1、拓展提升课四拓展提升课四 简谐运动的图像和连接体问题简谐运动的图像和连接体问题 【学习目标】 1.能从简谐运动的图像中提炼信息，并解决相关问题。2.能用动力学观点，能 量观点分析简谐运动的连接体问题。 拓展点 1 简谐运动的图像问题 1.根据简谐运动的图像可以确定振子或摆球的位移、速度、振幅、周期、动能、势能等信息。 2.根据振子或摆球的初始位置和受力，判断其简谐运动的图像。 【例 1】 (多选)如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计 时，相对平衡位置的位移 x 随时间 t 变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，重力加速度 g 取 10 m/s2。对于这个单摆的振动
2、过程，下列说法正确的是( ) A.单摆的摆长约为 1.0 m B.单摆的位移 x 随时间 t 变化的关系式为 x8cos t3 2 cm C.从 t0.5 s 到 t1.0 s 的过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D.从 t1.0 s 到 t1.5 s 的过程中，摆球所受回复力逐渐减小 答案 AB 解析 由题图乙可知单摆的周期 T2 s，振幅 A8 cm，由单摆的周期公式 T2 L g，代入 数据可得 L1 m，A 正确；由 2 T 可得 rad/s，则单摆的位移 x 随时间 t 变化的关系式 为 xAcos(t)8cos t3 2 cm，B 正确；从 t0.5 s 到 t1.0 s 的过程中，
3、摆球从最高 点运动到最低点，重力势能减小，C 错误；从 t1.0 s 到 t1.5 s 的过程中，摆球的位移增大， 回复力增大，D 错误。 【训练 1】 (2021 贵州遵义航天高级中学高二诊断)如图所示，一底端有挡板的斜面体固定在 水平面上，其斜面光滑，倾角为 ，一个劲度系数为 k 的轻弹簧下端固定在挡板上，上端与物 块 A 连接在一起，物块 B 紧挨着物块 A 静止在斜面上。某时刻将 B 迅速移开，A 将在斜面上 做简谐运动。已知物块 A、B 的质量分别为 mA、mB，若取沿斜面向上为正方向，移开 B 的时 刻为计时起点，则 A 的振动位移随时间变化的图像是下图中的( ) 答案 B 解析
4、刚移开物块 B 时物块 A 处于简谐运动的最低点，此时弹簧的形变量 x1 （mAmB）gsin k ，A 处于平衡位置时，弹簧的形变量 x2mAgsin k ，所以 A 做简谐运动的振 幅为 Ax1x2mBgsin k 。开始时物块 A 的位移为A，所以选项 B 正确。 拓展点 2 简谐运动的连接体问题 1.振子为多个物块组成的连接体时，进行动力学分析需应用整体法、隔离法，注意加速度的对 称性。 2.当振子质量发生变化时，从能量转化与守恒的角度分析较简单，需注意动能和弹性势能中的 变与不变，最大弹性势能与振幅有关。 【例 2】 (多选)(2021 河北永年二中高三诊断)如图所示，物体 A 与滑
5、块 B 一起在光滑水平面 上做简谐运动，A、B 之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数为 k，A、B 的质量分别为 m 和 M，下列说法正确的是( ) A.物体 A 的回复力是由滑块 B 对物体 A 的摩擦力提供 B.滑块 B 的回复力是由弹簧的弹力提供 C.物体 A 与滑块 B(看成一个振子)的回复力大小跟位移大小之比为 k D.若 A、B 之间的最大静摩擦因数为 ，则 A、B 间无相对滑动的最大振幅为 （mM）g k 答案 ACD 解析 物块 A 做简谐运动时回复力是由滑块 B 对物体 A 的摩擦力提供的，故 A 正确；滑块 B 做简谐运动的回复力是由弹簧的弹力和 A 对 B 的静摩擦力的
6、合力提供的，故 B 错误；物体 A 与滑块 B(看成一个振子)的回复力大小满足 Fkx，则回复力大小跟位移大小之比为 k，故 C 正确；当物体间的摩擦力达到最大静摩擦力时，其振幅最大，设为 A。以整体为研究对象有 kA (Mm)a， 以物体 A 为研究对象， 由牛顿第二定律得 mgma， 联立解得 A（mM）g k ， 故 D 正确。 【训练 2】 (2021 天津一中质检)如图所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木块 B 相 连，木块 A 放在木块 B 上，两木块质量均为 m，在木块 A 上施有竖直向下的力 F，整个装置 处于静止状态。 (1)突然将力 F 撤去，若运动中 A、B 不分离
7、，则 A、B 共同运动到最高点时，B 对 A 的弹力有 多大？ (2)要使 A、B 不分离，力 F 应满足什么条件？ 答案 (1)mgF 2 (2)F2mg 解析 (1)最高点与最低点有相同大小的回复力(合外力)，只是方向相反。在最低点，即原来平 衡的系统在撤去力 F 的瞬间，受到的合外力等于 F，方向竖直向上；当到达最高点时，系统受 到的合外力也等于 F，方向竖直向下。设在最高点 A、B 的加速度为 a，由牛顿第二定律得 F 2ma，物体 A 受到重力和 B 对 A 的弹力 FB，由牛顿第二定律得 mgFBma，联立解得 FB mgF 2。 (2)力 F 越大 A、B 越容易分离，讨论恰好不
8、分离的临界情况，也可利用最高点与最低点回复力 的对称性。在最高点时 A、B 恰好不分离，虽然接触但无弹力，A 只受重力，故此时 A 做简谐 运动的回复力向下，大小为 mg。那么，在最低点时，即刚撤去力 F 时，A 受的回复力方向竖 直向上，大小也应等于 mg，其加速度 ag。 对 AB 系统，设在最低点时 A 的加速度为 a，由牛顿第二定律得 F2ma，即 F2mg。所以， 要使 A、B 不分离，力 F 应满足 F2mg。 1.(简谐运动的图像问题)(多选)一质点做简谐运动的图像如图所示，则该质点( ) A.在 0.015 s 时，速度和加速度都为 x 轴负方向 B.在 0.01 s 至 0.
9、03 s 内，速度与加速度先反方向后同方向，且速度是先减小后增大，加速度是 先增大后减小 C.在第 8 个 0.01 s 内，速度与位移方向相同，且都在不断增大 D.在 1 s 内，回复力的瞬时功率有 100 次为零 答案 BD 解析 在 0.015 s 时，质点在由平衡位置向负向最大位移运动的过程中，速度为负，根据加速 度 a k mx 可知，加速度的方向为正方向，A 错误；在 0.01 s 至 0.02 s 内，质点由平衡位置运 动到了负向最大位移处，速度与加速度反向，速度减小，加速度增大，在 0.02 s 至 0.03 s 内， 质点由负向最大位移处向平衡位置运动，速度为正，加速度为正，
10、速度与加速度同向，速度增 大，加速度减小，B 正确；在第 8 个 0.01 s 内，质点由平衡位置向正向最大位移处运动，速度 与位移方向都为正，但速度减小，位移增大，C 错误；由题图可知，质点的振动周期为 0.04 s， 则 1 s25T，一个周期内有两次速度为零，两次回复力为零，根据 PFv 知，在 1 s 内，回复 力的瞬时功率有 100 次为零，D 正确。 2.(简谐运动的图像问题)(2021 上海市建平中学期中)一个质点做简谐运动，其位移随时间变化 的 xt 图像如图所示，以位移的正方向为正，该质点的速度随时间变化的 vt 图像为( ) 答案 A 解析 由题图知，在 t0 时刻，质点在
11、正向最大位移处，质点的速度为零。tT 4时，质点通 过平衡位置，速度为负向最大。tT 2时，质点在负向最大位移处，质点的速度为零。t 3 4T 时， 质点通过平衡位置，速度为正向最大。tT 时，质点在正向最大位移处，质点的速度为零，所 以该质点的速度随时间变化的 vt 图像为 A 图，故选 A。 3.(简谐运动的连接体问题)如图所示，一质量为 M 的无底木箱放在水平地面上，一轻质弹簧一 端悬于木箱的上边，另一端挂着用细线连接在一起的两物体 A 和 B，mAmBm，剪断 A、B 间的细线后，A 做简谐运动，求：A 振动到最高点时，木箱对地面的压力为多少？ 答案 Mg 解析 剪断细线前，对 A、B 整体，由力的平衡有弹簧对 A 的弹力 F 满足 F2mg 此时弹簧的伸长量为 xF k 2mg k 剪断细线后，A 做简谐运动，其平衡位置在弹簧的伸长量为 xmg k 处，最低点即刚剪断细线 时的位置，离平衡位置的距离为mg k ，由简谐运动的对称性可知，当 A 振动到最高点距离平衡 位置的距离也为mg k ，所以最高点的位置恰好在弹簧的原长处，此时弹簧对木箱作用力为零， 所以此时木箱对地面的压力为 Mg。