1、第一节第一节 简谐运动简谐运动 学习目标要求 核心素养和关键能力 1.知道简谐运动的定义，理解振幅、周期、频 率的概念，知道全振动的含义。 2.知道弹簧振子是理想化物理模型，能对简谐 运动进行动力学分析。 3.会对简谐运动进行能量分析。 1.科学思维 (1)对称思想。 (2)类比思想。 2.关键能力 (1)分析推理能力。 (2)建模能力。 一、认识简谐运动 1.机械振动： 物体(或者物体的一部分)在某一中心位置(平衡位置)两侧所做的往复运动叫作机械 振动，简称振动。 2.回复力：影响振子运动的只有弹簧的弹力，这个力的方向跟振子偏离平衡位置的位移方向相 反，总指向平衡位置，它的作用是使振子能返回
2、平衡位置，这个力叫作回复力。 3.简谐振动：物体在跟平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的 振动叫作简谐振动。 4.全振动：振子经历 B0 B0B 路径的一个完整振动过程叫作一次全振动。 5.简谐运动：振子的位移时间函数为正弦或者余弦函数，我们把具有这种特征的运动叫作简 谐运动。 6.振幅：物体振动时离开平衡位置的最大距离叫作振动的振幅。 7.周期：物体完成一次全振动所需要的时间叫作振动的周期，用 T 表示，对应正弦或者余弦函 数的一个周期。 8.频率：物体在一段时间内全振动的次数与所用时间之比叫作振动的频率，用 f 表示。 判一判 (1)在简谐运动的过程中，周期是不断
3、变化的。() (2)振幅是振动物体离开平衡位置的最大位移，它是矢量。() (3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程。() (4)振动周期指的是振动物体从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用的时间。() 二、简谐运动的能量特征 周期性往复运动： 在回复力的作用下， 振子在振动过程中离开平衡位置的距离、 加速度、 速度、 动能、弹性势能等在每个周期里完全重复，这样的运动叫作周期性往复运动。 判一判 (1)回复力的方向总是与位移的方向相反。() (2)回复力的方向总是与加速度的方向相反。() (3)水平弹簧振子运动到平衡位置时，能量一定为零。() (4)水平弹簧振子运动过程
4、中动能和弹性势能相互转化，总量保持不变。() 探究 1 简谐运动和弹簧振子模型 情境导入 如图所示的装置，把小球向右拉开一段距离后释放，可以观察到小球左右运动了一段时间，最 终停止运动。 (1)小球的运动具有什么特点？为什么小球最终停止运动？ (2)在横杆上涂上一层润滑油，重复刚才的实验，观察到的结果与第一次实验有何不同？ (3)猜想：如果小球受到的阻力忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也忽略不计，实 验结果如何？ (4)如果忽略阻力，小球在运动过程中受到哪几个力作用？合力方向如何？ 答案 (1)小球的运动具有往复性。小球因为受到摩擦力的作用最终停止运动。 (2)小球往复运动的次数增多，
5、运动时间变长。 (3)小球将持续地做往复运动。 (4)受到重力、支持力、弹簧弹力；合力方向总指向弹簧原长的位置。 归纳拓展 1.简谐运动 (1)运动性质 简谐运动的位移随时间按正弦规律变化， 所以它不是匀变速运动， 是变力作用下的变加速运动。 (2)简谐运动的位移 位移：从平衡位置指向振子所在位置的有向线段。 大小：平衡位置到振子所在位置的距离。 方向：从平衡位置指向振子所在位置。 位移的表示方法：以平衡位置为坐标原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方向，某时 刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在位置的坐标来表示。 (3)回复力 回复力是根据力的作用效果命名的，它可以是一个力，也可以是
6、多个力的合力，还可以由某个 力的分力提供。例如：如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖 直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m 随 M 一起振动，m 的回 复力则由静摩擦力充当。 对回复力公式 Fkx 的说明 回复力 Fkx 中的 k 是比例系数，并非弹簧的劲度系数，其值由振动系统决定。对水平弹 簧振子，回复力仅由弹簧弹力提供，k 即为劲度系数，由弹簧决定，与振幅无关，其单位是 N/m。 回复力的大小跟位移大小成正比，“”号表示回复力与位移的方向相反。 2.弹簧振子 (1)构造：弹簧振子是一种理想化模型。其构造为一根没有质量的弹簧，其一端固定，另一
7、端 连接一个可视为质点的小球，如图所示。 (2)振动特征：有一个“中心位置”，即平衡位置；运动具有往复性。如图所示。 弹簧振子的振动 (3)弹簧振子是一种理想化模型 弹簧振子是小球和弹簧所组成的系统的名称， 但有时也把这样的小球称作弹簧振子或简称振 子。 理想化的弹簧振子：一根没有质量的弹簧一端固定，另一端连接一个质点。 弹簧振子理想化条件：忽略弹簧质量、忽略小球的大小和形状、忽略摩擦及其他阻力。 (4)平衡位置 振子不振动时，保持静止状态的位置；振子振动时，速度最大的位置。平衡位置不一定是中心 位置(如图甲所示物体的振动)， 物体经过平衡位置时不一定处于平衡状态(如图乙所示物体的振 动)。
8、甲 乙 【例 1】 (2021 山东潍坊昌乐二中检测)如图所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定，组成一 个振动系统，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，下列说法正确的是( ) A.钢球运动的最高处为平衡位置 B.钢球运动的最低处为平衡位置 C.钢球速度为零处为平衡位置 D.钢球原来静止时的位置为平衡位置 答案 D 解析 钢球振动的平衡位置应在钢球重力与弹力大小相等的位置，即钢球静止时的位置，故 D 正确。 【例 2】 (多选)(2021 晋江期中)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的 A、B 两点之间做往复 运动，下列说法正确的是( ) A.弹簧振子在运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用 B
9、.弹簧振子在运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 C.弹簧振子由 A 向 O 运动的过程中，回复力逐渐增大 D.弹簧振子由 O 向 B 运动的过程中，回复力的方向指向平衡位置 答案 AD 解析 回复力是根据力的效果命名的，不是做简谐运动的物体爱到的具体的力，它是由物体受 到的具体的力提供的，在此情境中弹簧振子受重力、支持力和弹簧弹力的作用，故 A 正确，B 错误；回复力与位移的大小成正比，弹簧振子由 A 向 O 运动的过程中位移在减小，则在此过 程中回复力逐渐减小，故 C 错误；回复力的方向总是指向平衡位置，故 D 正确。 【训练 1】 如图所示，A、B 两物体组成弹簧振子，在振动
10、过程中，A、B 始终保持相对静止。 图中能正确反映振动过程中 A 所受摩擦力 f 与振子的位移 x 关系的图像应为( ) 答案 C 解析 在振动过程中 A、B 始终保持相对静止，可以把 A、B 看成整体。设 A、B 的质量为 mA、 mB，弹簧的劲度系数为 k，则有(mAmB)akx。得 a kx mAmB。受到的摩擦力 fmAa mA mAmBkx，故 C 正确。 探究 2 描述简谐运动的物理量 情境导入 如图所示为理想弹簧振子，O 点为它的平衡位置，其中 A、A点关于 O 点对称。 (1)振子从某一时刻经过 O 点计时，至下一次再经过 O 点的时间为一个周期吗？ (2)先后将振子拉到 A
11、点和 B 点由静止释放，两种情况下振子振动的周期相同吗？振子完成一 次全振动通过的位移相同吗？路程相同吗？ 答案 (1)不是。经过一个周期振子一定从同一方向经过 O 点，即经过一个周期，位移、速度 均第一次与初始时刻相同。 (2)周期相同，振动的周期取决于振动系统本身，与振幅无关。位移相同，均为零。路程不相 同，一个周期内振子通过的路程与振幅有关。 归纳拓展 1.对全振动的理解 (1)振动过程：如图所示，从 O 点开始，一次全振动的完整过程为：OAOAO；从 A 点开始，一次全振动的完整过程为：AOAOA。 (2)全振动的四个特征 物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时
12、与初始状态相同。 时间特征：历时一个周期。 路程特征：振幅的 4 倍。 2.振幅与“三个”量的关系 (1)振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量。在数值上，振幅与振动物体的最大位移 大小相等，但在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化。 (2)振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。其中常用的定量关系是：一个 周期内的路程为 4 倍振幅，半个周期内的路程为 2 倍振幅。 (3)振幅与周期：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关。 3.简谐运动的速度和加速度 (1)速度 跟运动学中的含义相同，在所建立的坐标轴上，速度的正、负表示振子的
13、运动方向与坐标轴的 正方向相同还是相反，如图所示 ，在 x 轴上设 O 点为平衡位置，则振子在 O 点位移为零而速 度最大，设 A、B 两点为位移大小的最大处，则振子位于 A、B 两点时，速度为零。 (2)加速度 水平弹簧振子的加速度是由弹簧的弹力产生的，振子在平衡位置时弹簧的弹力为零，故振子的 加速度为零；在最大位移处时，弹簧的弹力最大，故振子的加速度大小最大。不管弹簧是拉伸 还是压缩，弹簧对振子的弹力总是指向平衡位置，即振子的加速度方向总是指向平衡位置。 【例 3】 (多选)如图所示的弹簧振子，O 点为它的平衡位置，关于振子的运动，下列说法正确 的是( ) A.振子从 A 点运动到 C 点
14、时位移大小为OC ，方向向右 B.振子从 C 点运动到 A 点时位移大小为CA ，方向向右 C.振子从 A 点运动到 C 点的过程中，速度在增大，加速度在减小 D.振子从 A 点运动到 O 点的过程中，速度先增大后减小，加速度先减小后增大 答案 AC 解析 振子从 A 点运动到 C 点时的位移是以 O 点为起点，C 点为终点，故大小为OC ，方向向 右，A 正确；振子从 C 点运动到 A 点时位移是以 O 点为起点，A 点为终点，故大小为OA ，方 向向右，B 错误；振子的合外力为弹簧的弹 力，振子从 A 点运动到 C 点的过程和从 A 点运动到 O 点的过程中，弹力都在减小，故加速度 都在减
15、小，速度方向与加速度方向相同，故速度在增大，C 正确，D 错误。 【训练 2】 (2021 陕西高二期末)弹簧振子在 BC 间做简谐运动，O 为平衡位置，BC 间距离为 10 cm，由 BC 运动时间为 1 s，则( ) A.从 B 开始经过 0.25 s，振子通过的路程是 2.5 cm B.经过两次全振动，振子通过的路程为 80 cm C.该振子任意 1 s 内通过的路程都一定是 10 cm D.振动周期为 2 s，振幅为 10 cm 答案 C 解析 由 BC 运动时间为 1 s，则周期 T2 s，则从 B 开始经过 0.25 sT 8，振子通过的路程 小于 2.5 cm，选项 A 错误；一
16、次全振动振子的路程为 20 cm，则经过两次全振动，振子通过的 路程为 40 cm，选项 B 错误；由运动的对称性可知，该振子任意 1 s 内通过的路程都一定是 10 cm，选项 C 正确；振动周期为 2 s，振幅为 5 cm，选项 D 错误。 探究 3 简谐运动的能量分析 情境导入 如图所示为水平弹簧振子，振子在 A、B 之间往复运动。 (1)从 A 到 B 的运动过程中，振子的动能如何变化？弹簧弹性势能如何变化？振动系统的总机 械能是否变化？ (2)如果把振子振动的振幅增大，振子回到平衡位置时的动能是否增大？振动系统的机械能是 否增大？ (3)实际的振动系统有空气阻力和摩擦阻力，能量是否损
17、失？理想化的弹簧振动系统，忽略空 气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？ 答案 (1)振子的动能先增大后减小 弹簧的弹性势能先减小后增大 总机械能保持不变 (2) 增大 增大 (3)实际的振动系统，能量逐渐减小 理想化的弹簧振动系统，能量不变。 归纳拓展 1.如果摩擦阻力造成的损耗可以忽略，在弹簧振子运动到任意位置时，系统的动能与势能之和 都是一定的，即机械能守恒。 2.简谐运动的机械能由振幅决定 对同一振动系统来说，振幅越大，振动的能量越大。如果没有能量损耗，振幅保持不变，它将 永不停息地振动下去，因此简谐运动又称等幅振动。 3.简谐运动的能量特征 振子以 O 为平衡位置在 A、B 之间做简谐运动
18、，如图所示从 A 到 B 过程，各物理量的变化规 律如表所示： 位置 A AO O OB B x 向左最大 向左减小 0 向右增大 向右最大 F、a 向右最大 向右减小 0 向左增大 向左最大 v 0 向右增大 向右最大 向右减小 0 动能 0 增大 最大 减小 0 势能 最大 减小 0 增大 最大 注意：振子的位移 x、回复力 F、加速度 a、速度 v 的变化周期相同，均为 T；动能和势能的 变化周期为T 2。 【例 4】 如图所示， 一弹簧振子在 A、 B 间做简谐运动， 平衡位置为 O， 已知振子的质量为 M。 (1)简谐运动的能量取决于_，振子振动时动能和_相互转化，总机械能 _。 (
19、2)(多选)振子在振动过程中，下列说法中正确的是( ) A.振子在平衡位置，动能最大，势能最小 B.振子在最大位移处，势能最大，动能最小 C.振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小 D.在任意时刻，动能与势能之和保持不变 (3)(多选)若振子运动到 B 处时将一质量为 m 的物体放到 M 的上面， 且 m 和 M 无相对滑动而一 起运动，下列说法正确的是( ) A.振幅不变 B.振幅减小 C.最大动能不变 D.最大动能减小 答案 (1)振幅 弹性势能 守恒 (2)ABD (3)AC 解析 (1)简谐运动的能量取决于振幅， 振子振动时动能和弹性势能相互转化， 总机械能守恒。 (
20、2)振子在平衡位置两侧往复运动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变量最 大，势能最大，所以选项 B 正确；在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒，选项 D 正确；到平衡位置处速度达到最大，动能最大，势能最小，所以 A 正确；振幅的大小与振子 的位置无关，所以选项 C 错误。 (3)振子运动到 B 点时速度恰为零， 此时放上 m， 系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能， 由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变，因此选项 A 正确，B 错误；由于机械能守 恒，最大动能不变，所以选项 C 正确，D 错误。 【训练 3】 把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小
21、球沿杆在水平方 向做简谐运动， 它以平衡位置 O 为对称中心在 A、 B 间振动， 如图所示， 下列结论正确的是( ) A.小球在 O 位置时，动能最大，加速度最小 B.小球在 A、B 位置时，动能最大，加速度最大 C.小球从 A 经 O 到 B 的过程中，回复力一直做正功 D.小球从 B 到 O 的过程中，振子振动的能量不断增加 答案 A 解析 小球在平衡位置 O 时，弹簧处于原长，弹性势能为零，动能最大，位移为零，加速 度为零，选项 A 正确；在最大位移 A、B 处，动能为零，加速度最大，选项 B 错误；由 AO， 回复力做正功，由 OB，回复力做负功，选项 C 错误；由 BO，动能增加，
22、弹性势能减小， 总能量不变，选项 D 错误。 1.(简谐运动和弹簧振子模型)(多选)(2021 江苏淮安清江中学高二月考)下列说法中正确的是 ( ) A.弹簧振子的运动是简谐运动 B.简谐运动就是指弹簧振子的运动 C.简谐运动是匀变速运动 D.简谐运动是机械振动中最简单、最基本的一种 答案 AD 解析 弹簧振子的运动是一种简谐运动，而简谐运动是机械振动中最简单、最基本的运动，故 A、D 正确。 2.(简谐运动和弹簧振子模型)(2021 陕西黄陵中学检测)如图所示， 弹簧振子 B 上放一个物体 A， 在 A 与 B 一起做简谐运动的过程中，下列关于 A 受力的说法中正确的是( ) A.物块 A
23、受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力 B.物块 A 受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力 C.物块 A 受重力、支持力及 B 对它的恒定的摩擦力 D.物块 A 受重力、支持力及 B 对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力 答案 D 解析 物块 A 受到重力、支持力和摩擦力的作用。摩擦力提供 A 做简谐运动所需的回复力， 其大小和方向都随位移变化，位移随时间变化，故选项 D 正确。 3.(描述简谐运动的物理量)(多选)如图所示， 弹簧振子以 O 为平衡位置， 在 B、 C 间振动， 则( ) A.从 BOCOB 为一次全振动 B.从 OBOCB 为一次全振动 C.从 COBOC
24、为一次全振动 D.OB 不一定等于 OC 答案 AC 解析 O 为平衡位置，B、C 为两侧最远点，则振子从 B 点起经过 O、C、O 又回到 B，振子通 过的路程为振幅的 4 倍，A 正确；若从 O 起经过 B、O、C 又回到 B，振子通过的路程为振幅 的 5 倍，超过一次全振动，B 错误；若振子从 C 点起经过 O、B、O 又回到 C，振子通过的路 程为振幅的 4 倍，C 正确；弹簧振子为理想化模型，根据简谐运动的对称性知 OBOC，D 错 误。 4.(描述简谐运动的物理量)做简谐运动的弹簧振子除平衡位置外，在其他所有位置时，关于它 的速度方向，下列说法正确的是( ) A.总是与位移方向相反
25、 B.总是与位移方向相同 C.远离平衡位置时与位移方向相反 D.向平衡位置运动时与位移方向相反 答案 D 解析 做简谐运动的振子，速度方向与位移方向存在两种可能，因为位移的方向总是背离平衡 位置，所以当振子靠近平衡位置时，二者方向相反，远离平衡位置时，二者方向相同，故 D 正确。 5.(简谐运动的能量分析)(2021 湖北十堰期末)某弹簧振子如图所示，其中 A、B 均为振子偏离 平衡位置的最大位移处，O 为平衡位置。在振子由 O 向 A 运动的过程中，下列说法正确的是 ( ) A.振子偏离平衡位置的位移方向向左 B.振子偏离平衡位置的位移正在减小 C.弹簧的弹性势能正在减小 D.振子的速度正在减小 答案 D 解析 振子偏离平衡位置的位移方向向右，且正在增大，故 A、B 错误；弹簧处于伸长状态且 形变量正在增大，故弹簧的弹性势能正在增大，振子的动能转化为弹簧的弹性势能，振子的速 度减小，故 C 错误，D 正确。