点，连接 AE，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠， 顶点 D 恰好落在 BC 边上点 F 处，延长 AE 交 BC 的延长线于点 G
10、 （1）求线段 CE 的长； （2）如图 2，M，N 分别是线段 AG，DG 上的动点（与端点不重合），且DMNDAM，设 DNx 求证四边形 AFGD 为菱形； 是否存在这样的点 N，使DMN 是直角三角形？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题只有一一个正确选项，每小题个小题，每小题只有一一个正确选项，每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 1的相反数是（ ） A B C D 【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案 解：的相反数是： 故选：B 221 世纪以来我国经济总量规模扩大了 10 倍，取得了
11、举世瞩目的成就，2020 年我国国内生产总值首次突 破 1000000 亿元，达到 1016000 亿元数据 1016000 用科学记数法表示为（ ） A1.016106 B1.016105 C10.16105 D1016103 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 解：将 1016000 用科学记数法表示为：1.016106 故选：A 3如图所示的几何体的左视图是（ ） A B C D 【
12、分析】根据简单组合体的三视图的画法可得答案 解：根据简单组合体的三视图的画法可知，其左视图是中间有一道横虚线的长方形， 因此选项 D 的图形比较符合题意， 故选：D 4下列运算正确的是（ ） Aa3+（a）3a6 B（a+b）2a2+b2 C（）0+（） 13 D（ab2）3a3b5 【分析】分别根据合并同类项法则，完全平方公式，任何非 0 数的 0 次幂等于 1、负整数指数幂的运算 法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可 解：Aa3+（a）30，故本选项不合题意； B（a+b）2a2+2ab+b2，故本选项不合题意； C（）0+（） 11+23，正确； D（ab2）3a3b6，故本选项不合题意
13、 故选：C 5若点 A（a，b）在反比例函数 y的图象上，则代数式 ab4 的值为（ ） A0 B2 C2 D6 【分析】先把点（a，b）代入反比例函数 y求出 ab 的值，再代入代数式进行计算即可 解：点（a，b）反比例函数 y上， b，即 ab2， 原式242 故选：B 6如图是甲、乙两名射击运动员某节训练课的 5 次射击成绩的折线统计图，下列判断正确的是（ ） A乙的最好成绩比甲高 B乙的成绩的平均数比甲小 C乙的成绩的中位数比甲小 D乙的成绩比甲稳定 【分析】利用折线统计图可得甲、乙两名射击运动员 5 次射击的成绩，把他们的最好成绩进行比较，即 可判断 A；利用平均数、中位数、方差的意
14、义分别求出他们的平均数、中位数、方差，即可判断 B、C、 D 解：由折线图可知，甲的 5 次射击成绩为 6，7，10，8，9，乙的 5 次射击成绩为 8，9，8，7，8， 109， 甲的最好成绩比乙高，故选项 A 错误，不符合题意； （6+7+10+8+9）8，（8+9+8+7+8）8， 乙的成绩的平均数与甲相等，故选项 B 错误，不符合题意； 甲的成绩按从小到大的顺序排列为：6，7，8，9，10，所以中位数为 8， 乙的成绩按从小到大的顺序排列为：7，8，8，8，9，所以中位数为 8， 乙的成绩的中位数与甲相等，故选项 C 错误，不符合题意； （68）2+（78）2+（88）2+（98）2+
15、（108）22， （78）2+3（88）2+（98）20.4， 20.4， 观察折线统计图可知： 乙的成绩比甲稳定，故选项 D 正确，符合题意 故选：D 7如图，分别以正五边形 ABCDE 的顶点 A，D 为圆心，以 AB 长为半径作，若 AB1，则阴影部 分图形的周长是（ ） A +1 B C+1 D 【分析】由五边形 ABCDE 可得出，ABBCCDDEEA1、AD108，利用弧长公式可求 出和的长度，再根据周长的定义，即可求解 解：五边形 ABCDE 为正五边形，AB1， ABBCCDDEEA1，AD108， 的长的长， 阴影部分图形的周长的长+的长+BC+1 故选：A 8我们将如图所示
16、的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如 1，3，6，10）和“正方形数” （如 1，4，9，16），在小于 200 的数中，设最大的“三角形数”为 m，最大的“正方形数”为 n，则 m+n 的值为（ ） A33 B301 C386 D571 【分析】由图形知第 n 个三角形数为 1+2+3+n，第 n 个正方形数为 n2，据此得出最大的三 角形数和正方形数即可得 解：由图形知第 n 个三角形数为 1+2+3+n，第 n 个正方形数为 n2， 当 n19 时，190200，当 n20 时，210200， 所以最大的三角形数 m190； 当 n14 时，n2196200，当 n15 时，
17、n2225200， 所以最大的正方形数 n196， 则 m+n386， 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9代数式在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 x2 【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案 解：代数式在实数范围内有意义， 则 x+20， 解得：x2 故答案为：x2 10如图，ABCDEFAB 于 E，EF 交 CD 于 F，已知15812，则2 3148 【分析】利用对顶角相等求出3，再由CFE90，可求出2 解：1 和3 是对顶角， 315812， EFAB， CFE90， 290
18、58123148 故答案为：3148 11如图，在 x 轴，y 轴上分别截取 OA，OB，使 OAOB，再分别以点 A，B 为圆心，以大于AB 长为半 径画弧，两弧交于点 P若点 P 的坐标为（a，2a3），则 a 的值为 3 【分析】根据作图方法可知点 P 在BOA 的角平分线上，由角平分线的性质可知点 P 到 x 轴和 y 轴的距 离相等，可得关于 a 的方程，求解即可 解：OAOB，分别以点 A，B 为圆心，以大于AB 长为半径画弧，两弧交于点 P， 点 P 在BOA 的角平分线上， 点 P 到 x 轴和 y 轴的距离相等， 又点 P 的坐标为（a，2a3）， a2a3， a3 故答案为
19、：3 12若 x1，x2是元二次方程 x24x50 的两根，则 x1 x 2的值为 5 【分析】利用根与系数的关系可得出 x1 x 25，此题得解 解：x1，x2是一元二次方程 x24x50 的两根， x1x2 5 故答案为：5 13如图，O 为 RtABC 直角边 AC 上一点，以 OC 为半径的O 与斜边 AB 相切于点 D，交 OA 于点 E， 已知 BC，AC3则图中阴影部分的面积是 【分析】首先利用勾股定理求出 AB 的长，再证明 BDBC，进而由 ADABBD 可求出 AD 的长度； 利用特殊角的锐角三角函数可求出A 的度数，则圆心角DOA 的度数可求出，在直角三角形 ODA 中
20、求出 OD 的长，最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积 解：在 RtABC 中，BC，AC3 AB2， BCOC， BC 是圆的切线， O 与斜边 AB 相切于点 D， BDBC， ADABBD2； 在 RtABC 中，sinA， A30， O 与斜边 AB 相切于点 D， ODAB， AOD90A60， tanAtan30， ， OD1， S阴影 故答案是： 14正方形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，EA1，EB2，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转，使点 E 落在直线 BC 上的点 F 处，则 FB 的长度为 2 或 4 【分析】先求出正方形的边长，再根据旋转变换只改变图形
21、的位置不改变图形的形状与大小可得 DF DE，根据正方形的性质可得 ADCD，ADCB90，然后利用“HL”证明 RtADE 和 RtCDF 全等，根据全等三角形对应边相等可得 CFAE，再分点 F 在 BC 上与 BC 的延长线上两种情况列式计算 即可得解 解：AE1，BE2， 正方形 ABCD 的边长为 ABAE+BE1+23， DE 绕点 D 旋转后点 E 落在点 F 处， DFDE， 四边形 ABCD 为正方形， ADCD，ADCB90， 在 RtADE 和 RtCDF 中， RtADERtCDF（HL）， CFAE1， 如图 1，点 F 在线段 BC 上时，BFBCCF312， 如图
22、 2，点 F 在 BC 的延长线上时，BFBC+CF3+14， 所以，F、B 两点的距离为 2 或 4 故答案为：2 或 4 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，共个小题，共 70 分）分） 15先化简，再求值：（1），其中 asin30 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案， 解：当 asin30时， 所以 a 原式 1 16如图，在AEC 和DFB 中，EF，点 A、B、C、D 在同一直线上，AEDF，ABCD，求证： CEBF 【分析】根据平行线的性质得出AD，根据全等三角形的判定定理得出AECDFB，根据全等 三角形的性质得出 CEBF 即可 【解答】证明：AEDF
23、， AD， ABCD， AB+BCCD+BC， 即 ACDB， 在AEC 与DFB 中， ， AECDFB（AAS）， CEBF 17随着生活水平的日益提高，人们越来越喜欢过节，节日的仪式感日渐浓烈，某校举行了“母亲节暖心 特别行动”，从中随机调查了部分同学的暖心行动，并将其分为 A，B，C，D 四种类型（分别对应送服 务、送鲜花、送红包、送话语）现根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图 请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题： （1）该校共抽查了多少名同学的暖心行动？ （2）请通过计算补全条形统计图和扇形统计图； （3）求出扇形统计图中扇形 B 的圆心角度数？ （4）若该
24、校共有 2400 名同学，请估计该校进行送鲜花行动的同学约有多少名？ 【分析】（1）从两个统计图可以得到，“A 送服务”的有 20 人，占调查人数的 25%，可求出调查总人 数； （2）用总人数“C 送红包”所占比例求出送红包人数，再补全条形统计图即可；用 1 分别减去 A、C、 D 所占比例即可求出 B 所百分比； （3）用 360“B 送鲜花”所占比例即可； （4）样本中“B 送鲜花”的占，因此全校 2400 人的是送鲜花的人数 解：（1）2025%80（人）， 答：该校共抽查了 80 名同学的暖心行动 （2）送红包人数：8030%24（人）， 15%25%30%40%， 补全条形统计图和
25、扇形统计图如下： （3）扇形统计图中扇形 B 的圆心角度数为：36040%144； （4）240040%960（人）， 答：该校 2400 名同学中进行送鲜花行动的约有 960 名 18某商店想购进 A、B 两种商品，已知每件 B 种商品的进价比每件 A 种商品的进价多 5 元，且用 300 元 购进 A 种商品的数量是用 100 元购进 B 种商品数量的 4 倍 （1）求每件 A 种商品和每件 B 种商品的进价分别是多少元？ （2）商店决定购进 A、B 两种商品共 50 件，A 种商品加价 5 元出售，B 种商品比进价提高 20%后出售， 要使所有商品全部出售后利润不少于 210 元，求 A
26、 种商品至少购进多少件？ 【分析】（1）设每件 A 商品的进价为 x 元，则每件 B 商品的进价为（x+5）元，根据“用 300 元购进 A 种商品的数量是用 100 元购进 B 种商品数量的 4 倍”列出方程，解方程即可； （2）设购进 A 商品 a 件，根据“A 种商品加价 5 元出售，B 种商品比进价提高 20%后出售，要使所有商 品全部出售后利润不少于 210 元”列出不等式，解不等式即可 解：（1）设每件 A 商品的进价为 x 元，则每件 B 商品的进价为（x+5）元， 由题意得：4， 解得：x15， 经检验，x15 是原分式方程的解，且符合题意， 则 x+520， 答：每件 A 商
27、品的进价为 15 元，每件 B 商品的进价为 20 元； （2）设购进 A 商品 a 件， 由题意得：5a+2020%（50a）210， 解得：a10， 答：A 种商品至少购进 10 件 19一个不透明的口袋里装着分别标有数字3，1，0，2 的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区 别，每次实验时把小球搅匀 （1）从中任取一球，求所抽取的数字恰好为负数的概率； （2）从中任取一球，将球上的数字记为 x，然后把小球放回；再任取一球，将球上的数字记为 y，试用 画树状图（或列表法）表示出点（x，y）所有可能的结果，并求点（x，y）在直线 yx1 上的概率 【分析】（1）四个数字中负数有 2 个，根
28、据概率公式即可得出答案； （2）根据题意列表得出所有等可能的情况数，找出点（x，y）落在直线 yx1 上的情况数，再根据 概率公式即可得出答案 解：（1）共有 4 个数字，分别是3，1，0，2，其中是负数的有3，1， 所抽取的数字恰好为负数的概率是； （2）根据题意列表如下： 3 1 0 2 3 （3，3） （1，3） （0，3） （2，3） 1 （3，1） （1，1） （0，1） （2，1） 0 （3，0） （1，0） （0，0） （2，0） 2 （3，2） （1，2） （0，2） （2，2） 所有等可能的情况有 16 种，其中点（x，y）在直线 yx1 上的情况有 4 种， 则点（x，y）
29、在直线 yx1 上的概率是 20如图，已知抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0），B（3，0）两点，与 y 轴交于 C 点，点 P 是抛物线上第一象限内的一个动点 （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴为 l，l 与 x 轴的交点为 D在直线 l 上是否存在点 M，使得四边形 CDPM 是平 行四边形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】（1）将 A（1，0），B（3，0）代入 yx2+bx+c，即可求解； （2）设 M（1，t），P（m，m2+2m+3），由 CP 为对角线，可得1，即可求 M 点坐标 解：（1）将 A（1，0），B（3，0）代
30、入 yx2+bx+c， 得， ， yx2+2x+3； （2）抛物线的对称轴为直线 x1， D（1，0）， 令 x0，则 y2， C（0，2）， 设 M（1，t），P（m，m2+2m+3）， 四边形 CDPM 是平行四边形， CP 为对角线， CP 的中点（，），DM 的中点（1，）， 1， m2， M（2，3）； 四边形 CDPM 是平行四边形时，M 点坐标为 M（2，3） 21为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库 的土方施工任务该工程队有 A，B 两种型号的挖掘机，已知 3 台 A 型和 5 台 B 型挖掘机同时施工一小 时挖土 165 立
31、方米；4 台 A 型和 7 台 B 型挖掘机同时施工一小时挖土 225 立方米每台 A 型挖掘机一小 时的施工费用为 300 元，每台 B 型挖掘机一小时的施工费用为 180 元 （1）分别求每台 A 型，B 型挖掘机一小时挖土多少立方米？ （2）若不同数量的 A 型和 B 型挖掘机共 12 台同时施工 4 小时，至少完成 1080 立方米的挖土量，且总 费用不超过 12960 元，问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是 多少元？ 【分析】（1）根据题意列出方程组即可； （2）利用总费用不超过 12960 元求出方案数量，再利用一次函数增减性求出最低费用 解：（
32、1）设每台 A 型，B 型挖掘机一小时分别挖土 x 立方米和 y 立方米，根据题意得 解得： 每台 A 型挖掘机一小时挖土 30 立方米，每台 B 型挖掘机一小时挖土 15 立方米 （2）设 A 型挖掘机有 m 台，总费用为 W 元，则 B 型挖掘机有（12m）台 根据题意得 W4300m+4180（12m）480m+8640 解得 m12m，解得 m6 7m9 共有三种调配方案， 方案一：当 m7 时，12m5，即 A 型挖掘机 7 台，B 型挖掘机 5 台； 方案二：当 m8 时，12m4，即 A 型挖掘机 8 台，B 型挖掘机 4 台； 方案三：当 m9 时，12m3，即 A 型挖掘机
33、9 台，B 型挖掘机 3 台 4800，由一次函数的性质可知，W 随 m 的减小而减小， 当 m7 时，W小4807+864012000 此时 A 型挖掘机 7 台，B 型挖掘机 5 台的施工费用最低，最低费用为 12000 元 22如图，AB 是O 的弦，D 为半径 OA 的中点，过 D 作 CDOA 交弦 AB 于点 E，交O 于点 F，且 BC 是O 的切线， （1）求证：CECB； （2）连接 AF，BF，求 tanABF； （3）如果 CD15，BE10，sinA，求O 的半径 【分析】（1）根据切线定理求出OBC90，求出ABCCEB 即可； （2）连接 OF，AF，BF，首先证明
34、OAF 是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所 对圆心角的一半即可求出ABF 的度数； （3）根据相似求出 DE、AE、AD，求出 OA，即可得出答案 【解答】（1）证明：连接 OB， OAOB， DAEOBA， BC 切O 于 B， OBC90， OBA+CBE90， DCOA， ADE90， DAE+AED90， ADECBECEB， CECB； （2）解：连接 OF，AF，BF， DADO，CDOA， AFOF， OAOF， OAF 是等边三角形， AOF60， ABFAOF30， tanABFtan30； （3）解：过点 C 作 CGAB 于点 G， CEBC，EB10，
35、 EGGB5， CDOA， ADECGE90， AEDCEG， ADECGE， ， sinA， CE13， CD15， DECDCE2，AE， AD， ， 即O 的半径是 23如图 1，在矩形 ABCD 中，AB8，AD10，E 是 CD 边上一点，连接 AE，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠， 顶点 D 恰好落在 BC 边上点 F 处，延长 AE 交 BC 的延长线于点 G （1）求线段 CE 的长； （2）如图 2，M，N 分别是线段 AG，DG 上的动点（与端点不重合），且DMNDAM，设 DNx 求证四边形 AFGD 为菱形； 是否存在这样的点 N，使DMN 是直角三角形？若存在，请求
36、出 x 的值；若不存在，请说明理由 【分析】（1）由翻折可知：ADAF10DEEF，设 ECx，则 DEEF8x在 RtECF 中， 利用勾股定理构建方程即可解决问题 （2） 首先证明 ADFG， ADFG， 推出四边形 AFGD 是平行四边形， 再根据邻边相等推出四边形 AFGD 是菱形 DMN 是直角三角形，DMNDAG90，只有MDN90或MND90分两种情形画 出图形分别求解即可 【解答】（1）解：如图 1 中， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC10，ABCD8， BBCD90， 由翻折可知：ADAF10DEEF，设 ECx，则 DEEF8x 在 RtABF 中，BF6， CFBC
37、BF1064， 在 RtEFC 中，则有：（8x）2x2+42， x3， EC3 （2）证明：如图 2 中， 四边形 ABCD 是矩形， ADBG， DAGAGB， DAGGAF， GAFAGF， AFFG， ADAF， ADFG， ADFG， 四边形 AFGD 是平行四边形， FAFG， 四边形 AFGD 是菱形 解：DMN 是直角三角形，DMNDAG90， 只有MDN90或MND90 如图 31 中，当MDN90时， ADCG， ， ， CG6， BGBC+CG16， 在 RtABG 中，AG8， 在 RtDCG 中，DG10， ADDG10， DAGAGD， DAG+DEA90，DGA+DMG90， DMEDEM， DMDE5， MDNMDG，DMNDGM， DMNDGM， ， ， x， 如图 32 中，当MND90时， DGM+NMG90，DMNDGM， DMN+NMG90， DMAG， ADDG10， AMMG4， DM2， DMNDGM， ， ， x2， 综上所述，满足条件的 x 的值为或 2