1、第第 3 节节 单摆单摆 学习目标要求 核心素养和关键能力 1.理解单摆的特点及单摆做简谐运动 的条件。 2.知道单摆周期、摆长、重力加速度的 定量关系。 1.科学思维 通过对单摆回复力的分析，证明单摆在 摆角很小时的运动为简谐运动。 2.关键能力 (1)建模能力。 (2)应用物理规律解决实际问题的能力。 一、单摆的振动 1.单摆模型 把一根不能伸长的细线上端固定，下端拴一个小球，线的质量和球的大小可忽略 不计，这种装置称为单摆。 2.单摆的回复力 (1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。 (2)回复力的特点：在偏角很小时(通常 5 )，单摆所受的回复力与它偏离平衡位 置的位移成正
2、比，方向总指向平衡位置，即 Fmg l x。 (3)运动规律 单摆在偏角很小的情况下，单摆的振动可近似视为简谐运动。 想一想 单摆摆动过程中，回复力与向心力大小有何特点？ 答案 回复力减小时，向心力增大，在平衡位置回复力为 0，向心力最大，回复 力增大时，向心力减小，在两端，回复力最大，向心力为 0。 二、单摆的周期 1.探究影响单摆振动周期的因素 (1)探究方法：控制变量法。 (2)实验结论：单摆振动的周期与摆球质量无关。 振幅较小时周期与振幅无关。 摆长越长，周期越大；摆长越短，周期越小。 2.周期公式 (1)提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。 (2)公式：T2 l g，即单摆
3、做简谐运动的周期 T 与摆长 l 的算术平方根成正比， 与重力加速度 g 的算术平方根成反比。 判一判 (1)摆球的质量越大，周期越大。() (2)单摆的振幅越小，周期越小。() (3)单摆的摆长越长，周期越大。() (4)同一单摆在赤道和两极，周期不同。() 探究探究 1 单摆及单摆的回复力单摆及单摆的回复力 情境导入 (1)如图所示，小球和细线构成一个做简谐运动的单摆，运动过程中小球受到几个 力的作用？什么力充当了小球振动的回复力？ 答案 小球受到重力、拉力，重力沿切线方向的分力提供小球振动的回复力。 (2)单摆的回复力是否就是单摆所受的合外力？向心力是否就是单摆所受的合外 力？单摆经过平
4、衡位置时，回复力为零，合外力也为零吗？ 答案 单摆的回复力是小球重力沿切线方向的分力，向心力是沿半径方向的合外 力。单摆经平衡位置时，回复力为零，合外力不为零。 归纳拓展 1.单摆 (1)单摆是实际摆的理想化模型。 (2)实际摆看作单摆的条件 摆线的形变量与摆线长度相比小得多。 悬线的质量与摆球质量相比小得多。 摆球的直径与摆线长度相比小得多。 2.单摆的回复力 (1)单摆的回复力是由重力沿圆弧切线方向的分力 Fmgsin 提供的。 (2)如图所示，在最大偏角很小的条件下，sin x l，其中 x 为摆球离开平衡位置 O 点的位移。 单摆的回复力 Fmgsin mg l x，令 kmg l ，
5、则 Fkx。由此可见，单摆在 偏角很小(通常 5 )的条件下的振动为简谐运动。 3.运动规律 单摆的运动既包含圆周运动，又包含简谐运动(摆角很小的情况下) (1)单摆振动的平衡位置：回复力为零，而合力不为零，此时合力提供摆球做圆周 运动所需的向心力。 (2)单摆振动的最大位移处，向心力为零，而合力不为零，此时合力提供摆球振动 的回复力。 【例 1】 (2021 海南海口期中)对单摆在竖直面内做简谐运动，下面说法中正确 的是( ) A.摆球所受向心力处处相同 B.摆球的回复力是它所受的合外力 C.摆球经过平衡位置时所受回复力为零 D.摆球经过平衡位置时所受合外力为零 答案 C 解析 单摆在竖直面
6、内做简谐运动，拉力和重力沿半径方向的分力提供向心力， 所以向心力不是处处相等；重力的另外一个沿圆弧切线方向分力提供回复力，所 以在经过最低点时只有向心力，没有回复力，因此选项 C 正确，A、B、D 错误。 【针对训练 1】 (2021 四川乐山期中)振动的单摆小球通过平衡位置时，关于小 球受到的回复力、合外力及加速度的说法中正确的是( ) A.回复力为零，合外力也为零 B.回复力不为零，方向沿轨迹的切线 C.合外力不为零，方向沿轨迹的切线 D.合外力不为零，加速度不为零，方向指向悬点 答案 D 解析 当单摆小球通过平衡位置时，回复力为零，但是小球依然做圆周运动，合 外力提供向心力，因此合外力不
7、为零，选项 A、B 错误；振动的单摆小球通过平 衡位置时，合外力不为零，此时的合外力提供向心力和向心加速度，方向指向圆 心，即指向悬点，选项 C 错误，D 正确。 探究探究 2 单摆周期公式及应用单摆周期公式及应用 情境导入 如图所示，某同学家的摆钟走慢了，他认为是摆锤过轻造成的，因此，他在摆锤 下方紧挨摆锤绑了一金属块。你认为他做的正确吗？ 答案 这样做只能使摆钟走得更慢。其实摆钟走得快慢与摆锤的轻重无关，因为 单摆的周期公式是：T2 l g。他绑了金属块之后，反而使摆锤的重心下移，增 大了摆长，使周期进一步增加，走得更慢。 归纳拓展 1.实际的单摆摆球不可能是质点， 所以摆长应是从悬点到摆
8、球球心(均质球)的长度， 即 lld 2，l为摆线长，d 为摆球直径。 2.在单摆的最大偏角小于 5 的情况下单摆的周期公式 T2 l g才适用。 3.单摆的周期与摆长 l 有关，在 g 不变的情况下，仅改变摆长，即可改变周期。 4.单摆的周期与重力加速度 g 有关，不同纬度，不同海拔高度处，同一单摆的周 期不同。 5.涉及单摆周期问题的三点注意 (1)单摆的周期公式 T2 l g中共涉及三个物理量周期 T、 摆长 l 和当地重力 加速度 g，只要已知两个量，就可以求出第三个量。 (2)改变单摆振动周期的途径 改变单摆的摆长； 改变单摆的重力加速度(如改变单摆的位置或让单摆失重或超重)。 (3
9、)明确小角度情况下，单摆振动周期与单摆的质量和振幅无关。 【例 2】 (2021 辽宁海州阜新实验中学月考)有一摆长为 l 的单摆，悬点正下方某 处有一小钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部被小钉挡住，使摆长 发生变化。 现使摆球做小幅度摆动， 摆球从右边最高点 M 至左边最高点 N 运动过 程的闪光照片如图所示(悬点和小钉未被拍入)。P 为摆动中的最低点，已知每相 邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知，小钉与悬点间的距离为( ) A.3 4l B.1 2l C.1 4l D.无法确定 答案 A 解析 设每相邻两次闪光的时间间隔为 t，则由图可知摆球在右侧摆动的周期为 T116t，在左侧
10、摆动的周期为 T28t，T1T221，设左侧摆长为 l1，则 T1 2 l g，T22 l1 g，联立解得 l1 1 4l，所以小钉与悬点的距离 sll1 3 4l，故 A 正确。 【针对训练 2】 (2021 北京清华附中期末)用沙摆演示简谐运动的图像，当沙摆 下面的木板。被匀速地拉出过程中，摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线 显示出摆的位移随时间变化关系，板上直线 OO表示时间轴，使两个摆在各自的 木板上形成曲线。如图中板 N1、N2移动的速度 v1、v2的关系为 v1v2。则两曲线 代表的沙摆各自摆长 l1、l2的关系为( ) A.l1l2 B.l12l2 C.l14l2 D.4l1
11、l2 答案 C 解析 设板长为 l， 则 lv1T1v2 2T2， 因为 v1v2则 T12T2， 根据 T2 l g则 l1 l2 T1 T2 2 4 1，即 l14l2，故 C 正确。 探究探究 3 等效单摆等效单摆 情境导入 如右图所示，小球在 AB 间往复运动，受到弹力和重力作用，与单摆类似，其振 动周期多大？ 答案 如图所示， 小球在光滑的半径较大(Rr 球)的圆周上做小幅度( 很小)的圆 周运动时，可等效为单摆，小球在 A、B 间做简谐运动，周期 T2 R g。 归纳拓展 1.等效摆长：图(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆 长为 l sin ，这就是等效摆
12、长。其周期 T2 lsin g 。图(b)中，乙在垂直纸面方 向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。 2.等效重力加速度：若单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速、完全失重状态)， 则一般情况下，g 值等于摆球不摆动时摆线所受的张力与摆球质量的比值。 例如：摆球在光滑斜面上摆动时，等效重力加速度 ggsin 。因为球静止在 O 点时，FTmgsin ，等效加速度 gFT mgsin 。 【例 3】 (2021 上海市金山中学期中)如图所示，竖直平面内有一半径为 1.6 m、 长为 10 cm 的光滑圆弧轨道小球置于圆弧左端，t0 时刻起由静止释放。取 g 10 m/s2，t3
13、s 时小球正在( ) A.向右加速运动 B.向右减速运动 C.向左加速运动 D.向左减速运动 答案 A 解析 将小球的运动等效成单摆运动，则小球的周期 T2 R g2 1.6 10 s 0.8 s2.5 s，则在 t3 s1.2T 时刻，小球在从左端向最低点的运动中，所以是 向右做加速运动，A 正确，B、C、D 错误。 【针对训练 3】 (2021 山东滕州市第一中学月考)如图所示，两段光滑圆弧轨道 半径分别为 R1和 R2，圆心分别为 O1和 O2，所对应的圆心角均小于 5 ，在最低点 O 平滑连接。现将一小球(r 球R，或球可视为质点)从 M 点释放，小球最远滚到 右侧的 N 点，然后在
14、MN 之间来回滚动，下列判断正确的是( ) A.由于两轨道弯曲程度不同，所以 M、N 高度也不同，N 点要低于 M 点 B.增大小球的质量，小球滚动的会更快 C.小球滚动周期 T R1 g R2 g D.小球滚动周期 T2 R1 g R2 g 答案 C 解析 在运动的过程中只有重力做功，机械能守恒， ，根据机械能守恒可知 M、N 高度相同，A 错误；据题意，两段光滑圆弧所对应的圆心角均小于 5 ，把小球在 圆弧上的运动看做等效单摆，等效摆长等于圆弧的半径，则小球滚动周期为 T 1 22 R1 g 1 22 R2 g R1 g R2 g ， 增大小球的质量， 小球滚动的周期不变， 所以小球滚动的
15、快慢不变，B、D 错误，C 正确。 【模型分类】 1.等效摆长类：圆弧摆，双线摆 突破口：等效摆长为小球球心到等效悬点间的距离 等效摆 圆弧半径 R 远大于 小球半径(OB，OA、OB 均远 小于圆弧半径。C 球位于圆弧的圆心处，三个小球同时从静止开始运动，则到达 O 点所需时间的大小关系为( ) A.tAtBtC B.tCtAtB C.tAtBtC D.tCtAtB 答案 C 解析 设圆弧轨道半径为R， C球做自由落体运动， 则有R1 2gt 2 C， 可得tC 2R g ， A、 B 球是等效单摆， 从静止运动到 O 点的时间为 tAtBT 4 1 42 R g 2 R g， 则有 tAtBtC，故 A、B、D 错误，C 正确。