1、广东省汕头市龙湖区广东省汕头市龙湖区 2021 年年中考数学一模试卷中考数学一模试卷(解析版解析版) 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列数是无理数的是（ ） A B C D0 2下列运算正确的是（ ） Ax5x3x2 B （x+2）2x2+4 C （m2n）3m5n3 D3x2y3xyx 3如图所示的几何体的左视图是（ ） A B C D 4函数 y中自变量 x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 5教育部规定，初中生每天的睡眠时间应为 9 个小时小欣同学记录了她一周的睡眠时间并将统计结果 绘制成如图
2、所示的折线统计图，则小欣这一周的睡眠够 9 个小时的有（ ） A4 天 B3 天 C2 天 D1 天 6已知正比例函数 y12x 与一次函数 y2kx+3 的图象交于点 A（a，2） ，则 k 的值为（ ） A2 B1 C2 D1 7如图，O 中，半径 OC弦 AB 于点 D，点 E 在O 上，E22.5，AB8，则半径 OB 等于（ ） A B C4 D5 8在平面直角坐标系中，已知点 A（4，2） ，B（6，4） ，以原点 O 为位似中心，相似比为，把 ABO 缩小，则点 A 的对应点 A的坐标是（ ） A （2，1） B （8，4） C （8，4）或（8，4） D （2，1）或（2，1）
3、 9如图，反比例函数 y1（k10）和 y2（k20）中，作直线 x10，分别交 x 轴，y1（k1 0）和 y2（k20）于点 P，点 A，点 B，若3，则（ ） A B3 C3 D 10如图，点 P 是边长为的正方形 ABCD 的对角线 BD 上的动点，过点 P 分别作 PEBC 于点 E，PF DC 于点 F，连接 AP 并延长，交射线 BC 于点 H，交射线 DC 于点 M，连接 EF 交 AH 于点 G，当点 P 在 BD 上运动时（不包括 B、D 两点） ，以下结论中：MFMC；AHEF；AP2PMPH；EF 的最小值是其中正确结论是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、
4、填空题（本大题共 7 题，每题题，每题 4 分，共分，共 28 分）分） 11（4 分） 新型冠状病毒也叫 2019nCOV， 该病毒比细胞小得多， 大小约为 150nm （纳米） ， 即为 0.00000015 米，约为一根头发丝直径的千分之一，数据 0.00000015 米用科学记数法表示为 12 （4 分）点 P（5，9）关于 y 轴的对称点 Q 的坐标为 13 （4 分）如图，直线 ab，直线 l 与直线 a，b 分别相交于 A，B 两点，过点 A 作直线 l 的垂线交直线 b 于点 C，若158，则2 的度数为 14 （4 分）实数 a、b 满足 a+b8、则 a2+2ab+b2 1
5、5 （4 分）如图，某堤坝的坝高为 16 米如果迎水坡的坡度为 1：0.75，那么该大坝迎水坡 AB 的长度为 米 16 （4 分）如图，分别以等边三角形 ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形叫做莱 洛三角形，若 AB5，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为 17 （4 分）如图，把矩形 ABCD 沿 EF 对折，使 B 与 D 重合，折痕 EF 交 BD 于 G，连 AG，若 tanAGE ，BF8，P 为 DG 上一个动点，则 PF+PC 的最小值为 三、解答题（一） （本大题共三、解答题（一） （本大题共 3 题，每题题，每题 6 分，共分，共 18 分）分） 1
6、8 （6 分）先化简，再求值：，其中 x+1 19 （6 分）某新建火车站站前广场需要绿化的面积为 35000 米 2，施工队在绿化了 11000 米2 后，将每天的 工作量增加为原来的1.5倍 结果提前4天完成了该项绿化工程 该项绿化工程原计划每天完成多少米 2？ 20 （6 分）如图，AD、BC 相交于点 O，ADBC，CD90 （1）求证：ACBBDA； （2）若ABC32，求CAO 的度数 四、解答题（二） （本大题共四、解答题（二） （本大题共 3 题，每题题，每题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）如图，已知钝角ABC （1）过钝角顶点 B 作 BDAC，交 AC
7、于点 D（使用直尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹） ； （2）若 BC8，C30，求 AB 的长 22（8 分） 每年的 6 月 8 日是 “世界海洋日” ， 某校决定在这一天开展系列海洋知识的宣传活动， 活动有 A 唱 歌、B舞蹈、C绘画、D演讲四项宣传方式学校围绕“你最喜欢的宣传方式是什么？”在全校学 生中进行随机抽样调查（四个选项中必选且只选一项） ，根据调查统计结果，绘制了如下两种不完整的统 计图表： 选项 方式 百分比 A 唱歌 35% B 舞蹈 a C 绘画 25% D 演讲 10% 请结合统计图表，回答下列问题： （1）本次抽查的学生共 人，a ，并将条形统计图补充完整； （2）
8、如果该校学生有 2000 人，请你估计该校喜欢“唱歌”这项宣传方式的学生约有 人 （直 接在横线上填答案） （3）学校采用抽签方式让每班在 A、B、C、D 四项宣传方式中随机抽取两项进行展示，请用树状图或 列表法求某班所抽到的两项方式恰好是“唱歌”和“舞蹈”的概率 23 （8 分） RtABC 在直角坐标系内的位置如图所示， 反比例函数 y在第一象限内的图象与 BC 边交于点 D（4，m） ，与 AB 边交于点 E（2，n） ，BDE 的面积为 2 （1）求 m 与 n 的数量关系； （2）当时，求反比例函数的解析式和直线 AB 的解析式 五、解答题（三） （本大题共五、解答题（三） （本大题
9、共 2 题，每题题，每题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）如图，AB 是O 的弦，OPOA 交 AB 于点 P，过点 B 的直线交 OP 的延长线于点 C，且 CP CB （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若 OA5，OP3，求 CB 的长； （3）设AOP 的面积是 S1，BCP 的面积是 S2，且若O 的半径为 4，BP，求 tan CBP 25 （10 分）如图 1在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+k 的顶点 A 在直线 l：yx3 上，将抛物线 沿直线 l 向右上方平移，使其顶点 P 始终保持在直线 l 上，设平移后的抛物线与原抛物线交于 B 点
10、 （1）请直接写出 k 的值； （2）若抛物线 yx2+k 与直线 l：yx3 的另一个交点为 C当点 B 与点 C 重合时求平移后抛物线 的解析式； （3）连接 AB，BP，当ABP 为直角三角形时，求出 P 点的坐标 2021 年广东省汕头市龙湖区中考数学一模试卷年广东省汕头市龙湖区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每题小题，每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列数是无理数的是（ ） A B C D0 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整 数与分数的统称即
11、有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数由此即可判定选 择项 【解答】解：A、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； B、2，2 是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； C、是无限不循环小数，是无理数，故此选项符合题意； D、0 是整数，属于有理数，故此选项不符合题意 故选：C 【点评】此题主要考查了无理数的定义，初中范围内常见的无理数有三类： 类，如 2 等；开方开 不尽的数，如等；虽有规律但却是无限不循环的小数，如 0.1010010001（两个 1 之间依次增加 1 个 0） ，0.2121121112（两个 2 之间依次增加 1 个 1）等 2下列运算正确的是（ ）
12、 Ax5x3x2 B （x+2）2x2+4 C （m2n）3m5n3 D3x2y3xyx 【分析】根据整式的加减运算法则、乘除运算法则即可求出答案 【解答】解：A、x5与 x3不是同类项，故不能合并，故 A 不符合题意 B、原式x2+4x+4，故 B 不符合题意 C、原式m6n3，故 C 不符合题意 D、原式x，故 D 符合题意 故选：D 【点评】本题考查整式混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算、乘除运算法则，本题属于基 础题型 3如图所示的几何体的左视图是（ ） A B C D 【分析】根据简单组合体的三视图的画法可得答案 【解答】解：根据简单组合体的三视图的画法可知，其左视图是中间
13、有一道横虚线的长方形， 因此选项 D 的图形比较符合题意， 故选：D 【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确解答的前提，掌握三视图的画法是解决 问题的关键 4函数 y中自变量 x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 【分析】根据负数没有平方根求出 x 的范围，表示在数轴上即可 【解答】解：由函数 y，得到 3x+60， 解得：x2， 表示在数轴上，如图所示： 故选：A 【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及函数自变量的取值范围，熟练掌握平方根定义是 解本题的关键 5教育部规定，初中生每天的睡眠时间应为 9 个小时小欣同学记录了她一周的睡眠时间并将统
14、计结果 绘制成如图所示的折线统计图，则小欣这一周的睡眠够 9 个小时的有（ ） A4 天 B3 天 C2 天 D1 天 【分析】根据统计图中的数据可知，小欣同学这一周的睡眠够 9 个小时的有几天，本题得以解决 【解答】解：由图可知， 小欣同学周一到周日的睡眠时间分别是：6 小时，8 小时，7 小时，7 小时，9 小时，10 小时，8 小时， 则小欣同学这一周的睡眠够 9 个小时的有 2 天， 故选：C 【点评】本题考查折线统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 6已知正比例函数 y12x 与一次函数 y2kx+3 的图象交于点 A（a，2） ，则 k 的值为（ ） A2 B1
15、 C2 D1 【分析】根据点 A（a，2）在正比例函数 y12x 上求出 a，把点 A 的坐标代入一次函数解析式，求出 k 【解答】解：点 A（a，2）在正比例函数 y12x 上， 2a2， a1， 由题意得，k+32， 解得，k1， 故选：D 【点评】本题考查的是两直线的交点问题，掌握函数图象上点的坐标特征是解题的关键 7如图，O 中，半径 OC弦 AB 于点 D，点 E 在O 上，E22.5，AB8，则半径 OB 等于（ ） A B C4 D5 【分析】直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出ODB 是等腰直角三角形，进而得出答案 【解答】解：半径 OC弦 AB 于点 D， ，ADBD， E
16、BOC22.5， BOD45， ODB 是等腰直角三角形， AB8， DBOD4， 则半径 OB 等于：4 故选：B 【点评】此题主要考查了垂径定理和圆周角定理，正确得出ODB 是等腰直角三角形是解题关键 8在平面直角坐标系中，已知点 A（4，2） ，B（6，4） ，以原点 O 为位似中心，相似比为，把 ABO 缩小，则点 A 的对应点 A的坐标是（ ） A （2，1） B （8，4） C （8，4）或（8，4） D （2，1）或（2，1） 【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对 应点的坐标的比等于 k 或k，即可求得答案 【解答】解：点
17、A（4，2） ，B（6，4） ，以原点 O 为位似中心，相似比为，把ABO 缩小， 点 A 的对应点 A的坐标是： （2，1）或（2，1） 故选：D 【点评】此题考查了位似图形与坐标的关系此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换 是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标比等于k 9如图，反比例函数 y1（k10）和 y2（k20）中，作直线 x10，分别交 x 轴，y1（k1 0）和 y2（k20）于点 P，点 A，点 B，若3，则（ ） A B3 C3 D 【分析】根据已知条件得到 k1OPPA，k2OPBP，代入于是得到结论 【解答】解：点 A 在反比例函数 y
18、1（k10）的图象上，点 B 在反比例函数 y2（k20）的 图象上，且3， k1OPPA，k2OPBP， 3， 故选：C 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数 k 的几何意义、正确的理解题意 是解题的关键 10如图，点 P 是边长为的正方形 ABCD 的对角线 BD 上的动点，过点 P 分别作 PEBC 于点 E，PF DC 于点 F，连接 AP 并延长，交射线 BC 于点 H，交射线 DC 于点 M，连接 EF 交 AH 于点 G，当点 P 在 BD 上运动时（不包括 B、D 两点） ，以下结论中：MFMC；AHEF；AP2PMPH；EF 的最小值是其中正确结论是
19、（ ） A B C D 【分析】错误， 正确想办法证明GFM+AMD90即可； 正确只要证明CPMHPC，可得，推出 PC2PMPH，根据对称性可知：PAPC， 可得 PA2PMPH； 错误利用矩形的性质可知 EFPC，当 PCBD 时，EF 的值最小，最小值为 1； 【解答】解：错误因为当点 P 与 BD 中点重合时，CM0，显然 FMCM； 正确连接 PC 交 EF 于 O根据对称性可知DAPDCP， 四边形 PECF 是矩形， OFOC， OCFOFC， OFCDAP， DAP+AMD90， GFM+AMD90， FGM90， AHEF 正确ADBH， DAPH， DAPPCM， PCM
20、H， CPMHPC， CPMHPC， ， PC2PMPH， 根据对称性可知：PAPC， PA2PMPH 错误四边形 PECF 是矩形， EFPC， 当 CPBD 时，PC 的值最小，此时 A、P、C 共线， AC2， PC 的最小值为 1， EF 的最小值为 1； 故选：B 【点评】本题考查正方形的性质、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是 灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 题，每题题，每题 4 分，共分，共 28 分）分） 11（4 分） 新型冠状病毒也叫 2019nCOV， 该病毒比细胞小得多， 大小约
21、为 150nm （纳米） ， 即为 0.00000015 米，约为一根头发丝直径的千分之一，数据 0.00000015 米用科学记数法表示为 1.510 7 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.000000151.510 7， 故答案为：1.510 7 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10 n，其中 1|a|10，n 为由原数左边 起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 12 （4 分）点 P（
22、5，9）关于 y 轴的对称点 Q 的坐标为 （5，9） 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点 P（x，y） ，关于 y 轴的对称点的坐标是（x，y）即求关于 y 轴的对称点时：纵坐标不变，横坐标变成相反数，据此即可解答 【解答】解：点 P（5，9）关于 y 轴的对称点 Q 的坐标为（5，9） 故答案为： （5，9） 【点评】本题考查了关于 x 轴、y 轴的对称点的坐标解题的关键是掌握关于 x 轴、y 轴的对称点的坐标 的特征，关于 y 轴对称的两个点纵坐标不变，横坐标变成相反数 13 （4 分）如图，直线 ab，直线 l 与直线 a，b 分别相交于 A，B 两点，过点 A 作直线 l 的垂线交
23、直线 b 于点 C，若158，则2 的度数为 32 【分析】根据平行线的性质得出ACB2，根据三角形内角和定理求出即可 【解答】解：直线 ab， ACB2， ACBA， BAC90， 2ACB1801BAC180905832， 故答案为：32 【点评】本题考查了对平行线的性质和三角形内角和定理的应用，注意：两直线平行，同位角相等， 两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补 14 （4 分）实数 a、b 满足 a+b8、则 a2+2ab+b2 64 【分析】根据完全平方公式解答即可 【解答】解：a+b8， a2+2ab+b2（a+b）2（8）264 故答案为：64 【点评】此题考查了完全
24、平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 15（4 分） 如图， 某堤坝的坝高为 16 米 如果迎水坡的坡度为 1： 0.75， 那么该大坝迎水坡 AB 的长度为 20 米 【分析】先根据坡度的定义求出 AC 的长，再根据勾股定理即可求出该大坝迎水坡 AB 的长度 【解答】解：如图，过点 B 作 BC 垂直于水平面于点 C， 迎水坡的坡度为 1：0.75， BC：AC1：0.75， 16：AC1：0.75， 解得：AC12（米） ， AB20（米） ， 即该大坝迎水坡 AB 的长度为 20 米， 故答案为：20 【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题以及勾股定理，解决本题的关键是
25、掌握坡度坡 角定义 16 （4 分）如图，分别以等边三角形 ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形叫做莱 洛三角形，若 AB5，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为 【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积三块扇形的面积相加，再减去两个 等边三角形的面积，分别求出即可 【解答】解：过 A 作 ADBC 于 D， ABC 是等边三角形， ABACBC5，BACABCACB60， ADBC， BDCD2.5，ADBD， SABCBCAD，S扇形BAC， 莱洛三角形的面积 S32， 故答案为： 【点评】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出
26、莱洛三角形的面积三块扇 形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键 17 （4 分）如图，把矩形 ABCD 沿 EF 对折，使 B 与 D 重合，折痕 EF 交 BD 于 G，连 AG，若 tanAGE ，BF8，P 为 DG 上一个动点，则 PF+PC 的最小值为 10 【分析】如图，连接 BE，CE，PE，取 BE 的中点 O，连接 OA，OG首先证明EGDFGB（ASA） ， 推出 BFDE8，EGFG，再证明 PFPE，推出 PF+PCPE+PCEC，想办法求出 EC 即可解决问 题 【解答】解：如图，连接 BE，CE，PE，取 BE 的中点 O，连接 OA，OG 由题意，
27、EF 垂直平分线段 BD， EBED，BGGD， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC， EDGFBG， EGDFGB， EGDFGB（ASA） ， BFDE8，EGFG， DBEF， PEPF， PF+PCPE+PCEC， BAEBGE90，OBOE， OAOBOEOG， A，B，G，E 四点共圆， ABEAGE， tanABEtanAGE， 设 AEk，AB3k， AB2+AE2BE2，BEDE8， （k）2+（3k）282， k2， ABCD6， EDC90， EC10， PF+PC10， PF+PC 的最小值为 10 故答案为：10 【点评】 本题考查翻折变换， 矩形的性质， 全等三角
28、形的判定和性质， 线段的垂直平分线的判定和性质， 解直角三角形，四点共圆等知识，本题综合性比较强，属于中考填空题中的压轴题 三、解答题（一） （本大题共三、解答题（一） （本大题共 3 题，每题题，每题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）先化简，再求值：，其中 x+1 【分析】根据分式混合运算的法则先算括号里面的，再算除法，最后把 x 的值代入进行计算即可 【解答】解：原式 ， 当 x+1 时，原式 【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体 代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值
29、19 （6 分）某新建火车站站前广场需要绿化的面积为 35000 米 2，施工队在绿化了 11000 米2 后，将每天的 工作量增加为原来的1.5倍 结果提前4天完成了该项绿化工程 该项绿化工程原计划每天完成多少米 2？ 【分析】 设该项绿化工程原计划每天完成 x 米 2， 由题意： 某新建火车站站前广场需要绿化的面积为 35000 米 2，施工队在绿化了 11000 米2 后，将每天的工作量增加为原来的 1.5 倍结果提前 4 天完成了该项绿 化工程列出分式方程，解方程即可 【解答】解：设该项绿化工程原计划每天完成 x 米 2， 根据题意得：4， 解得：x2000， 经检验，x2000 是原
30、方程的解， 答：该绿化项目原计划每天完成 2000 平方米 【点评】此题主要考查了分式方程的应用，找出等量关系，列出分式方程是解题的关键 20 （6 分）如图，AD、BC 相交于点 O，ADBC，CD90 （1）求证：ACBBDA； （2）若ABC32，求CAO 的度数 【分析】 （1）根据 HL 证明 RtABCRtBAD； （2）利用全等三角形的性质证明即可 【解答】证明：DC90， ABC 和BAD 都是 Rt， 在 RtABC 和 RtBAD 中， ， RtABCRtBAD（HL） ； （2）RtABCRtBAD， ABCBAD32， C90， BAC58， CAOCABBAD26 【
31、点评】 本题考查了全等三角形的判定与性质： 判定三角形全等的方法有 “SSS” 、 “SAS” 、 “ASA” 、 “AAS” ， “HL” ；全等三角形的对应边相等 四、解答题（二） （本大题共四、解答题（二） （本大题共 3 题，每题题，每题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）如图，已知钝角ABC （1）过钝角顶点 B 作 BDAC，交 AC 于点 D（使用直尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹） ； （2）若 BC8，C30，求 AB 的长 【分析】 （1）利用尺规作出 BDAC，垂足为 D 即可 （2）在 RtBCD 中求出 BD，再在 RtABD 中，求出 AB 即可 【
32、解答】解： （1）如图，线段 BD 即为所求 （2）解：在 RtBCD 中，BC8，C30 BDBCsin304， 在 RtABD 中，AB10 【点评】本题考查作图基本作图，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于 中考常考题型 22（8 分） 每年的 6 月 8 日是 “世界海洋日” ， 某校决定在这一天开展系列海洋知识的宣传活动， 活动有 A 唱 歌、B舞蹈、C绘画、D演讲四项宣传方式学校围绕“你最喜欢的宣传方式是什么？”在全校学 生中进行随机抽样调查（四个选项中必选且只选一项） ，根据调查统计结果，绘制了如下两种不完整的统 计图表： 选项 方式 百分比 A 唱歌 35
33、% B 舞蹈 a C 绘画 25% D 演讲 10% 请结合统计图表，回答下列问题： （1）本次抽查的学生共 300 人，a 30 ，并将条形统计图补充完整； （2）如果该校学生有 2000 人，请你估计该校喜欢“唱歌”这项宣传方式的学生约有 700 人 （直接 在横线上填答案） （3）学校采用抽签方式让每班在 A、B、C、D 四项宣传方式中随机抽取两项进行展示，请用树状图或 列表法求某班所抽到的两项方式恰好是“唱歌”和“舞蹈”的概率 【分析】 （1）用 D 类学生数除以它所占的百分比即可得到总人数，再用 1 分别减去 A、C、D 类的百分 比即可得到 a 的值，然后用 a 乘以总人数得到 B
34、 类人数，再补全条形统计图； （2）估计样本估计总体，用 2000 乘以 A 类的百分比即可； （3）画树状图，共有 12 个等可能的结果，抽到的两项方式恰好是“唱歌”和“舞蹈”的结果有 4 个， 再由概率公式求解即可 【解答】解： （1）本次抽查的学生数3010%300（人） ，a135%25%10%30%； 30030%90，即 D 类学生人数为 90 人， 如图， 故答案为：300，30； （2）200035%700（人） ， 所以可估计该校喜欢“唱歌”这项宣传方式的学生约有 700 人， 故答案为：700 （3）画树状图为： 由树状图知共有 12 种等可能的结果，其中含 A 和 B 的
35、有 2 种， 所以某班所抽到的两项方式恰好是“唱歌”和“舞蹈”的概率 P 【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从中 选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率也考查了样本估计总体 和条形统计图 23 （8 分） RtABC 在直角坐标系内的位置如图所示， 反比例函数 y在第一象限内的图象与 BC 边交于点 D（4，m） ，与 AB 边交于点 E（2，n） ，BDE 的面积为 2 （1）求 m 与 n 的数量关系； （2）当时，求反比例函数的解析式和直线 AB 的解析式 【分析】 （1）根据 D、E
36、两点在反比例函数图象上，可得 4mk，2nk，整理可得答案； （2）过点 E 作 EHBC，垂足为 H根据BDE 的面积为 2 可得 m1，进而可得 D（4，1） ，E（2，2） ， B（4，3） ，然后利用待定系数法可得答案 【解答】解： （1）D（4，m） 、E（2，n）在反比例函数 y的图象上， 4mk，2nk， 整理得：n2m； （2）如图，过点 E 作 EHBC，垂足为 H，连接 OE， 在 RtBEH 中，tanBEHtanA，EH2， BH1 D（4，m） ，E（2，2m） ，B（4，2m+1） BDE 的面积为 2， BDEH（m+1）22， 解得 m1 D（4，1） ，E（2
37、，2） ，B（4，3） 点 D（4，1）在反比例函数 y的图象上， k4 反比例函数的解析式为：y 设直线 AB 的解析式为 ykx+b，代入 B（4，3） 、E（2，2） ， 得， 解得：， 直线 AB 的函数解析式为：yx+1 【点评】本题主要考查的是反比例函数的综合应用，根据待定系数法求出一次函数解析式是解题关键 五、解答题（三） （本大题共五、解答题（三） （本大题共 2 题，每题题，每题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）如图，AB 是O 的弦，OPOA 交 AB 于点 P，过点 B 的直线交 OP 的延长线于点 C，且 CP CB （1）求证：BC 是O 的切线
38、； （2）若 OA5，OP3，求 CB 的长； （3）设AOP 的面积是 S1，BCP 的面积是 S2，且若O 的半径为 4，BP，求 tan CBP 【分析】 （1）由垂直定义得A+APO90，根据等腰三角形的性质由 CPCB 得CBPCPB， 根据对顶角相等得CPBAPO，所以APOCBP，而AOBA，所以OBCCBP+OBA APO+A90，然后根据切线的判定定理得到 BC 是O 的切线； （2）设 BCx，则 PCx，在 RtOBC 中，根据勾股定理得到 52+x2（x+3）2，然后解方程即可； （3）作 CDBP 于 D， 由等腰三角形三线合一的性质得，PDBDPB，得出 ，通过证得
39、AOPPCD，即可求得 CD，然后解直角三角形即可求得 【解答】 （1）证明：连接 OB，如图， OPOA， AOP90， A+APO90， CPCB， CBPCPB， 而CPBAPO， APOCBP， OAOB， AOBA， OBCCBP+OBAAPO+A90， OBBC， BC 是O 的切线； （2）解：设 BCx，则 PCx， 在 RtOBC 中，OBOA5，OCCP+OPx+3， OB2+BC2OC2， 52+x2（x+3）2， 解得 x， 即 BC 的长为； （3）解：如图，作 CDBP 于 D， PCPB， PDBDPB， PDCAOP90，APOCPD， AOPPCD， ， ，
40、， OA4， CD， tanCBP2 【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线也考查了 勾股定理、三角形相似的判定和性质 25 （10 分）如图 1在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+k 的顶点 A 在直线 l：yx3 上，将抛物线 沿直线 l 向右上方平移，使其顶点 P 始终保持在直线 l 上，设平移后的抛物线与原抛物线交于 B 点 （1）请直接写出 k 的值； （2）若抛物线 yx2+k 与直线 l：yx3 的另一个交点为 C当点 B 与点 C 重合时求平移后抛物线 的解析式； （3）连接 AB，BP，当ABP 为直角三角形时，求出 P 点
41、的坐标 【分析】（1） 先根据直线 l： yx3， 可得直线与 y 轴的交点 A 的坐标， 从而代入抛物线的解析式 yx2+k， 可得 k 的值； （2）将两函数的解析式列方程后可得交点 C 的坐标，因为点 B 与点 C 重合，所以平移后的抛物线的顶 点 P 与 C 重合，由此可得平移后的抛物线的解析式； （3）分两种情况：当APB90，如图 2，利用勾股定理和两点的距离公式，列方程可得结论； 当ABP90，利用勾股定理和两点的距离公式计算量太大，所以作辅助线，构建两个直角三角形， 利用等角的正切列比例式可得结论 【解答】解： （1）直线 l：yx3， 当 x0 时，y3， 顶点（0，3） ，
42、 抛物线的解析式为：yx23，即 k3； （2）由题意得：x23x3， 解得：x10，x21， C（1，2） ， 当点 B 与点 C 重合时，如图 1，顶点 P（1，2） ， 平移后抛物线的解析式为：y（x1）22x22x1； （3）抛物线顶点 P 始终保持在直线 l 上， 设 P（m，m3） ，则平移后的抛物线的解析式为：y（xm）2+m3， ， 解得：， B（，） ， 抛物线 yx23 沿直线 l 向右上方平移， 当ABP 为直角三角形时，PAB 不可能为直角， 所以分两种情况： 当APB90时，如图 2，AP2+BP2AB2， +， m（m1） （m3）0， m10（舍） ，m21（舍） ，m33， P（3，0） ； 当ABP90时，如图 3，过 B 作 EFy 轴于 F，过 P 作 PEEF 于 E， ABF+EBPEBP+EPB90， ABFEPB， tanABFtanEPB，即， ， 解得：m1（舍） ，m2， P（，3） ， 综上，P 点的坐标是（3，0）或（，3） 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，三角函数，两点距离 公式，勾股定理，平移等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键