1、第第 2 节节 振动的描述振动的描述 学习目标要求 核心素养和关键能力 1.能准确叙述振幅、 周期、 频率的 概念，以及全振动的含义。 2.能准确认识到简谐运动的图像 是正弦或余弦曲线。 1.科学思维 根据图像或关系式分析简谐运动。 2.科学态度与责任 关注振动图像在生产、生活、医学等方面的应 用。 3.关键能力 数理结合能力和理解能力。 一、振动特征的描述 1.振幅(A) (1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离。 (2)物理意义：表示物体的振动强弱，是标量。 2.周期(T)和频率(f) (1)全振动：振动物体经过一段时间之后又重新回到原来的状态，我们就说物体完 成了一次全振动。 (2)周
2、期：物体完成一次全振动所经历的时间，用 T 表示。 (3)频率：在一段时间内，物体完成全振动的次数与这段时间之比，用 f 表示。 (4)周期与频率的关系：f1 T。 (5)固有周期(或固有频率)：物体仅在回复力的作用下振动时，振动周期、频率与 振幅的大小无关，只由振动系统本身的性质决定，其振动的周期(或频率)叫作固 有周期(或固有频率)。 判一判 (1)振动物体离开平衡位置的最大距离叫振幅。() (2)振幅随时间做周期性变化。() (3)物体两次通过平衡位置的时间叫作周期。() 二、简谐运动的位移图像 1.坐标系的建立 横轴表示时间 t，纵轴表示做简谐运动的物体运动过程中相对平衡位置的位移 x
3、。 2.图像的特点 一条正弦(或余弦)曲线。 3.图像意义 表示做简谐运动的物体在任意时刻相对于平衡位置的位移。 4.图像信息 如图所示，从图像上可知周期和振幅。还可知道任一时刻的位移大小和方向，借 助图像信息，还可以判断不同时刻的加速度和速度的方向和大小关系。 想一想 上图中，T 2时刻物体在什么位置，向哪个方向振动。 答案 T 2时刻，振子的位移为 0，在平衡位置。由于下一时刻到达 x 轴下方，故 T 2时 刻正在向 x 轴负方向振动。 三、简谐运动的位移公式 简谐运动的位移公式为 xAsin t。 (1)x 表示振动质点相对于平衡位置的位移，t 表示振动时间。 (2)A 表示简谐运动的振
4、幅。 (3) 叫作简谐运动的圆频率，2 T 。 做一做 有一个弹簧振子，振幅为 0.8 cm，周期为 0.5 s，初始时具有正方向的最大位移， 则它的振动方程是( ) A.x810 3sin 4t 2 m B.x810 3sin 4t 2 m C.x810 1sin t3 2 m D.x810 1sin 4t 2 m 答案 A 解析 简谐运动的一般表达式为 xAsin(t)。根据题意知 A0.8 cm810 3 m，T0.5 s，2 T 4 rad/s；初始时刻具有正方向的最大位移，即初相位 2，则振动方程为 x810 3 sin(4t 2) m，选项 A 正确。 探究 1 描述简谐运动的物理
5、量 情境导入 如图所示， 振子振动过程中， 不同时刻振子位置不同， 弹簧长度不同， 弹力不同， 加速度不同，应从哪些角度描述简谐运动？ 答案 全振动 振幅 周期 频率 归纳拓展 1.对全振动的理解 (1)振动特征：一个完整的振动过程。 (2)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)等各物理量第一次同时与初始状态 相同。 (3)时间特征：历时一个周期。 (4)路程特征：振幅的 4 倍。 2.振幅与路程的关系 振动中的路程是标量，是随时间不断增大的，其中常用的定量关系是 (1)一个周期内的路程为 4 倍的振幅； (2)半个周期内的路程为 2 倍的振幅。 3.周期(T)和频率(f) (1)周
6、期(T)与频率(f)的关系：f1 T。 (2)物体振动的固有周期和固有频率，由振动系统本身的性质决定，与物体是否振 动及振幅大小无关。 【例 1】 (2021 北京交通大学附属中学期末)有一个在光滑水平面内的弹簧振子， 第一次推动弹簧振子，使弹簧由原长压缩 x 后由静止释放让它振动。第二次弹簧 由原长压缩 2x 后由静止释放让它振动， 两次操作弹簧均在弹性范围内则先后两次 振动的周期之比和振幅之比分别为( ) A.11，11 B.11，12 C.14，14 D.12，12 答案 B 解析 弹簧振子的周期与振子的伸长量没有关系，故两次的周期之比是 11，选 项 C、D 错误；振幅就是弹簧的最大伸
7、长量，两次的振幅之比为 12，选项 B 正 确，A 错误。 【针对训练 1】 (2021 江苏省如皋中学月考)光滑的水平面叠放有质量分别为 m 和m 2的两木块，下方木块与一劲度系数为 k 的轻质弹簧相连，弹簧的另一端固定 在墙上，如图所示。已知两木块之间的最大静摩擦力为 f，为使这两个木块组成 的系统像一个整体一样地振动，系统的最大振幅为( ) A.f k B.2f k C.3f k D.4f k 答案 C 解析 对整体， 最大振幅时有 kA mm 2 a， a2kA 3m ， 隔离分析。 当最大振幅时， 两木块间的摩擦力达到最大静摩擦力。fm 2a kA 3 ，所以 A3f k ，C 正确
8、，A、B、 D 错误。 探究 2 简谐运动的位移图像 情境导入 甲、乙两同学合作模拟弹簧振子的 xt 图像： 如图所示，取一张白纸，在正中间画一条直线 OO，将白纸平铺在桌面上，甲同 学用手使铅笔尖从 O 点沿垂直于 OO方向振动画线， 乙同学沿 OO 方向水平向右 匀速拖动白纸。 (1)白纸不动时，甲同学画出的轨迹是怎样的？ (2)乙同学向右慢慢匀速拖动白纸时，甲同学画出的轨迹又是怎样的？ (3)沿 OO 方向与垂直 OO 方向分别建立坐标轴， 说说两坐标轴可表示什么物理量？ 图线上点的坐标表示什么？ 答案 (1)是一条垂直于 OO的直线。 (2)轨迹如图所示，类似于正弦曲线。 (3)垂直
9、OO 方向的轴为位置坐标轴 x(如果以 O为出发点，也可以说是位移坐标 轴)， 沿 OO 方向的轴为时间轴 t。 图线上点的坐标表示某时刻铅笔尖的位移(以 O 为出发点)或位置。 归纳拓展 一、简谐运动的图像 1.简谐运动图像的获取 让沙摆振动， 同时沿着与振动垂直的方向匀速拉动沙摆下方的长木板， 如图所示。 实验现象：沙子在长木板上形成一条曲线。 2.图像的建立：用横坐标表示振动物体运动的时间 t，纵坐标表示振动物体运动过 程中相对于平衡位置的位移 x，建立坐标系，如甲图所示。 甲 3.图像意义：反映振动物体相对于平衡位置的位移 x 随时间 t 变化的规律。xt 图线是一个质点做简谐运动时，
10、位移随时间变化的图像，不是轨迹。 4.图像的特点：做简谐运动的物体的振动图像是一条正弦(或余弦)曲线。 二、从振动图像上获取信息 1.振幅 A：图像的峰值。 2.周期 T：相邻两个位移为正的最大值或负的最大值时刻之间的时间。 3.任一时刻 t 的位移 x 对应于图像上某一点的坐标(t，x)。 4.确定各时刻质点运动速度的大小和方向 (1)在简谐运动的图像中，作出曲线上任一点的切线，切线的斜率即为此刻质点运 动的速度(包括大小和方向)，斜率的绝对值表示速度的大小，斜率的正负表示速 度的方向。 (2)根据质点位移的变化情况来判断：质点离平衡位置越近，运动速度越大，离平 衡位置越远，速度越小；在最大
11、位移处，速度为零。 5.确定加速度的大小和方向 由于 Fma，Fkx，故 akx m，加速度大小与位移成正比，方向与位移方向 相反， 从图像上可直接读出位移的大小和方向， 也就确定了加速度的大小和方向， 同时如果知道了位移随时间的变化情况就可确定加速度随时间的变化情况。 6.根据振动图像求做简谐运动的质点的位移和路程 一般情况下， 求振动质点在 t 时间内的路程和位移牵涉质点的初始状态， 且要用 较为复杂的正弦函数，故中学阶段一般不予讨论，但 t 若为半周期的整数倍，则 问题就会变得很容易。由于振动的周期性和对称性，在从任意时刻开始计时的一 个周期内或半个周期内，质点运动的路程都相等(分别为
12、4A 或 2A)，若 tnT 2(n 1，2，3)，则路程 s2nA(n1，2，3)，其中 n2t T ，但从不同时刻开始 计时的四分之一周期内，质点运动的路程不一定是一个振幅 A。 【例 2】 (2021 天津和平耀华中学期末)如图甲所示，水平光滑杆上有一弹簧振 子，振子以 O 点为平衡位置，在 a、b 两点之间做简谐运动，其振动图像如图乙 所示。取水平向右的方向为正方向，由振动图像可知( ) A.振子的振动周期等于 t1 B.在 t0 时刻，振子的位置在 a 点 C.在 tt1时刻，振子的速度为零 D.从 t1到 t2，振子正从 O 点向 b 点运动 答案 D 解析 振子的振动周期等于 2
13、t1，故 A 错误；在 t0 时刻，振子的位置在 O 点， 然后向左运动，B 错误；在 tt1时刻，振子经过平衡位置，此时它的速度最大， C 错误；从 t1到 t2，振子正从 O 点向 b 点运动，D 正确。 【针对训练 2】 (2021 北京清华附中期末)劲度系数为 20 N/cm 的弹簧振子，它 的振动图像如图所示，在图中 A 点对应的时刻，下列说法错误的是( ) A.振子所受的弹力大小为 5 N，方向指向 x 轴的负方向 B.振子的速度方向指向 x 轴的正方向 C.在 04 s 内振子作了 1.75 次全振动 D.在 04 s 内振子通过的路程为 4 cm 答案 C 解析 由图可知 A
14、在 t 轴上方，位移 x0.25 cm，所以弹力 Fkx5 N，即 弹力大小为 5 N， 方向指向 x 轴负方向， A 正确； 由图可知过 A 点作图线的切线， 该切线与 x 轴的正方向的夹角小于 90 ，切线斜率为正值，即振子的速度方向指 向 x 轴的正方向， B 正确； 由图可看出， t0 和 t4 s 时刻振子的位移都是最大， 且都在 t 轴的上方，在 04 s 内经过两个周期，振子完成 2 次全振动，C 错误； 在 04 s 内振子完成了 2 次全振动，所以在这段时间内振子通过的路程为 s 240.50 cm4 cm，D 正确。 探究 3 简谐运动表达式 情境导入 (1)如图是弹簧振子
15、做简谐运动 xt 图像，它是一条正弦曲线，请根据数学知识用 图中符号写出此图像的函数表达式，并说明各量的物理意义。 答案 xAsin 2 T t，其中 x 是位移，A 是振幅，T 是周期。 (2)有两个简谐运动 x13asin 4bt 4 和 x29asin 8bt 2 ，它们的振幅之比 是多少？频率之比是多少？ 答案 振幅之比 13，频率之比 12。 归纳拓展 1.相位 相位 t 描述做简谐运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同 振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每 增加 2，意味着物体完成了一次全振动。 2.相位差 (1)频率相同的两个简谐运动
16、有固定的相位差，即 21。 (2)若 0，表明两个物体运动步调相同，即同相。 (3)若 ，表明两个物体运动步调相反，即反相。 (4)若 210，则 2 的相位比 1 的相位超前 或 1 的相位比 2 的相位落后 。 (5)若 210，则 2 的相位比 1 的相位落后|或 1 的相位比 2 的相位超前 |。 3.简谐运动的表达式 xAsin 2 T t0 (1)表达式反映了做简谐运动的物体的位移 x 随时间的变化规律。 (2)从表达式 xAsin (t)体会简谐运动的周期性。当 (t2)(t1) 2n 时，t2n nT，振子位移相同，每经过周期 T 完成一次全振动。 【例 3】 (2021 湖北
17、黄石二中月考)一弹簧振子的位移 x 随时间 t 变化的关系式为 x0.1sin 2.5t，位移 x 的单位为 m，时间 t 的单位为 s。则( ) A.弹簧振子的振幅为 0.2 m B.弹簧振子的周期为 1.25 s C.在 t0.2 s 时，振子的运动速度为零 D.在任意 0.2 s 时间内，振子的位移均为 0.1 m 答案 C 解析 根据公式 xAsin t 对应可得，A0.1 m，A 错误；根据公式 T2 可得 T 2 2.5 s0.8 s，B 错误；在 t0.2 s 时，y0.1 m，振子位于正向最大位移处， 速度为零，C 正确；根据振子的振动规律可得，只有振子位于平衡位置或者最大 位
18、移处时，经过 0.2 s T 4 的时间内的路程为 0.1 m，D 错误。 【针对训练 3】 (2021 广西钦州一中期中)如图所示， 水平弹簧振子沿 x 轴在 M、 N 间做简谐运动， 坐标原点 O 为振子的平衡位置， 其振动方程为 x5sin 10t 2 cm。下列说法正确的是( ) A.MN 间距离为 5 cm B.振子的运动周期是 0.1 s C.t0 时，振子位于 N 点 D.t0.05 s 时，振子具有最大加速度 答案 C 解析 由振子做简谐运动的表达式可知，振幅为 5 cm，即 OM 间的距离是 5 cm， MN 间的距离是 10 cm，10 rad/s，周期 T2 2 10 s
19、0.2 s，A、B 错误；t 0 时，代入表达式可知 x5 cm，即振子处于 N 位置，C 正确；把 t0.05 s 代 入得 x0，即处于平衡位置，振子的加速度为 0，D 错误。 【方法介绍】 简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时，振子的位移、回 复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是等大的(位移、回复力、加速度的 方向相反，速度、动量的方向不确定)。运动时间也具有对称性，即在平衡位置对 称两段位移间运动的时间相等。 【题目示例】 1.(多选)一弹簧振子做简谐运动，O 为平衡位置，当它经过 O 点时开始计时，经 过 0.3 s 第一次到达 M 点， 再经过 0.2 s
20、第二次到达 M 点， 则弹簧振子第三次到达 M 点还要经过的时间可能为( ) A.1 3 s B. 8 15 s C.1.4 s D.1.6 s 【详细解析】 答案 AC 解析 振子通过 O 点的速度方向有两种可能，一种是从 O 指向 M，另一种是背 离 M。如图甲所示，设 O 为平衡位置，OB (OC )代表振幅，振子从 O 到 C 所需 时间为T 4，因为简谐运动具有对称性，所以振子从 M 到 C 所用时间和从 C 到 M 所用时间相等，故T 40.3 s 0.2 s 2 0.4 s，解得 T1.6 s，则振子第三次到达 M 点 还要经过的时间为 t1.6 s0.2 s1.4 s 如图乙所
21、示，若振子一开始从平衡位置向 B 运动，设 M与 M 关于 O 点对称，则 振子从 M经 B 回到 M所用的时间与振子从 M 经 C 回到 M 所用的时间相等，即 0.2 s。振子从 O 到 M和从 M到 O 及从 O 到 M 所需时间相等，为0.3 s0.2 s 3 1 30 s。则振子第三次到达 M 点还要经过的时间为 t0.2 s 1 304 s 1 3 s，选 A、C。 2.(多选)如图所示， 一轻质弹簧与质量为 m 的物体组成弹簧振子， 在竖直方向上 A、 B 两点间做简谐振动，O 为平衡位置。某一时刻，物体正通过 C 点向上运动(C 点 在平衡位置上方 h 高处)，则从此时刻开始半
22、个周期内( ) A.重力对物体的做功为 2mgh B.加速度方向始终不变 C.回复力做功为 2mgh D.物体克服弹力做功为 2mgh 【详细解析】 答案 AD 解析 振子经过 C 点向上运动，半个周期后振子振动到了 C 点关于 O 点对称的 点 C，CC2h，所以重力做功 2mgh，故 A 正确；弹簧振子的加速度的方向总指 向平衡位置，故振子的加速度的方向先向下再向上，故 B 错误；因 C、C两点是 关于平衡位置对称的点，振子在两点的动能相等，故回复力对振子不做功，故 C 错误；由动能定理 2mghW0，所以弹力做的功 W2mgh，即物体克服弹力 做功为 2mgh，故 D 正确。 【方法感悟
23、】 题 1 中，明显考查简谐运动中运动时间的对称性，题目中没有明确振子经过 O 点 时速度方向与 M 点的位置关系，分析时需要注意有两种可能。题 2 中明显考查简 谐运动中回复力的对称性及能量的对称性，注意 AB 两点关于平衡位置对称，C 与 C关于平衡位置对称，按照“对称则必然相等”，在结论成立的条件下，充分 运用此结论分析题目。 1.(描述简谐运动的物理量)(2021 江苏江阴期中)如图所示，弹簧振子在 A、B 之间 做简谐运动，O 为平衡位置，A、B 间的距离为 20 cm，由 A 运动到 B 的最短时间 为 1 s，则下述说法正确的是( ) A.从 O 到 A 再到 O 振子完成一次全
24、振动 B.振子的周期是 1 s，振幅 20 cm C.振子完成两次全振动所通过的路程是 40 cm D.从 O 点开始经过 2 s 时，振子对平衡位置的位移为零 答案 D 解析 从 O 到 A 再到 O 振子完成半个全振动，A 错误；从 A 运动到 B 的最短时 间为 1 s，为半个周期，则周期为 2 s，振幅 A10 cm，B 错误；振子完成一次全 振动通过的路程是 4A，故振子完成两次全振动所通过的路程是 s24A8A 810 cm80 cm，C 错误；从 O 开始经过 2 s 时，刚好完成一个全振动，振子回 到 O 点，振子对平衡位置的位移为零，D 正确。 2.(描述简谐运动的物理量)一
25、质点做简谐运动，振幅是 4 cm、频率是 2.5 Hz，该 质点从平衡位置起向正方向运动，经 2.5 s 质点的位移和路程分别是(选初始运动 方向为正方向) ( ) A.4 cm，24 cm B.4 cm，100 cm C.0，100 cm D.4 cm，100 cm 答案 D 解析 周期 T1 f 1 2.5 s0.4 s， t2.5 s6 1 4T， 质点在 2.5 s 时将到达正向最大位 移处，故位移为 4 cm，路程为 64AA25A100 cm。选项 D 正确。 3.(简谐运动的图像)(2021 中央民族大学附属中学期末)如图所示， 弹簧振子在 A、 B 之间做简谐运动。以平衡位置
26、O 为原点，建立 Ox 轴。向右为 x 轴的正方向。 若振子位于 B 点时开始计时，则其振动图像为( ) 答案 A 解析 设向右为 x 正方向，振子运动到 B 点时，振子具有正方向最大位移，所以 振子运动到 B 点时开始计时振动图像应是余弦曲线，A 正确。 4.(简谐运动的表达式)(2021 青铜峡市高级中学期中)某振子做简谐运动的表达式 为 x2sin 2t 6 cm，则该振子振动的振幅和周期为( ) A.2 cm，1 s B.2 cm，2 s C.1 cm， 6 s D.1 cm，2 s 答案 A 解析 根据简谐运动的表达式为 x2sin 2t 6 cm 得知，该振子振动的振幅 A2 cm；圆频率 2 rad/s，则周期为 T2 2 2 s1 s，故 A 正确。