1、2021 年山东省青岛市莱西市中考数学一模试卷年山东省青岛市莱西市中考数学一模试卷 一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分 24 分，共有分，共有 8 道小题，每小题道小题，每小题 3 分）分） 1的相反数是（ ） A B C2021 D2021 2下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 3天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为 2900000000km，数字 2900000000 用科学记数法表示为（ ） A2.9108 B2.9109 C29108 D0.291010 4如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点都在格点上，如果将ABC 先沿 y 轴翻折，再向上平移 3 个 单位
2、长度，得到ABC，那么点 B 的对应点 B的坐标为（ ） A（1，7） B（0，5） C（3，4） D（3，2） 5一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A B C D 6如图，AB 为O 的切线，点 A 为切点，OB 交O 于点 C，点 D 在O 上，连接 AD、CD，OA，若 ABO20，则ADC 的度数为（ ） A20 B30 C35 D40 7如图，正方形 ABCD 边长为 4，点 E、F 分别是 BC、CD 上的点，且 CECF1，点 P、Q 分别是 AF、 EF 的中点，连接 PD、PQ、DQ，则线段 DQ 的长等于（ ） A4 B C D 8如图，正比例函数，一次函数
3、 y22x+b 和反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中， 若 y1y3y2，则自变量 x 的取值范围是（ ） Ax1 B2x Cx0 D2x1 二、填空题：（本题满分二、填空题：（本题满分 18 分，共有分，共有 6 道小题，每小题道小题，每小题 3 分）分） 9计算： 10 已知有若干片相同的拼图， 其形状如图 （一） 所示 当 4 片拼图紧密拼成一列时长度为 23cm， 如图 （二） 所示 当 10 片拼图紧密拼成一列时长度为 56cm， 如图 （三） 所示 则图 （一） 中的拼图长度为 cm 11为了解某校学生的睡眠情况，该校数学小组随机调查了部分学生一周的平均每天睡眠时间，设每名学
4、生的平均每天睡眠时间为 x 时，共分为四组：A6x7，B7x8，C8x9，D9x10， 将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图（注：学生的平均每天睡眠时间不低于 6 时且不高于 10 时）若该校有 1500 名学生，根据抽样调查结果，请估计该校平均每天睡眠时间低于 8 时的学生有 人 12若函数 yx2+2x+m 的图象与 x 轴没有交点，则 m 的取值范围是 13 如图， 将矩形 ABCD 绕着点 A 逆时针旋转得到矩形 AEFG， 点 B 的对应点 E 落在边 CD 上， 若 AB， BC，则长为 14如图是一个棱长为 2cm 的正方体，用一平面经过 CC1中点 E 截这个正方体，截面BE
5、D 的面积 为 三、作图题（本题满分三、作图题（本题满分 4 分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 15已知：ABC 求作：O，使它同时与 AB、AC 相切，且 O 点在 BC 上 四、解答题：四、解答题： 16（1）计算：； （2）解不等式组： 17小李和小王两位同学做游戏，在一个不透明的口袋中放入 1 个红球、2 个白球、1 个黑球，这些球除颜 色外都相同，将球摇匀 （1）从中任意摸出 1 个球，恰好摸到红球的概率是多少？ （2）两人约定：从袋中一次摸出两个球，若摸出的两个球是一红一黑，则小李获胜；若摸出的两个球都 是白色，则小王
6、获胜，请用列举法（画树状图或列表）分析游戏规则是否公平 18某次台风来袭时，一棵笔直且垂直于地面的大树 AB 被刮倾斜后在 C 处折断倒在地上，树的顶部恰好接 触到地面 D 处，测得ACD60，ADC37，AD5 米，求这棵大树 AB 的高 （结果精确到 0.1 米）（参考数据：sin370.6，cos370.8，tan370.75，1.73） 19某射击队教练为了了解队员的训练情况，从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试，相同条件下各 射击 5 次，成绩统计如表： 命中环数 6 7 8 9 10 甲命中相应环数的次数 0 1 3 1 0 乙命中相应环数的次数 2 0 0 2 1 （1）根据上
7、述信息可知：甲命中环数的中位数是 环，乙命中环数的众数是 环； （2）试通过计算说明甲、乙两人的成绩谁比较稳定 20防疫期间某工厂接生产 N95 口罩和普通医用外科口罩共 180 万个的生产任务该工厂不能同时生产两 种口罩，且生产普通医用外科口罩的速度是生产 N95 口罩速度的 2 倍，生产 40 万只 N95 口罩比生产 40 万只普通医用外科口罩多用 4 天 （1）求该工厂每天能生产 N95 口罩或生产普通医用外科口罩多少只？ （2）若每生产一只 N95 口罩可获利 0.6 元，每生产一只普通医用外科口罩可获利 0.25 元，且生产工期 不能超过 26 天，则如何安排生产工厂获利最多？最多
8、获利多少万元？ 21如图，ABCD，BEAD 于 E，交 AC 于 M，DFBC 于 F，交 AC 于 N，连接 DM、BN （1）求证：ABMCDN； （2）当ABCD 是菱形时，判断四边形 MBND 的形状，并说明理由 22如图，一小球 M 从斜坡 OA 上的 O 点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面 直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画若小球到达的最高的点坐标为（4，8），解答下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）小球落点为 A，求 A 点的坐标； （3）在斜坡 OA 上的 B 点有一棵树，B 点的横坐标为 2，树高为 4，小球 M 能否飞过这棵树？通过计算 说
9、明理由； （4）求小球 M 在飞行的过程中离斜坡 OA 的最大高度 23由特殊到一般、类比探究都是数学学习过程中重要的思想和方法，请你结合所学知识完成下列问题 【特殊思考】 （1）如图 1，正方形 ABCD 中，AEAF，连接 EF，易知 BE 与 DF 的大小关系为：BEDF；BE 与 DF 的位置关系为：BEDF 【一般问题】 （2）将图 1 中的三角形 AEF 绕点 A 旋转，在旋转过程中，BE 与 DF 的大小关系和位置关系是否发生改 变？结合图 2，说明理由 【类比探究】 （3）若将（2）中的正方形变为矩形，等腰 RtAEF 变为 RtAEF，且 AD2AB，AF2AE，其他条件 不
10、变（2）中的结论是否发生变化？结合图3，说明理 由 24 已知如图， ABC 中， ABAC5cm， BC8cm 点 P 从点 A 出发， 沿 AC 方向匀速运动， 速度为 1cm/s； 同时，点 Q 从点 C 出发，沿 CB 方向匀速运动，速度为 2cm/s，当 Q 停止平移时，点 P 也停止运动过 P 做 PEBC，交 AB 于 E，连接 EQ设运动时间为 t（s）（0t4）解答下列问题： （1）当 t 为何值时，PQQC？ （2）设PQC 的面积为 y（cm2），求 y 与 t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻 t，使 SPQC：S四边形AEQP3：4？若存在，求出 t 的值；
11、若不存在，请说明理由； （4）是否存在某一时刻 t，使 PQEQ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 参考答案参考答案 一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分 24 分，共有分，共有 8 道小题，每小题道小题，每小题 3 分）分） 1的相反数是（ ） A B C2021 D2021 解：的相反数是 故选：A 2下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 解：选项 A、B、D 不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 180后与原图重合，所以不是中心对 称图形； 选项 C 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 180后与原图重合，所以是中心对称图形； 故选：C 3天王星围
12、绕太阳公转的轨道半径长约为 2900000000km，数字 2900000000 用科学记数法表示为（ ） A2.9108 B2.9109 C29108 D0.291010 解：2900000000 用科学记数法表示为 2.9109， 故选：B 4如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点都在格点上，如果将ABC 先沿 y 轴翻折，再向上平移 3 个 单位长度，得到ABC，那么点 B 的对应点 B的坐标为（ ） A（1，7） B（0，5） C（3，4） D（3，2） 解：由坐标系可得 B（3，1），将ABC 先沿 y 轴翻折得到 B 点对应点为（3，1），再向上平移 3 个 单位长度，点 B 的
13、对应点 B的坐标为（3，1+3）， 即（3，4）， 故选：C 5一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A B C D 解：根据俯视图为三角形，主视图以及左视图都是矩形，可得这个几何体为三棱柱， 故选：B 6如图，AB 为O 的切线，点 A 为切点，OB 交O 于点 C，点 D 在O 上，连接 AD、CD，OA，若 ABO20，则ADC 的度数为（ ） A20 B30 C35 D40 解：AB 是O 的切线， OAAB， OAB90， B20， O902070， ADCO7035 故选：C 7如图，正方形 ABCD 边长为 4，点 E、F 分别是 BC、CD 上的点，且 CECF1，
14、点 P、Q 分别是 AF、 EF 的中点，连接 PD、PQ、DQ，则线段 DQ 的长等于（ ） A4 B C D 解：正方形 ABCD 边长为 4，CECF1， ABAD4，BEDF3，ABEADF， ABEADF，且 ， BAEDAF， 点 P、Q 分别是 AF、EF 的中点， ， FPQFAE， BAE+EAF+DAF90，DPFDAP+PDA， DPQFPQ+DPFFAE+2DAF90， DPQ 为等腰直角三角形， DQDP 故选：C 8如图，正比例函数，一次函数 y22x+b 和反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中， 若 y1y3y2，则自变量 x 的取值范围是（ ） Ax1 B2x
15、 Cx0 D2x1 解：如图， 设 y1与 y3交于 A，y2与 y3交于 B，y1、y1与 y3交于 C， 把 x2 代入得 y1， C（2，1）， 把 C（2，1）分别代入 y22x+b 和反比例函数 y3， 可得 b3，k2， y22x3，y3 ， 当 y1与 y3时， x，解得 x2 或 2（舍）， 当 y2与 y3时，2x3 ，解得 x或 2（舍）， A（2，1），B（，4）， y1y3y2时，2x 故选：B 二、填空题：（本题满分二、填空题：（本题满分 18 分，共有分，共有 6 道小题，每小题道小题，每小题 3 分）分） 9计算： 解：原式 故答案为 10 已知有若干片相同的拼图
16、， 其形状如图 （一） 所示 当 4 片拼图紧密拼成一列时长度为 23cm， 如图 （二） 所示当 10 片拼图紧密拼成一列时长度为 56cm，如图（三）所示则图（一）中的拼图长度为 6.5 cm 解：如图， 将图（一）中的拼图长度看成（a+b）cm， 依题意得：， 解得：， a+b6.5（cm） 故答案为：6.5 11为了解某校学生的睡眠情况，该校数学小组随机调查了部分学生一周的平均每天睡眠时间，设每名学 生的平均每天睡眠时间为 x 时，共分为四组：A6x7，B7x8，C8x9，D9x10， 将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图（注：学生的平均每天睡眠时间不低于 6 时且不高于 10 时
17、） 若该校有 1500 名学生， 根据抽样调查结果， 请估计该校平均每天睡眠时间低于 8 时的学生有 600 人 解：本次共调查的学生数是：1734%50（人）， B 组的人数是：505131715（人）， 1500600（人）， 故答案为：600 12若函数 yx2+2x+m 的图象与 x 轴没有交点，则 m 的取值范围是 m1 解：二次函数 yx2+2x+m 的图象与 x 轴没有交点， 方程 x2+2x+m0 没有实数根， 判别式2241m0， 解得：m1； 故答案为：m1 13 如图， 将矩形 ABCD 绕着点 A 逆时针旋转得到矩形 AEFG， 点 B 的对应点 E 落在边 CD 上，
18、 若 AB， BC，则长为 解：连接 AC、AF，过点 E 作 EMAB 于 M，则 EMCB， 由旋转的性质可知，ABAE，ACAF， 在 RtABC 中，AC3， 在 RtAEM 中，AM， AMEM， EAM45， 由旋转可得，FACEAM45， 的长为 故答案为： 14 如图是一个棱长为 2cm 的正方体， 用一平面经过 CC1中点 E 截这个正方体， 截面BED 的面积为 cm2 解：作 EGBD 于点 G， 点 E 是 CC1的中点， CECC121（cm）， BEDE（cm）， BD 2（cm）， BEDE， BGBD2（cm）， EG（cm2）， 截面BED 的面积为： BDE
19、G2（cm 2）， 故答案为：cm2. 三、作图题（本题满分三、作图题（本题满分 4 分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 15已知：ABC 求作：O，使它同时与 AB、AC 相切，且 O 点在 BC 上 解：如图，O 即为所求 四、解答题：四、解答题： 16（1）计算：； （2）解不等式组： 解：（1）原式 （2）解不等式组：， 解不等式得：x2， 解不等式得：x1， 所以原不等式组的解集为1x2 17小李和小王两位同学做游戏，在一个不透明的口袋中放入 1 个红球、2 个白球、1 个黑球，这些球除颜 色外都相同，将球摇匀 （1）从中
20、任意摸出 1 个球，恰好摸到红球的概率是多少？ （2）两人约定：从袋中一次摸出两个球，若摸出的两个球是一红一黑，则小李获胜；若摸出的两个球都 是白色，则小王获胜，请用列举法（画树状图或列表）分析游戏规则是否公平 解：（1）共有 4 个球，其中有 1 个红球、2 个白球、1 个黑球， 摸到红球的概率是 （2）根据题意画树状图如下： 共有 12 种等可能的情况数，其中两个球是一红一黑有 2 种，两个球都是白色的有 2 种， 则小李获胜的概率是，小王获胜的概率是， 所以游戏规则是公平的 18某次台风来袭时，一棵笔直且垂直于地面的大树 AB 被刮倾斜后在 C 处折断倒在地上，树的顶部恰好接 触到地面
21、D 处，测得ACD60，ADC37，AD5 米，求这棵大树 AB 的高 （结果精确到 0.1 米）（参考数据：sin370.6，cos370.8，tan370.75，1.73） 解：过点 A 作 AECD 于点 E，则AECAED90 在 RtAED 中，ADC37， cos370.8， DE4， sin370.6， AE3， 在 RtAEC 中， CAE90ACE906030， CEAE， AC2CE2， ABAC+CE+ED2+43+49.2（米） 答：这棵大树 AB 原来的高度约是 9.2 米 19某射击队教练为了了解队员的训练情况，从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试，相同条件下各
22、射击 5 次，成绩统计如表： 命中环数 6 7 8 9 10 甲命中相应环数的次数 0 1 3 1 0 乙命中相应环数的次数 2 0 0 2 1 （1）根据上述信息可知：甲命中环数的中位数是 8 环，乙命中环数的众数是 6 环和 9 环； （2）试通过计算说明甲、乙两人的成绩谁比较稳定 解：（1）甲命中环数的中位数是 8 环，乙命中环数的众数是 6 环和 9 环， 故答案为：8，6 环和 9； （2）甲的平均数是：（7+8+8+8+9）8（环）， 则甲的方差是：（78）2+3（88）2+（98）20.4， 乙的平均数是：（6+6+9+9+10）58（环）， 则甲的方差是：2（68）2+2（98
23、）2+（108）22.8， 所以甲的成绩比较稳定 20防疫期间某工厂接生产 N95 口罩和普通医用外科口罩共 180 万个的生产任务该工厂不能同时生产两 种口罩，且生产普通医用外科口罩的速度是生产 N95 口罩速度的 2 倍，生产 40 万只 N95 口罩比生产 40 万只普通医用外科口罩多用 4 天 （1）求该工厂每天能生产 N95 口罩或生产普通医用外科口罩多少只？ （2）若每生产一只 N95 口罩可获利 0.6 元，每生产一只普通医用外科口罩可获利 0.25 元，且生产工期 不能超过 26 天，则如何安排生产工厂获利最多？最多获利多少万元？ 解：（1）设该工厂每天能生产 N95 口罩 x
24、 万只，则该工厂每天能生产普通医用外科口罩 2x 万只， 根据题意，得， 解得：x5， 经检验，x5 是原方程的解 则 2x10， 答：该工厂每天能生产 N95 口罩 5 万只或生产普通医用外科口罩 10 万只； （2）设生产 N95 口罩 m 万个，则生产普通医用外科口罩（180m）万个， 根据题意得：， 解得：m80， 设所获利润为 W 万元， 则 W0.6m+0.25（180m）0.35m+45， k0.350， W 随 m 的增大而增大， 当 m80，W 有最大值，W最大值0.3580+4573（万元）， 此时，180m100（万个）， 答：安排生产 N95 口罩 80 万个，生产普通
25、医用外科口罩 100 万个工厂获利最多，最多获利 73 万元 21如图，ABCD，BEAD 于 E，交 AC 于 M，DFBC 于 F，交 AC 于 N，连接 DM、BN （1）求证：ABMCDN； （2）当ABCD 是菱形时，判断四边形 MBND 的形状，并说明理由 【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD，DABDCB， BACDCA， BEAD，DFBC， DAB+ABM90，DCB+CDN90， 又DABDCB， ABMCDN， 在ABM 和CDN 中， ， ABMCDN（ASA）； （2）解：四边形 MBND 是菱形，理由如下： BEAD，DFBC，A
26、DBC， BEDF， 由（1）知ABMCDN， BMDN， 四边形 MBND 是平行四边形， 连接 BD，如图所示： 四边形 ABCD 是菱形， ACBD， 即 MNBD， 平行四边形 MBND 是菱形 22如图，一小球 M 从斜坡 OA 上的 O 点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面 直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画若小球到达的最高的点坐标为（4，8），解答下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）小球落点为 A，求 A 点的坐标； （3）在斜坡 OA 上的 B 点有一棵树，B 点的横坐标为 2，树高为 4，小球 M 能否飞过这棵树？通过计算 说明理由； （4）求小
27、球 M 在飞行的过程中离斜坡 OA 的最大高度 解：（1）小球到达的最高的点坐标为（4，8）， 设抛物线的表达式为 ya（x4）2+8， 把（0，0）代入得，0a（04）2+8， 解得：a， 抛物线的表达式为； （2）解方程，得 x10，x27， 当 x7 时，y， 所以 A（7，）； （3）当 x2 时，6， 614， 小球 M 能飞过这棵树； （4）小球 M 在飞行的过程中离斜坡 OA 的高度 h ， 小球 M 在飞行的过程中离斜坡 OA 的最大高度为 23由特殊到一般、类比探究都是数学学习过程中重要的思想和方法，请你结合所学知识完成下列问题 【特殊思考】 （1）如图 1，正方形 ABCD
28、 中，AEAF，连接 EF，易知 BE 与 DF 的大小关系为：BEDF；BE 与 DF 的位置关系为：BEDF 【一般问题】 （2）将图 1 中的三角形 AEF 绕点 A 旋转，在旋转过程中，BE 与 DF 的大小关系和位置关系是否发生改 变？结合图 2，说明理由 【类比探究】 （3）若将（2）中的正方形变为矩形，等腰 RtAEF 变为 RtAEF，且 AD2AB，AF2AE，其他条件 不变（2）中的结论是否发生变化？结合图3，说明理 由 解：一般问题：结论：DF 与 BE 互相垂直且相等 理由：延长 DF 分别交 AB、BE 于点 P、G 在正方形 ABCD 和等腰直角AEF 中 ADAB
29、，AFAE， BADEAF90， FADEAB， FADEAB， AFDAEB，DFBE， AFD+AFG180， AEG+AFG180， EAF90， EGF1809090， DFBE 类比探究：结论：数量关系改变，位置关系不变DF2BE，DFBE 理由：延长 DF 交 EB 于点 H， AD2AB，AF2AE 2，2， ， BADEAFa FADEAB FADEAB， 2， DF2BE， FADEAB， AFDAEB， AFD+AFH180， AEH+AFH180， EAF90， EHF1809090， DFBE 24 已知如图， ABC 中， ABAC5cm， BC8cm 点 P 从点
30、A 出发， 沿 AC 方向匀速运动， 速度为 1cm/s； 同时，点 Q 从点 C 出发，沿 CB 方向匀速运动，速度为 2cm/s，当 Q 停止平移时，点 P 也停止运动过 P 做 PEBC，交 AB 于 E，连接 EQ设运动时间为 t（s）（0t4）解答下列问题： （1）当 t 为何值时，PQQC？ （2）设PQC 的面积为 y（cm2），求 y 与 t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻 t，使 SPQC：S四边形AEQP3：4？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由； （4）是否存在某一时刻 t，使 PQEQ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 解：（1）如图，
31、 PQQC， CPQC， ABAC， BC， CPQB， 又CC， CPQCBA， ， 即， 解得 t； （2）如图，过 P 作 PFBC 于 F，过 A 作 ADBC 于 D， sinC， ， PF， y， 即 y； （3）假设存在某一时刻 t，使 SPQC：S四边形AEQP3：4， AEPABC， ， 解得 EP， S四边形AEQP ， ， 解得 t12，t20（舍去）， t2 时，SPQC：S四边形AEQP3：4； （4）如图，设 AD 交 EP 于 H，连接 HQ， 由题意知：HD，DQDCCQ42t，HP， 当 PQEQ 时，QHHP， HQ2DQ2+HD2， 即， 整理，得 93t2490t+6250， 解得：t1 ，t2 ， 当 t或时，PQEQ