1、第第 2 章章 机械振动机械振动 一、简谐运动图像及应用 在简谐运动的振动图像中，纵轴为振动物体的位移，横轴表示振动对应的不同的 时刻。由简谐运动的振动图像可以分析出各物理量。 1.可以确定振动物体在任一时刻的位移。如图所示，对应 t1、t2时刻的位移分别在 x17 cm，x25 cm。 2.确定振动的振幅。振动图像中最大位移的大小就是振幅，图中振动的振幅是 10 cm。 3.确定振动的周期和频率。 振动图像上一个完整的正弦(余弦)图形在时间轴上拉开 的“长度”表示周期。 OD、AE、BF 的时间间隔都等于振动周期，T0.2 s，频率 f1 T5 Hz。 4.确定各时刻振动物体运动的快慢和方向
2、，振动物体振动的方向就是速度方向， 向着平衡位置运动时速度在增大，远离平衡位置时速度在减小。从振动图像的斜 率也可以判定速度大小和方向的变化规律。 例如 t1时刻，振动物体正远离平衡位置向位移的正方向运动，在 t3时刻，振动物 体正向着平衡位置运动。 5.比较各时刻振动物体加速度的大小和方向。例如在 t1时刻，振动物体的位移 x1 为正，则加速度 a1为负，t2时刻位移 x2为负，则加速度 a2为正，又因为|x1|x2|， 所以|a1|a2|。 【例 1】 (多选)一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是( ) A.质点振动频率为 4 Hz B.在 10 s 内质点经过的路程是 20
3、 cm C.在 5 s 末，速度为零，加速度最大，回复力的功率为零 D.在 t0 到 t1 s 内，加速度与速度反向，回复力做负功 答案 BCD 解析 由振动图像可知 T4 s，f1 T0.25 Hz，选项 A 错误；一个周期内，做简 谐运动的质点经过的路程为 4A8 cm，10 s 为 2.5 个周期，质点经过的路程为 s 4A22A10A20 cm，选项 B 正确；在 5 s 末，质点位移最大为 2 cm，此 时回复力最大，所以加速度最大，但速度为零，由 PFv 可知回复力的功率也为 零，选项 C 正确；在 t0 到 t1 s 时间内，质点由平衡位置向正向最大位移处运 动，所以速度与加速度
4、反向，回复力做负功，选项 D 正确。 【针对训练 1】 (2021 湖北八校联考)如图所示是一个质点做简谐运动的振动图 像，根据图像回答下列问题： (1)振动质点离开平衡位置的最大距离； (2)写出此振动质点的运动表达式； (3)振动质点在 00.6 s 的时间内通过的路程； (4)振动质点在 t0.1 s、0.3 s、0.5 s、0.7 s 时的振动方向； (5)振动质点在 0.60.8 s 这段时间内速度和加速度是怎样变化的？ (6)振动质点在 0.40.8 s 这段时间内的动能变化量是多少？ 答案 (1)5 cm (2)x5sin (2.5t) cm (3)15 cm (4)正方向 负方
5、向 负方向 正方向 (5)速度越来越大，加速度越来越小 (6)动能变化量为零 解析 (1)由振动图像可以看出，质点振动的振幅为 5 cm，即此质点离开平衡位置 的最大距离。 (2)由此质点的振动图像可知 A5 cm，T0.8 s，0，所以 xAsin (t) Asin 2 T t 5sin 2 0.8t cm5sin(2.5t) cm。 (3)由振动图像可以看出，质点振动的周期为 T0.8 s，0.6 s3T 4，振动质点是 从平衡位置开始振动的， 故在 00.6 s 的时间内质点通过的路程为 s3A35 cm15 cm。 (4)在 t0.1 s 时， 振动质点处在位移为正值的某一位置上， 若
6、从 t0.1 s 起取一段 极短的时间间隔 t(t0)的话， 从图像中可以看出振动质点的正方向的位移将会 越来越大，由此可以判断得出质点在 t0.1 s 时的振动方向为图中的正方向。同 理可以判断得出质点在 t0.3 s、0.5 s、0.7 s 时的振动方向分别为图中的负方向、 负方向和正方向。 (5)由振动图像可以看出，在 0.60.8 s 这段时间内，振动质点从最大位移处向平 衡位置运动，故其速度是越来越大的；而质点所受的回复力是指向平衡位置，并 且逐渐减小的，故其加速度的方向指向平衡位置且越来越小。 (6)由振动图像可看出，在 0.40.8 s 这段时间内质点从平衡位置经过半个周期的 运
7、动又回到了平衡位置， 尽管初、 末两个时刻的速度方向相反， 但大小是相等的， 故这段时间内质点的动能变化量为零。 二、简谐运动与力学的综合 1.简谐运动常和力学知识相综合 简谐运动与弹簧模型综合，可以考查牛顿第二定律的应用、速度的动态分析以及 临界问题。简谐运动与单摆综合，可以考查单摆周期公式的应用，考查圆周运动 的规律，或考查机械能守恒的应用。 2.解机械振动与力学综合问题的思路 从题型上看，机械振动与力学综合问题有以下几方面考查方向： (1)简谐运动中位移、速度、回复力的大小关于平衡位置的对称性的应用。在这其 中要注意： 判断物体的运动是否为简谐运动。 物体在弹簧弹力(变力)和其他均为恒力
8、的力的作用下的运动一般是简谐运动。 可以证明物体仅在弹簧弹力与重力作用下在竖直方向的运动是简谐运动；光滑斜 面上的物体仅在弹簧弹力、重力、斜面支持力的作用下的运动也是简谐运动。 要注意简谐运动中的速度、合外力、回复力关于平衡位置对称这一特点。一般 同学们能记住位移的对称性，但对回复力、合外力的对称性却很生疏。 此类问题也可应用机械能守恒定律或能量守恒定律进行求解。应抓住弹簧伸长 或压缩的形变量相等时具有相同的弹性势能这一规律。 (2)单摆的周期公式的应用与自由落体、斜面上的运动等基本动力学模型的综合， 一般用以比较下落快慢、何时相碰或碰撞点的判断等问题。此类问题应抓住单摆 周期公式的应用，并注
9、意多解问题。 (3)动力学中临界问题的求解。例如：恰好分离(恰未分离)，压力最大(压力最小) 等问题，此类问题要抓住动力学中的临界条件。 【例 2】 如图所示， 一个竖直弹簧连着一个质量为 M 的薄板， 板上放着一木块， 木块质量为 m。现使整个装置在竖直方向上做简谐运动，振幅为 A。若要求在整 个过程中小木块 m 都不脱离薄木板，则弹簧的劲度系数 k 满足什么条件？ 答案 0kkA， 则 k（Mm）g A 。 由此可见 0k（Mm）g A 。 【针对训练 2】 如图所示，质量为 m 的物体放在弹簧上，与弹簧一起在竖直方 向上做简谐运动，当振幅为 A 时，物体对弹簧的最大压力是物体重力的 1.
10、5 倍。 则： (1)物体对弹簧的最小弹力是多大？ (2)要使物体在振动中不离开弹簧，振幅不能超过多大？ 答案 (1)1 2mg (2)2A 解析 (1)当木块运动到最低点时，对弹簧弹力最大，此时由牛顿第二定律得 Fmaxmgma，因为 Fmax1.5mg，所以 a0.5g 当木块运动到最高点时，对弹簧弹力最小，此时由牛顿第二定律得 mgFminma 由运动的对称性知，最高点与最低点的加速度大小相等，即 a0.5g，代入求得 Fmin1 2mg。 (2)在最高点或最低点 kAma1 2mg 所以弹簧的劲度系数 kmg 2A 物体在平衡位置下方处于超重状态，不可能离开弹簧，只有在平衡位置上方可能 离开弹簧。 要使物体在振动过程中恰好不离开弹簧， 物体在最高点的加速度 ag， 此时弹簧的弹力为零。若振幅再大，物体便会脱离弹簧。物体在最高点刚好不离 开弹簧时，回复力由重力提供，所以 mgkA，则振幅 Amg k 2A。