1、2021 年河北省廊坊市安次区中考数学一模试卷年河北省廊坊市安次区中考数学一模试卷 一、选择题本大题共一、选择题本大题共 16 个小题；个小题；1-10 小题每题小题每题 3 分：分：11-16 小题每题小题每题 2 分，共分，共 42 分。在每小题给出的四个分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的）选项中，只有一项是符合题目要求的） 1如图，有两种说法： 线段 AB 的长是点 A 到点 B 的距离 线段 AB 的长是直线 l1、l2之间的距离 关于这两种说法，正确的是（ ） A正确，错误 B正确，正确 C错误，正确 D错误，错误 2计算 a6（a2）的结果是（ ） Aa4 B
2、a8 Ca8 Da4 3某种芯片每个探针单元的面积为 0.00000164cm2，0.00000164 用科学记数法可表示为（ ） A1.64105 B1.64106 C16.4107 D0.164105 4如图摆放的一副学生用直角三角板，F30，C45，AB 与 DE 相交于点 G，当 EFBC 时， EGB 的度数是（ ） A135 B120 C115 D105 5已知 x1，y+1，那么代数式 的值是（ ） A2 B C4 D2 6一组数据 4，6，6，8，若增加一个数据 6，则发生变化的统计量为（ ） A平均数 B中位数 C方差 D众数 7已知锐角AOB，如图， （1）在射线 OA 上
3、取一点 C，以点 O 为圆心，OC 长为半径作，交射线 OB 于点 D，连接 CD； （2）分别以点 C，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交于点 M，N； （3）连接 OM，MN 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） ACOMCOD B若 OMMN则AOB20 CMNCD DMN3CD 8将图中的小正方体沿箭头方向平移到图位置，下列说法正确的是（ ） A图的主视图和图的主视图相同 B图的主视图与图的左视图相同 C图的左视图与图的左视图相同 D图的俯视图与图的俯视图相同 9如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，若BOD88，则BCD 的度数是（ ） A88 B92 C106
4、 D136 10如图，ABC 与DEF 位似，点 O 为位似中心已知 OA：OD1：2，则ABC 与DEF 的面积比 为（ ） A1：2 B1：3 C1：4 D1：5 11如图，嘉淇一家驾车从 A 地出发，沿着北偏东 60的方向行驶，到达 B 地后沿着南偏东 50的方向行 驶来到 C 地，且 C 地恰好位于 A 地正东方向上，则下列说法正确的是（ ） AB 地在 C 地的北偏西 40方向上 BA 地在 B 地的南偏西 30方向上 C DACB50 1210 个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O 均是正六边形 的顶点则点 O 是下列哪个三角形的外心（ ）
5、 AAED BABD CBCD DACD 13 “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图” 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为 a，较 短直角边长为 b若 ab8，大正方形的面积为 25，则小正方形的边长为（ ） A9 B6 C4 D3 14二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数 yax+b 与反比例函数 y在同一平面直角坐标 系中的大致图象为（ ） A B C D 15如图，四边形 ABCD 是一张平行四边形纸片，其高 AG2cm，底边 BC6cm，B45，沿虚线 EF 将纸片剪成
6、两个全等的梯形，若BEF30，则 AF 的长为（ ） A1cm Bcm C（23）cm D（2）cm 16如图，在AOB 和COD 中，OAOB，OCOD，OAOC，AOBCOD36连接 AC，BD 交于点 M，连接 OM下列结论： AMB36，ACBD，OM 平分AOD，MO 平分AMD其中正确的结论个数有（ ） 个 A4 B3 C2 D1 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 3 个小题共个小题共 12 分，分，1718 每小题每小题 3 分，分，19 小题有三个空每空小题有三个空每空 2 分，把答案写在答题分，把答案写在答题 卡的横线上）卡的横线上） 17 18 若关于x的一元二次方
7、程x2kx20的一个根为x1， 则这个一元二次方程的另一个根为 19如下图，OA1B1，A1A2B2，A2A3B3是分别以 A1，A2，A3为直角顶点，一条直角边在 x 轴正半 轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点 C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），均在反比例函数 y（x0）的图象上，则点 C1 的坐标为 ；y1 ；y1+y2+y3+y10的值 为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 个小题，共个小题，共 66 分）分） 20利用平方差公式可以进行简便计算： 例 1：99101（1001）（100+1）1002121000019999； 例 2：3941039
8、4110（401）（40+1）10（40212）10（16001）10159910 15990 请你参考上述算法，运用平方差公式简便计算： （1）； （2）（2021+2021）（ ） 21对于四个整式，A：2x2；B：mx+5；C：2x；D：n 无论 x 取何值，B+C+D 的值都为 0 （1）求 m、n 的值； （2）计算 AB+CD； （3）若的值是正数，直接写出 x 的取值范围 22刘雨泽和黎昕两位同学玩抽数字游戏五张卡片上分别写有 2、4、6、8、x 这五个数字，其中两张卡 片上的数字是相同的，从中随机抽出一张，已知 P（抽到数字 4 的卡片） （1）求这五张卡片上的数字的众数； （
9、2）若刘雨泽已抽走一张数字 2 的卡片，黎昕准备从剩余 4 张卡片中抽出一张 所剩的 4 张卡片上数字的中位数与原来 5 张卡片上数字的中位数是否相同？并简要说明理由； 黎昕先随机抽出一张卡片后放回，之后又随机抽出一张，用列表法（或树状图）求黎昕两次都抽到数 字 4 的概率 23如图 1，在 RtABC 中，C90，AB10，BC6，O 是 AC 的中点，以点 O 为圆心在 AC 的右侧 作半径为 3 的半圆 O，分别交 AC 于点 D、E，交 AB 于点 G、F 思考：连接 OF，若 OFAC，求 AF 的长度； 探究：如图 2，将线段 CD 连同半圆 O 绕点 C 旋转 （1）在旋转过程中
10、，求点 O 到 AB 距离的最小值； （2）若半圆 O 与 RtABC 的直角边相切，设切点为 K，连接 AK，求 AK 的长 24受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售“一方有难，八方支援”某水果 经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果 的出售价格根据购买量给予优惠， 对乙种水果按 25 元/千克的价格出售 设经销商购进甲种水果 x 千克， 付款 y 元，y 与 x 之间的函数关系如图所示 （1）直接写出当 0 x50 和 x50 时，y 与 x 之间的函数关系式； （2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共 100 千
11、克，且甲种水果不少于 40 千克，但又不超过 60 千克如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额 w（元）最少？ （3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为 40 元/千克和 36 元/千克经销商按（2）中甲，乙两种水果购 进量的分配比例购进两种水果共a 千克， 且销售完a千克水果获得的利润不少于 1650元， 求a 的最小值 25如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 y（xm）2+4 图象的顶点为 A，与 y 轴交于点 B， 异于顶点 A 的点 C（1，n）在该函数图象上 （1）当 m5 时，求 n 的值 （2）当 n2 时，若点 A 在第一象限内，结合图象，求当 y2 时，自变
12、量 x 的取值范围 （3）作直线 AC 与 y 轴相交于点 D当点 B 在 x 轴上方，且在线段 OD 上时，求 m 的取值范围 26如图，在等边三角形 ABC 中，BC8，过 BC 边上一点 P 作DPE60，分别与边 AB，AC 相交于 点 D 与点 E （1）求证：BDPCPE （2）若PDE 为正三角形时，求 BD+CE 的值 （3）当 DEBC 时请用 BP 表示 BD，并求出 BD 的最大值 参考答案参考答案 一、选择题本大题共一、选择题本大题共 16 个小题；个小题；1-10 小题每题小题每题 3 分：分：11-16 小题每题小题每题 2 分，共分，共 42 分。在每小题给出的四
13、个分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的）选项中，只有一项是符合题目要求的） 1如图，有两种说法： 线段 AB 的长是点 A 到点 B 的距离 线段 AB 的长是直线 l1、l2之间的距离 关于这两种说法，正确的是（ ） A正确，错误 B正确，正确 C错误，正确 D错误，错误 【分析】由两点之间的距离的定义可知正确；由平行线间的距离的定义可判断正确 解：线段 AB 的长是点 A 到点 B 的距离正确； 线段 AB 的长是直线 l1、l2之间的距离正确； 故选：B 2计算 a6（a2）的结果是（ ） Aa4 Ba8 Ca8 Da4 【分析】利用同底数的幂相乘，底数不变，指数相加
14、，即可得到答案 解：a6（a2）a8， 故选：B 3某种芯片每个探针单元的面积为 0.00000164cm2，0.00000164 用科学记数法可表示为（ ） A1.64105 B1.64106 C16.4107 D0.164105 【分析】根据科学记数法的要求，将一个数字写成 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数 解：0.000001641.64106， 故选：B 4如图摆放的一副学生用直角三角板，F30，C45，AB 与 DE 相交于点 G，当 EFBC 时， EGB 的度数是（ ） A135 B120 C115 D105 【分析】过点 G 作 HGBC，则有HGBB，HGEE，
15、又因为DEF 和ABC 都是特殊直角 三角形，F30，C45，可以得到E60，B45，有EGBHGE+HGB 即可得 出答案 解：过点 G 作 HGBC， EFBC， GHBCEF， HGBB，HGEE， 在 RtDEF 和 RtABC 中，F30，C45 E60，B45 HGBB45，HGEE60 EGBHGE+HGB60+45105 故EGB 的度数是 105， 故选：D 5已知 x1，y+1，那么代数式 的值是（ ） A2 B C4 D2 【分析】先将分式化简，再代入值求解即可 解：原式 x+y 当 x1，y+1， 原式1+1 2 故选：D 6一组数据 4，6，6，8，若增加一个数据 6
16、，则发生变化的统计量为（ ） A平均数 B中位数 C方差 D众数 【分析】依据平均数、中位数、众数、众数的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、方 差、众数求解即可 解：原数据的 4，6，6，8 的平均数为6，中位数为 6，方差为（46）2+（66）22+ （86）22，众数为 6； 新数据 4，6，6，6，8 的平均数为6，中位数为 6，方差为（46）2+（66）23+ （86）21.6，众数为 6； 添加一个数据 5，方差发生变化， 故选：C 7已知锐角AOB，如图， （1）在射线 OA 上取一点 C，以点 O 为圆心，OC 长为半径作，交射线 OB 于点 D，连接 CD； （2
17、）分别以点 C，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交于点 M，N； （3）连接 OM，MN 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） ACOMCOD B若 OMMN则AOB20 CMNCD DMN3CD 【分析】由作图知 CMCDDN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得 解：由作图知 CMCDDN， COMCOD，故 A 选项正确； OMONMN， OMN 是等边三角形， MON60， CMCDDN， MOAAOBBONMON20，故 B 选项正确； 设MOAAOBBON， 则OCDOCM， MCD180， 又CMNCON， MCD+CMN180， MNCD，故 C 选项正确；
18、 MC+CD+DNMN，且 CMCDDN， 3CDMN，故 D 选项错误； 故选：D 8将图中的小正方体沿箭头方向平移到图位置，下列说法正确的是（ ） A图的主视图和图的主视图相同 B图的主视图与图的左视图相同 C图的左视图与图的左视图相同 D图的俯视图与图的俯视图相同 【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形，得出图、图 的三视图即可 解：找到图、图从正面、侧面和上面看所得到的图形， 可知图的主视图与图的左视图相同，图的左视图与图的主视图相同 故选：B 9如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，若BOD88，则BCD 的度数是（ ） A88 B92 C
19、106 D136 【分析】首先根据BOD88，应用圆周角定理，求出BAD 的度数多少；然后根据圆内接四边形的 性质，可得BAD+BCD180，据此求出BCD 的度数是多少即可 解：BOD88， BAD88244， BAD+BCD180， BCD18044136， 即BCD 的度数是 136 故选：D 10如图，ABC 与DEF 位似，点 O 为位似中心已知 OA：OD1：2，则ABC 与DEF 的面积比 为（ ） A1：2 B1：3 C1：4 D1：5 【分析】根据位似图形的概念求出ABC 与DEF 的相似比，根据相似三角形的性质计算即可 解：ABC 与DEF 是位似图形，OA：OD1：2，
20、ABC 与DEF 的位似比是 1：2 ABC 与DEF 的相似比为 1：2， ABC 与DEF 的面积比为 1：4， 故选：C 11如图，嘉淇一家驾车从 A 地出发，沿着北偏东 60的方向行驶，到达 B 地后沿着南偏东 50的方向行 驶来到 C 地，且 C 地恰好位于 A 地正东方向上，则下列说法正确的是（ ） AB 地在 C 地的北偏西 40方向上 BA 地在 B 地的南偏西 30方向上 C DACB50 【分析】先根据题意画出图形，再根据平行线的性质及方向角的描述方法解答即可 解：如图所示， 由题意可知，160，450， 5450，即 B 在 C 处的北偏西 50，故 A 错误； 260，
21、 3+718060120，即 A 在 B 处的北偏西 120，故 B 错误； 1260， BAC30， cosBAC，故 C 正确； 690540，即公路 AC 和 BC 的夹角是 40，故 D 错误 故选：C 1210 个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O 均是正六边形 的顶点则点 O 是下列哪个三角形的外心（ ） AAED BABD CBCD DACD 【分析】根据三角形外心的性质，到三个顶点的距离相等，进行判断即可 解：从 O 点出发，确定点 O 分别到 A，B，C，D，E 的距离，只有 OAOCOD， 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，
22、 点 O 是ACD 的外心， 故选：D 13 “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图” 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为 a，较 短直角边长为 b若 ab8，大正方形的面积为 25，则小正方形的边长为（ ） A9 B6 C4 D3 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：ab，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出 小正方形的边长 解：由题意可知：中间小正方形的边长为：ab， 每一个直角三角形的面积为：ab84， 4ab+（ab）225， （ab）225169， ab3， 故选：D 14二次
23、函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数 yax+b 与反比例函数 y在同一平面直角坐标 系中的大致图象为（ ） A B C D 【分析】 根据二次函数图象开口向上得到 a0， 再根据对称轴确定出 b， 根据与 y 轴的交点确定出 c0， 然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解 解：二次函数图象开口方向向上， a0， 对称轴为直线 x0， b0， 与 y 轴的正半轴相交， c0， yax+b 的图象经过第一三象限，且与 y 轴的负半轴相交， 反比例函数 y图象在第一三象限， 只有 B 选项图象符合 故选：B 15如图，四边形 ABCD 是一张平行四边形纸片，其高 A
24、G2cm，底边 BC6cm，B45，沿虚线 EF 将纸片剪成两个全等的梯形，若BEF30，则 AF 的长为（ ） A1cm Bcm C（23）cm D（2）cm 【分析】根据直角三角形的三角函数得出 BG，HE，进而利用梯形的性质解答即可 解：过 F 作 FHBC 于 H， 高 AG2cm，B45， BGAG2cm， FHBC，BEF30， EH， 沿虚线 EF 将纸片剪成两个全等的梯形， AFCE， AGBC，FHBC， AGFH， AGFH， 四边形 AGHF 是矩形， AFGH， BCBG+GH+HE+CE2+2AF+26， AF2（cm）， 故选：D 16如图，在AOB 和COD 中，
25、OAOB，OCOD，OAOC，AOBCOD36连接 AC，BD 交于点 M，连接 OM下列结论： AMB36，ACBD，OM 平分AOD，MO 平分AMD其中正确的结论个数有（ ） 个 A4 B3 C2 D1 【分析】由 SAS 证明AOCBOD 得出OCAODB，ACBD，正确； 由全等三角形的性质得出OACOBD，由三角形的外角性质得：AMB+OBDOAC+AOB， 得出AMBAOB36，正确； 作 OGAM 于 G，OHDM 于 H，如图所示：则OGAOHB90，利用全等三角形对应边上的 高相等，得出 OGOH，由角平分线的判定方法得出 MO 平分AMD，正确； 假设 MO 平分AOD，
26、则DOMAOM，由全等三角形的判定定理可得AMODMO，得 AO OD，而 OCOD，所以 OAOC，而 OAOC，故错误；即可得出结论 解：AOBCOD36， AOB+BOCCOD+BOC， 即AOCBOD， 在AOC 和BOD 中， AOCBOD（SAS）， OCAODB，ACBD，故正确； OACOBD， 由三角形的外角性质得： AMB+OBDOAC+AOB， AMBAOB36，故正确； 法一：作 OGAM 于 G，OHDM 于 H，如图所示， 则OGAOHB90， AOCBOD， OGOH， MO 平分AMD，故正确； 法二：AOCBOD， OACOBD， A、B、M、O 四点共圆，
27、AMOABO72， 同理可得：D、C、M、O 四点共圆， DMODCO72AMO， MO 平分AMD， 故正确； 假设 MO 平分AOD，则DOMAOM， 在AMO 与DMO 中， ， AMODMO（ASA）， AOOD， OCOD， OAOC， 而 OAOC，故错误； 正确的个数有 3 个； 故选：B 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 3 个小题共个小题共 12 分，分，1718 每小题每小题 3 分，分，19 小题有三个空每空小题有三个空每空 2 分，把答案写在答题分，把答案写在答题 卡的横线上）卡的横线上） 17 【分析】利用二次根式的除法法则解答即可 解：原式 故答案为： 18
28、 若关于x的一元二次方程x2kx20的一个根为x1， 则这个一元二次方程的另一个根为 x2 【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为2，结合方程的一个根为 1，可求出方程的另一 个根，此题得解 解：a1，bk，c2， x1x2 2 关于 x 的一元二次方程 x2kx20 的一个根为 x1， 另一个根为 x212 故答案为：x2 19如下图，OA1B1，A1A2B2，A2A3B3是分别以 A1，A2，A3为直角顶点，一条直角边在 x 轴正半 轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点 C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），均在反比例函数 y （x0） 的图象上， 则点 C1
29、的坐标为 （2， 2） ； y1 2 ； y1+y2+y3+y10的值为 2 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，分别求出 C1，C2，C3的坐标，进而确定 y1，y2，y3， 再求和即可 解：过点 C1，C2，C3分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 D1，D2，D3， 由题意可得，OD1C1D1D1A1，A1D2C2D2D2A2，A2D3C3D3D3A3， 设 OD1a，则 C1（a，a），由点 C1（a，a）在反比例函数 y （x0）的图象上， aa4， 解得 a2（取正值）， C1（2，2）， y12， 设 A1D2b，则 C2（4+b，b），由点 C2（4+b，b），在在反比例函数
30、 y （x0）的图象上， （4+b）b4， 解得 b22（取正值）， y22 2， 设 A2D3c，则 C3（4 +c，c），由点 C3（4+c，c），在反比例函数 y（x0）的图象上， （4+c）c4， 解得 c22（取正值）， y32 2， 同理可求 y422，y52 2，y62 2，y102 2， y1+y2+y102+2 2+22+2 2+2 22 ， 故答案为：（2，2），2，2 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 个小题，共个小题，共 66 分）分） 20利用平方差公式可以进行简便计算： 例 1：99101（1001）（100+1）1002121000019999； 例
31、2：39410394110（401）（40+1）10（40212）10（16001）10159910 15990 请你参考上述算法，运用平方差公式简便计算： （1）； （2）（2021+2021）（ ） 【分析】（1）原式变形为（201）（20+1），再利用平方差公式计算即可； （2）原式变形为 2021（+）（），再利用平方差公式计算即可 解：（1）原式（201）（20+1） （20212） （4001） ； （2）原式2021（+）（） 2021（32） 2021 21对于四个整式，A：2x2；B：mx+5；C：2x；D：n 无论 x 取何值，B+C+D 的值都为 0 （1）求 m、n 的
32、值； （2）计算 AB+CD； （3）若的值是正数，直接写出 x 的取值范围 【分析】（1）把 B，C，D 代入 B+C+D0 中，求出 m 与 n 的值即可； （2）把 m 与 n 的值代入确定出 B 与 D，再将 A，B，C，D 代入 AB+CD 中计算即可得到结果； （3）把 A，B，C，D 代入，使其值大于 0 求出 x 的范围即可 解：（1）B：mx+5；C：2x；D：n， B+C+Dmx+52x+n（m2）x+（n+5）0， m20，n+50， 解得：m2，n5； （2）A：2x2；B：mx+5；C：2x；D：n，且 m2，n5， AB+CD2x2mx52xn2x22x52x+52
33、x24x； （3）A：2x2；B：mx+5；C：2x；D：n，且 m2，n5， ， 0， 0，且 x0，即3x+50， 解得：x且 x0 22刘雨泽和黎昕两位同学玩抽数字游戏五张卡片上分别写有 2、4、6、8、x 这五个数字，其中两张卡 片上的数字是相同的，从中随机抽出一张，已知 P（抽到数字 4 的卡片） （1）求这五张卡片上的数字的众数； （2）若刘雨泽已抽走一张数字 2 的卡片，黎昕准备从剩余 4 张卡片中抽出一张 所剩的 4 张卡片上数字的中位数与原来 5 张卡片上数字的中位数是否相同？并简要说明理由； 黎昕先随机抽出一张卡片后放回，之后又随机抽出一张，用列表法（或树状图）求黎昕两次都
34、抽到数 字 4 的概率 【分析】（1）根据抽到数字 4 的卡片的概率为可得 x 值，从而可得众数； （2）分别求出前后两次的中位数即可； 画出树状图，再根据概率公式求解即可 解：（1）2、4、6、8、x 这五个数字中，P（抽到数字 4 的卡片）， 则数字 4 的卡片有 2 张，即 x4， 五个数字分别为 2、4、4、6、8， 则众数为：4； （2）不同，理由是： 原来五个数字的中位数为：4， 抽走数字 2 后，剩余数字为 4、4、6、8， 则中位数为：5， 所以前后两次的中位数不一样； 根据题意画树状图如下： 可得共有 16 种等可能的结果，其中两次都抽到数字 4 的情况有 4 种， 则黎昕两
35、次都抽到数字 4 的概率为： 23如图 1，在 RtABC 中，C90，AB10，BC6，O 是 AC 的中点，以点 O 为圆心在 AC 的右侧 作半径为 3 的半圆 O，分别交 AC 于点 D、E，交 AB 于点 G、F 思考：连接 OF，若 OFAC，求 AF 的长度； 探究：如图 2，将线段 CD 连同半圆 O 绕点 C 旋转 （1）在旋转过程中，求点 O 到 AB 距离的最小值； （2）若半圆 O 与 RtABC 的直角边相切，设切点为 K，连接 AK，求 AK 的长 【分析】思考：由勾股定理求出 AC8，由三角形中位线定理求出 OF3，则可得出答案； 探究：（1）当 CDAB 时，点
36、 O 到 AB 的距离最小，由三角形面积公式可得出答案； （2） 分两种情况： 当半圆 O 与 BC 相切时， 当半圆 O 与 AC 相时， 由切线的性质及勾股定理可得出答案 解：思考：连接 OF，如图 1， 在 RtABC 中，C90，AB10，BC6， AC8， O 是 AC 的中点， AOCO4， OFAC， OFBC， OFBC3， AF5； 探究：（1）当 CDAB 时，点 O 到 AB 的距离最小， 由三角形面积公式可得， ， ， 点 O 到 AB 距离的最小值是； （2）当半圆 O 与 BC 相切时，如图 2，设切点为 K，连接 OK，AK，则OKC90， 在 RtOCK 中，O
37、K3，OC4， CK， 在 RtACK 中，AC8， AK， 当半圆 O 与 AC 相时，如图 3，设切点为 K，连接 OK， OKC90， 在 RtOCK 中，OK3，OC4， CK， AKACCK8 AK 的长为或 24受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售“一方有难，八方支援”某水果 经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果 的出售价格根据购买量给予优惠， 对乙种水果按 25 元/千克的价格出售 设经销商购进甲种水果 x 千克， 付款 y 元，y 与 x 之间的函数关系如图所示 （1）直接写出当 0 x50 和 x50
38、时，y 与 x 之间的函数关系式； （2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共 100 千克，且甲种水果不少于 40 千克，但又不超过 60 千克如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额 w（元）最少？ （3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为 40 元/千克和 36 元/千克经销商按（2）中甲，乙两种水果购 进量的分配比例购进两种水果共a 千克， 且销售完a千克水果获得的利润不少于 1650元， 求a 的最小值 【分析】（1）由图可知 y 与 x 的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可 （2）设购进甲种水果为 a 千克，则购进乙种水果（100a）千克，根据实际意义可以确
39、定 a 的范围，结 合付款总金额（元）与种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少 （3）根据（2）的结论分情况讨论 解：（1）当 0 x50 时，设 yk1x，根据题意得 50k11500， 解得 k130； y30 x； 当 x50 时，设 yk2x+b， 根据题意得， ，解得， y24x+300 y， （2）设购进甲种水果为 a 千克，则购进乙种水果（100a）千克， 40a60， 当 40a50 时，w130a+25（100a）5a+2500 当 a40 时wmin2700 元， 当 50a60 时，w224a+300+25（100a）a+2800 当 a60 时，wmin
40、2740 元， 27402700， 当 a40 时，总费用最少，最少总费用为 2700 元 此时乙种水果 1004060（千克） 答：购进甲种水果为 40 千克，购进乙种水果 60 千克，才能使经销商付款总金额 w（元）最少 （3）由题意可设甲种水果为千克，乙种水果为千克 当时，即 0a125， 则甲种水果的进货价为 30 元/千克， （4030）a+（3625）1650， 解得 a， 与 0a125 矛盾，故舍去； 当时，即 a125， 则甲种水果的进货总成本是（9.6a+300）元， 1650， 解得 a150， a 的最小值为 150 25如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 y（xm
41、）2+4 图象的顶点为 A，与 y 轴交于点 B， 异于顶点 A 的点 C（1，n）在该函数图象上 （1）当 m5 时，求 n 的值 （2）当 n2 时，若点 A 在第一象限内，结合图象，求当 y2 时，自变量 x 的取值范围 （3）作直线 AC 与 y 轴相交于点 D当点 B 在 x 轴上方，且在线段 OD 上时，求 m 的取值范围 【分析】（1）利用待定系数法求解即可 （2）求出 y2 时，x 的值即可判断 （3）由题意点 B 的坐标为（0，m2+4），求出几个特殊位置 m 的值即可判断 解：（1）当 m5 时，y（x5）2+4， 当 x1 时，n42+44 （2）当 n2 时，将 C（1
42、，2）代入函数表达式 y（xm）2+4，得 2（1m）2+4， 解得 m3 或1（舍去）， 此时抛物线的对称轴 x3， 根据抛物线的对称性可知，当 y2 时，x1 或 5， x 的取值范围为 1x5 （3）点 A 与点 C 不重合， m1， 抛物线的顶点 A 的坐标是（m，4）， 抛物线的顶点在直线 y4 上， 当 x0 时，ym2+4， 点 B 的坐标为（0，m2+4）， 抛物线从图 1 的位置向左平移到图 2 的位置前，m 逐渐减小，点 B 沿 y 轴向上移动， 当点 B 与 O 重合时，m2+40， 解得 m2或2（不合题意舍去）， 当点 B 与点 D 重合时，如图 2，顶点 A 也与
43、B，D 重合，点 B 到达最高点， 点 B（0，4）， m2+44，解得 m0， 当抛物线从图 2 的位置继续向左平移时，如图 3 点 B 不在线段 OD 上， B 点在线段 OD 上时，m 的取值范围是：0m1 或 1m2 26如图，在等边三角形 ABC 中，BC8，过 BC 边上一点 P 作DPE60，分别与边 AB，AC 相交于 点 D 与点 E （1）求证：BDPCPE （2）若PDE 为正三角形时，求 BD+CE 的值 （3）当 DEBC 时请用 BP 表示 BD，并求出 BD 的最大值 【分析】 （1） 由DPE60知道DPB+EPC120， 然后利用等边三角形的内角为 60知BD
44、P+ DPB120，从而得到BDPEPC，再结合BC60，得证三角形相似； （2） 由PDE 为正三角形知 DPEP， 结合 （1） 所得的三角形相似， 得到三角形全等， 从而得到 BD+CE 的值； （3）利用平行线的性质得到 BDCE，再利用相似三角形的性质列出关于 BD 和 BP 的比例关系，再化 简得到结果，最后利用二次函数的性质求最大值 【解答】（1）证明：DPE60， DPB+EPC120， 等边三角形 ABC 的内角为 60， BDP+DPB120， BDPEPC， BC60， BDPCPE （2）解：PDE 为正三角形， DPEP， BDPCPE， BDPCPE， BDCP，BPCE， BD+CECP+BPBC8 （3）解：DEBC， BDCE， BDPCPE， ， ， BD， BP4 时，BD最大值4