1、2021年兰州市高三诊断考试数学试卷（文科）第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）ABCD2已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）ABCD3已知向量，满足，且，则，的夹角大小为（ ）ABCD4下图是甲、乙两组数据的频率分布折线图，分别表示甲、乙两组数据的方差，则，大小关系正确的是（ ）甲组数据频率分布折线图 乙组数据频率分布折线图ABCD无法确定5点为双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点若，则双曲线的一条渐近线方程是（ ）ABCD6函数的图象如图所示，则函数的图象为（ ）ABCD7九章算术卷五商
2、功中有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高四丈”意思是：今将粟放平地，谷堆下周长丈，高丈将该谷堆模型看作一个圆锥，取近似值，则该圆锥外接球的表面积约为（ ）A平方丈B平方丈C平方丈D平方丈8已知，则的值是（ ）ABCD9已知命题：“，是两条不同的直线，是一个平面，若，则”，命题：“函数为上的增函数”下列说法正确的是（ ）A“”为真命题B“”为真命题C“”为真命题D“”为真命题10英国物理学家、数学家牛顿曾提出在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是，环境温度是，那么经过小时后物体的温度将满足通过实验观察发现，在的室温下，一块从冰箱中取出的的冻肉经过小时后温度升至，在相同的环境
3、下利用牛顿冷却模型计算：温度为的水，冷却到，大约经过的时间为（忽略体积等其它因素的影响）（ ）A小时B小时C小时D小时11已知函数的一个极值点为，则的最大值为（ ）ABCD12已知是椭圆外一点，经过点的光线被轴反射后，所有有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则椭圆的离心率为（ ）ABCD第卷本卷包括必考题和选考题两部分第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22题第23题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13若，满足约束条件，则的最小值为_14从，中任取两个数，它们均小于这五个数的平均数的概率是_15已知中，为的中点，且，则_16如图，正方
4、体的棱长为，点是棱的中点，过的平面与平面平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为_三、解答题：解答应泻出文字说明、证明过程或演算步骤17已知为等差数列的前项和，（）求数列的通项公式；（）若，求数列的前项和18在三棱锥中，是的中点，（）证明：平面；（）若，求点到平面的距离19某校高二生物研究性学习小组的同学们为了研究当地某种昆虫的产卵数与温度的变化关系，他们收集了一只该种昆虫在温度时相对应产卵数个数为的组数据，为了对数据进行分析，他们绘制了如下散点图：（）根据散点图，甲、乙两位同学分别用和（其中）两种模型进行回归分析，试判断这两位同学得到的回归方程中，哪一个的相关指数更接近
5、；（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的结论选定上述两个模型中更适宜作为对昆虫产卵数与温度变化关系进行回归分析的模型，并利用下表中数据，计算该模型的回归方程；（方程表示为的形式，数据计算结果保留两位小数）（）据测算，若一只此种昆虫的产卵数超过，则会发生虫害研究性学习小组的同学通过查阅气象资料得知近期当地温度维持在左右，试利用（）中的回归方程预测近期当地是否会发生虫害附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，20已知拋物线及点（）以抛物线焦点为圆心，为半径作圆，求圆与抛物线交点的横坐标；（）、是抛物线上不同的两点，且直线与轴不垂直，弦的垂直平分线恰好经过点，求的范围21
6、已知函数（）当时，求函数图象在点处的切线方程；（）若，当函数有且只有一个极值时，求的最大值22选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，双曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）若，设曲线的一条渐近线与相交于，两点，求；（）若，分別在与上任取点和，求的最小值23选修4-5：不等式选讲已知函数（）当时，画出函数的图象；（）当时，恒成立，求的范围2021年兰州市高三诊断考试数学（文科）参考答案及评分标准1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1212【解析】反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则过另一条椭圆的切线斜率不存在，则，
7、所以离心率为13 14 15 1616【解析】如图所示虚线即为截面图形，根据边长可得周长为17【解析】（）等差数列的前项和，得由题可得，等差数列的公差，所以通项公式（）由（）可知的前项和，则18【解析】（）由题可知是的中点，中所以为直角三角形，即由题可知，则有，则平面（）由（）可知平面，设点到平面的距离为，由可得，因为为等边三角形，所以，为直角三角形，所以代入上式可知，因为是的中点，所以点到平面的距离19【解析】（）乙同学模型的相关指数更接近（）根据（）的结论，应选择做为回归方程，根据公式，故关于的回归方程为（）当时，因此，近期当地不会发生虫害20【解析】（）由已知得，所以圆的方程为由得解得：
8、或，由于，所以（）设弦的中点为，则，设中垂线的程为，则直线的斜率则直线的方程为由得，即的范围是21【解析】（）当时，函数图象在点处的切线方程为（）可知，令，得或，由得，或因此当时，由于和时，时，因此，函数在内有两个极值点，不满足条件；当时，函数为上的增函数，无极值，不满足条件；当或时，可知函数在内有两个极值点，不满足条件；当时，可知函数在内有两个极值点，不满足条件；当时，可知函数在内有且只有一个极值当且仅当时“”成立因此，的最大值是22【解析】（）若，曲线的直角坐标方程为：，双曲线：，一条渐近线方程为：，圆心到直线的距离，则另解：可知双曲线：，一条渐近线方程为：，其极坐标方程为由得，故，（）若，曲线的直角坐标方程为：，圆心，半径，设双曲线上任取点，则，当时，23【解析】（）当时，函数的解析式可化为：故函数图象如图（）当时，在时显然成立；当时，用于，故，此式显然在时成立；当时，当时，当时函数增，当时函数减，当时，函数为增函数因此，当时，令，若要恒成立，只需，所以综上可知，当或时，满足条件