1、光明区光明区 2020-2021 学年九年级第二次学业水平调研数学试题（二模）学年九年级第二次学业水平调研数学试题（二模） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 5的倒数是（ ） A. 0.5 B. 5 C. 1 5 D. 1 5 2. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 深圳市数字经济产业创新发展实施方案（20212023 年） 中指出：到 2023年，数字经济将成为推动 深圳市经济社会高质量发展的核心引擎之一， 届时将培育年营业收入超过 50亿元的龙头企业 15 家以上 将 50 亿用科学记数法表示
2、为（ ） A. 0.50 108 B. 50 108 C. 5.0 109 D. 5.0 1010 4. 如图，由一个圆柱和三个正方体组成的几何体水平放置，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. 4abb4a B. （ab2）3a3b5 C. （a2）2a24 D. 236 6. 如图， 直线 l1/l2， 将含 30 角的直角三角板按如图方式放置， 直角顶点在 l2上， 若176 ， 则2 （ ） A. 36 B. 45 C. 44 D. 64 7. 下面是甲、乙两同学用尺规作线段 AB的垂直平分线的过程：甲同学的作图过程为（如图 1） ： 第一步：以
3、 A 为圆心，a为半径在线段 AB 两侧作圆弧； 第二步：以 B 为圆心，b为半径在线段 AB 两侧作圆弧，分别交第一步所作弧于点 M，N； 第三步：作直线 MN 乙同学的作图过程为（如图 2） ： 第一步：分别以 A，B圆心，a为半径在 AB 上方作圆弧，两弧交于点 M； 第二步：分别以 A，B 为圆心，b 为半径在 AB下方作圆弧，两弧交于点 N； 第三步：作直线 MN 下列说法不正确的是（ ） A. 甲同学所作直线 MN 为 AB 的垂线，但不一定是平分线 B. 乙同学所作直线 MN一定为 AB垂直平分线 C. 甲同学所作图形中，AB 所在直线为线段 MN 的垂直平分线 D. 只有当 a
4、b 时，两人所作图形才正确，否则都不对 8. 已知 ykx+k1 的图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程 x2xk2k0 的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有两个相等或不相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根 9. 某校积极开展综合实践活动，一次九年级数学小组发现校园里有一棵被强台风摧折的大树，其残留的树 桩 DC的影子的一端 E 刚好与倒地的树梢重合，于是他们马上利用其测量旁边钟楼 AB的高度如图是根据 测量活动场景抽象出的平面图形活动中测得的数据如下： 大树被摧折倒下的部分 DE10m； tanCDE 4 3 ； 点 E到钟楼底部的距离 EB7m；
5、钟楼 AB的影长 BF（20 3+8）m； 从 D点看钟楼顶端 A点的仰角为 60 （点 C，E，B，F在一条直线上） 请你选择几个需要的数据，用你喜欢的方法求钟楼 AB 的高度，则 AB（ ） A. 15 3m B. （15 3+6）m C. （12 3+6）m D. 15m 10. 某数学小组在研究一道开放题：“如图，一次函数 ykx+b与 x 轴、y轴分别交于 A，B两点，且与反比 例函数 y m x （x0）交于点 C（6，n）和点 D（2，3） ，过点 C，D分别作 CEy 轴于点 E，DFx 轴于点 F，连接 EF你能发现什么结论？”甲同学说，n1；乙同学说，一次函数的解析式是 y
6、 1 2 x+4； 丙同学说，EF/AB；丁同学说，四边形 AFEC的面积为 6则这四位同学的结论中，正确的有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11. 因式分解： 32 69aaa_. 12. 一组数据 1，1，x，2，4，5 的平均数是 3，则这组数据的中位数是_ 13. 如图，将ABC绕边 AC中点 O顺时针旋转 180 ，旋转后的CDA与ABC构成四边形 ABCD，作 ON/AB交 AD于点 N，若BACBCA，四边形 ABCD 的周长为 24，则 ON_ 14. 现规定一种新的运算：m
7、#n4m3n例如：3#24 33 2若 x 满足 x# 4 3 0，且 x#（4）0，则 x 的取值范围是_ 15. 如图， 扇形OPQ可以绕着正六边形ABCDEF的中心O旋转， 若POQ120 ， OP等于正六边形ABCDEF 边心距的 2 倍，AB2，则阴影部分的面积为_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 个小题，其中第个小题，其中第 16 题题 5 分，第分，第 17 题题 6 分，第分，第 18 题题 8 分，第分，第 19 题题 8 分，第分，第 20 题题 8 分，第分，第 21 题题 10 分，第分，第 22 题题 10 分，共分，共 55 分）分） 16. 计算：3
8、 （ 1 3 ） 1+|5 12|+2021 0+4sin60 17. 先化简，再求值： 2 344 1 11 aa a aa ，其中a是 4的平方根 18. 某校为加强学生体能训练，安排了一分钟仰卧起坐测试，测试后体育老师随机抽取了 m名学生，根据 一分钟所做仰卧起坐的个数，将他们分为四组，并自定义为四个等级，将成绩统计结果绘制成了不完整的 统计表、有错的条形统计图和不完整的扇形统计图 等级 个数 x 频数 （人数） 不合格 10 x20 n 较好 20 x30 18 良好 30 x40 2n 优秀 40 x50 8 请根据图表中的信息解答下列问题： （1）m ，n ，扇形统计图中“优秀”所
9、对应的圆心角度数为 ； （2）修改条形统计图（高出部分画“”圈掉，不足的补全） ； （3）在不合格和优秀这两组中随机抽取一个成绩，记录下来后放回，再随机抽取一个成绩，请直接写出两 次抽到的成绩都在优秀这一组的概率 19. 如图，Rt ABCV中，90ABC，点O，D分别AB，AC上，CD CB，Oe经过点B，D， 弦DFAB于点E，连接BF （1）求证：AC为Oe的切线； （2）若60C，3BF ，求DF的长 20. 端午节前夕，某超市用 16800元购进 A，B 两种规格的粽子共 600件，其中 A 种规格的进价为每件 24 元，B 种规格的进价为每件 36 元 （1）求购买的 A，B两种规
10、格的粽子各有多少件； （2）已知 1件 A 种规格的粽子和 1件 B 种规格的粽子的利润和为 20元，且 A种规格的粽子利润率不超过 50%设此次销售活动完成后的总利润为 w（元） ，1 件 A种规格的粽子的利润为 a（元） （其中 a0） 求 w与 a的关系式； 求 w的最大值 21. 如图，矩形ABCD中，4AB ， 5BC ，点M为AB的中点，点P是BC边上一点（不与B，C重 合） ， 连接MP，PFMP交CD于点F 点B， B 关于MP对称， 点C， C 关于PF对称， 连接BC （1）求证：PFCMPB:. （2）当2BP 时，BC _； 求BC的最小值 （3）是否存在点P，使点 B
11、 ， C 重合？若存在，请求出此时M，F距离；若不存在，请说明理由 22. 如图，抛物线 2 1 2 yxbxc与x轴交于点A和点B，与y轴交于点0, 4C，顶点为D，其对称 轴直线1x 交x轴于点P （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，线段MN的两端点M，N都在抛物线上（点M在对称轴左侧，点N在对称轴右侧） ，且 4MN ，求四边形PMDN面积的最大值和此时点N的坐标； （3）如图 2，点Q是直线l：1ykx上一点，当以Q，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形时， 确定点Q的坐标和k的值 光明区光明区 2020-2021 学年九年级第二次学业水平调研数学试题（二模）学年九年级第二次学业
12、水平调研数学试题（二模） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 5的倒数是（ ） A. 0.5 B. 5 C. 1 5 D. 1 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据倒数定义即可求解 【详解】解：5 的倒数是 1 5 故选：D 【点睛】本题考查了倒数定义，掌握倒数定义是解题的关键 2. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形概念求解 【详解】解：A、该图不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、该图不中心对称图形，是轴对称图形，故
13、本选项不合题意； C、该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； D、该图是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D 【点睛】 此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合， 中心对称是要寻找对称中心，旋转 180后与原图重合 3. 深圳市数字经济产业创新发展实施方案（20212023 年） 中指出：到 2023年，数字经济将成为推动 深圳市经济社会高质量发展的核心引擎之一， 届时将培育年营业收入超过 50亿元的龙头企业 15 家以上 将 50 亿用科学记数法表示为（ ） A. 0.50 108 B. 50 108 C. 5
14、.0 109 D. 5.0 1010 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变 成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当 原数的绝对值1时，n 是负数 【详解】解：将 50 亿用科学记数法表示为 5.0 109 故选：C 【点睛】考查了科学记数法科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n为整数，表示时关 键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4. 如图，由一个圆柱和三个正方体组成的几何体水平放置，它的左视图是（ ） A. B
15、. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从左面看所得到的图形即可 【详解】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形 故选：D 【点睛】本题考查立体图形的三视图，左视图指的是从左面看到的图形形状，注意能看到的线条用实线表 示，看不到的线条用虚线表示. 5. 下列运算正确的是（ ） A. 4abb4a B. （ab2）3a3b5 C. （a2）2a24 D. 236 【答案】D 【解析】 【分析】依据合并同类项的法则，积的乘方法则，完全平方公式，二次根式的乘法法则对每个选项进行判 断即可确定正确选项 【详解】解：4a与b不是同类项，不能合并， A选项错误； （ab2）3
16、a3b6， B选项错误； （a2）2a24a+4， C 选项错误； 232 36， D 选项正确 故选：D 【点睛】本题考查了合并同类项的法则，积的乘方法则，完全平方公式，二次根式的乘法法则等知识点， 能根据法则的内容求出每个式子的值是解此题的关键 6. 如图， 直线 l1/l2， 将含 30 角的直角三角板按如图方式放置， 直角顶点在 l2上， 若176 ， 则2 （ ） A. 36 B. 45 C. 44 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】 由176 ， 可得邻补角CDB104 ， 再由三角形内角和可得DCB的度数， 因为ACB 是 90 ， 可得ACD44 ，再由两直线平行，内错
17、角相等，可得2的度数为 44 【详解】解：如图所示： 176 ， BDC180 1104 ， B30 ， DCB180 CDBB46 ， ACD90 DCB44 ， l1l2， 2ACD44 ， 故选：C 【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题 的关键 7. 下面是甲、乙两同学用尺规作线段 AB的垂直平分线的过程：甲同学的作图过程为（如图 1） ： 第一步：以 A 为圆心，a为半径在线段 AB 两侧作圆弧； 第二步：以 B 为圆心，b为半径在线段 AB 两侧作圆弧，分别交第一步所作弧于点 M，N； 第三步：作直线 MN 乙同学的作图过程为（
18、如图 2） ： 第一步：分别以 A，B 为圆心，a 为半径在 AB上方作圆弧，两弧交于点 M； 第二步：分别以 A，B 为圆心，b 为半径在 AB下方作圆弧，两弧交于点 N； 第三步：作直线 MN 下列说法不正确的是（ ） A. 甲同学所作直线 MN为 AB的垂线，但不一定是平分线 B. 乙同学所作直线 MN一定为 AB 的垂直平分线 C. 甲同学所作图形中，AB 所在直线为线段 MN 的垂直平分线 D. 只有当 ab 时，两人所作图形才正确，否则都不对 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本作图对各选项进行判断 【详解】甲同学所作的直线 MNAB，且 AB 垂直平分 MN；乙同学所作的直线
19、MN 垂直平分 AB 故选：D 【点睛】考查了作图-基本作图，解题关键是熟练掌握 5种基本作图方法，分别为：作一条线段等于已知线 段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线 8. 已知 ykx+k1 的图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程 x2xk2k0 的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有两个相等或不相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题首先由图像经过第一、三、四象限，可知：k0，k10，再通过根的判别式来判断根的情 况 【详解】解：本题首先由图像经过第一、三、四象限，
20、 可知：k0，k10， 0k1， 则（1）24（k2k） ， 1+4k2+4k， （2k+1）2， 因为 0k1， 所以（2k+1）20， 所以方程有两个不相等的实数根， 故选：C 【点睛】本题考查了一次函数图象与一元二次方程根的判别式，属于中档题 9. 某校积极开展综合实践活动，一次九年级数学小组发现校园里有一棵被强台风摧折的大树，其残留的树 桩 DC的影子的一端 E 刚好与倒地的树梢重合，于是他们马上利用其测量旁边钟楼 AB的高度如图是根据 测量活动场景抽象出的平面图形活动中测得的数据如下： 大树被摧折倒下的部分 DE10m； tanCDE 4 3 ； 点 E到钟楼底部的距离 EB7m；
21、钟楼 AB的影长 BF（20 3+8）m； 从 D点看钟楼顶端 A点的仰角为 60 （点 C，E，B，F在一条直线上） 请你选择几个需要的数据，用你喜欢的方法求钟楼 AB 的高度，则 AB（ ） A. 15 3m B. （15 3+6）m C. （12 3+6）m D. 15m 【答案】B 【解析】 【分析】过 D作 DGAB于 G，则 DGBC，BGCD，先求出 CE8（m） ，BGCD6（m） ，则 DG BCCE+BE15（m） ，再求出 AG3DG153，即可求解 【详解】解：选择：大树被摧折倒下的部分 DE10m；tanCDE 4 3 ；点 E 到钟楼底部的距离 EB 7m；从 D点
22、看钟楼顶端 A 点的仰角为 60 理由如下： 过 D 作 DGAB于 G，如图所示： 则 DGBC，BGCD， DE10m，tanCDE 4 3 CE CD ， CE8（m） ，BGCD6（m） ， DGBCCE+BE8+715（m） ， 在 RtADG中，ADG60 ，tanADG AG DG 3， AG3DG153， ABAG+BG（15 3+6）m， 故选：B 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握三角函数的应用，利用特殊角，添加合适的辅助线 构造直角三角形是本题的解题关键. 10. 某数学小组在研究一道开放题： “如图，一次函数 ykx+b与 x轴、y 轴分别交于 A，B 两
23、点，且与反比 例函数 y m x （x0）交于点 C（6，n）和点 D（2，3） ，过点 C，D分别作 CEy 轴于点 E，DFx 轴于点 F，连接 EF你能发现什么结论？”甲同学说，n1；乙同学说，一次函数的解析式是 y 1 2 x+4； 丙同学说，EF/AB；丁同学说，四边形 AFEC的面积为 6则这四位同学的结论中，正确的有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】D 【解析】 【分析】由反比例函数 y m x （x0）过点 C（6，n）和点 D（2，3） ，可得 k6，n1，故甲同学 说的正确； 把点 C 和点 D的坐标代入， 可得一次函数的解析式为 y
24、1 2 x+4， 及乙同学说的正确； 连接 CF， DE， 可得CEF 的面积DEF 的面积， 可得 EFAB， 故丙同学说的正确； 四边形 AFEC的面积2 CEF 的面积，可得四边形的面积为 6，故丁同学说的正确 【详解】解：由题意可知，反比例函数 y m x （x0）过点 C（6，n）和点 D（2，3） ， k2 36， n6 （6）1，故甲同学说的正确； 一次函数 ykx+b 过点 C（6，1）和点 D（2，3） ， 61 23 kb kb ，解得 1 2 4 k b ， 一次函数的解析式是 y 1 2 x+4，故乙同学说的正确； 如图，连接 CF，DE， SCEFSDEF | 2 k
25、 3， EFAB，故丙同学说的正确； 由题意可知，CEx轴， 四边形 AFEC 是平行四边形， S2SCEF6，故丁同学说的正确 综上，正确的结论有 4个 故选：D 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数交点问题，反比例函数与几何的综合问题，三角形的面积等 问题：结论和结论看作为常见结论熟练推导记忆 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11. 因式分解： 32 69aaa_. 【答案】 2 (3)a a 【解析】 【分析】利用提取公因式 a 和完全平方公式进行因式分解 【详解】 32 69aaa 22 (69)(3)a aaa a 【点睛】本题考查了提公因
26、式法与公式法的综合运用，正确应用完全平方公式是解题关键 12. 一组数据 1，1，x，2，4，5 的平均数是 3，则这组数据的中位数是_ 【答案】3 【解析】 【分析】先根据算术平均数的概念得出关于 x 的方程，解之求出 x 的值，即可得出这组数据，继而由中位数 的定义求解即可 【详解】解：数据 1，1，x，2，4，5的平均数是 3， 1 1245 6 x 3， 解得 x5， 所以这组数据1，1，2，4，5，5， 则这组数据的中位数为 24 2 + 3， 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了平均数，中位数等知识点，属于基础题型 13. 如图，将ABC绕边 AC 的中点 O顺时针旋转 180 ，
27、旋转后的CDA 与ABC构成四边形 ABCD，作 ON/AB交 AD于点 N，若BACBCA，四边形 ABCD 的周长为 24，则 ON_ 【答案】3 【解析】 【分析】由旋转的性质和等腰三角形的判定证得四边形 ABCD 是菱形，再根据平行线等分线段定理和三角 形的中位线定理证得 ON 1 2 CD 即可求得 ON 【详解】解：将ABC绕边 AC 的中点 O顺时针旋转 180 得到CDA， ABCD，BCAD， BACBCA， ABBC， ABCDBCAD， 四边形 ABCD是菱形， ABCD， 四边形 ABCD的周长为 24， CD6， ONAB， ONCD， 点 O是 AC的中点， N 是
28、 AD 的中点， ON 1 2 CD3， 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，菱形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握旋转的性质和 三角形中位线定理是解决问题的关键. 14. 现规定一种新的运算：m#n4m3n例如：3#24 33 2若 x 满足 x# 4 3 0，且 x#（4）0，则 x 的取值范围是_ 【答案】3x1 【解析】 【分析】先根据题意列出关于 x 的不等式组，再分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小 取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集 【详解】根据题意，得： 4 430 3 43 ( 4) 0 x x ， 解不等式，得：x1，
29、 解不等式，得：x3， 则不等式组的解集为3x1， 故答案为：3x1 【点睛】考查了解一元一次不等式组，解题关键是正确求出每一个不等式解集和熟记“同大取大；同小取 小；大小小大中间找；大大小小找不到”求解法则 15. 如图， 扇形OPQ可以绕着正六边形ABCDEF的中心O旋转， 若POQ120 ， OP等于正六边形ABCDEF 边心距的 2 倍，AB2，则阴影部分的面积为_ 【答案】42 3 【解析】 【分析】连接 OE，OD，OC设 EF 交 OP 于 T，CD 交 OQ 于 J证明EOTCOJ（ASA） ，推出 S五边形 OTEDJS四边形OEDC2 3 4 222 3，根据 S阴S扇形O
30、PQS五边形OTEDJ，求解即可 【详解】解：连接 OE，OD，OC设 EF交 OP 于 T，CD 交 OQ于 J POQEOC120 ， EOTCOJ， OEOJ，OETOCJ60 ， EOTCOJ（ASA） ， Q 正六边形 ABCDEF， ,ODEOCDVV都是边长为2的等边三角形， S五边形OTEDJS 四边形OEDC2 3 4 222 3， Q OP 等于正六边形 ABCDEF 边心距的 2 倍，而正六边形 ABCDEF边心距为： 22 213, 2 3,OP S阴S扇形OPQS 五边形OTEDJ 2 1202 3 2 342 3. 360 故答案为：42 3 【点睛】本题考查的是旋
31、转变换，正多边形与圆的知识，扇形面积的计算，掌握正多边形的相关概念是解 题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 个小题，其中第个小题，其中第 16 题题 5 分，第分，第 17 题题 6 分，第分，第 18 题题 8 分，第分，第 19 题题 8 分，第分，第 20 题题 8 分，第分，第 21 题题 10 分，第分，第 22 题题 10 分，共分，共 55 分）分） 16. 计算：3 （ 1 3 ） 1+|5 12|+2021 0+4sin60 【答案】-3 【解析】 【分析】依据实数运算法则进行运算即可 【详解】解：原式3 3+52 3+1+4 3 2 9+52 3+1+2
32、3 3 【点睛】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值等知识点，熟练运 用实数的运算法则是解题的关键 17. 先化简，再求值： 2 344 1 11 aa a aa ，其中a是 4的平方根 【答案】 2 2 a a ，0 【解析】 【分析】先根据分式的运算法则和顺序化简，再求出a值代入即可 【详解】原式 2 311 11 2 aa a a 2 2 311 1 2 aa a a 2 2212 12 2 aaaa aa a a是 4 的平方根， 42a 当2a时，分式无意义， 当2a 时，原式 222 0 222 a a 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题关键是熟
33、练的运用分式运算法则进行化简，准确代入求值，注 意：代入的值要使原分式有意义 18. 某校为加强学生体能训练，安排了一分钟仰卧起坐测试，测试后体育老师随机抽取了 m名学生，根据 一分钟所做仰卧起坐的个数，将他们分为四组，并自定义为四个等级，将成绩统计结果绘制成了不完整的 统计表、有错的条形统计图和不完整的扇形统计图 等级 个数 x 频数 （人数） 不合格 10 x20 n 较好 20 x30 18 良好 30 x40 2n 优秀 40 x50 8 请根据图表中的信息解答下列问题： （1）m ，n ，扇形统计图中“优秀”所对应的圆心角度数为 ； （2）修改条形统计图（高出部分画“”圈掉，不足的补
34、全） ； （3）在不合格和优秀这两组中随机抽取一个成绩，记录下来后放回，再随机抽取一个成绩，请直接写出两 次抽到的成绩都在优秀这一组的概率 【答案】 （1）50、8、57.6； （2）见解析； （3） 1 4 【解析】 【分析】 （1）由“较好”的人数及其所占百分比可得 m 的值，根据四个等级人数之和等于总人数列出关于 n 的方程求解可得 n的值，再用 360 乘以“优秀”人数所占比例即可； （2）根据以上所求 n 的值即可补全图形； （3）由于这两组的人数相同知随机抽取一个成绩，抽到每个组的可能性相等，再画树状图列出所有等可能 结果，从中找到符合条件的结果数，继而根据概率公式求解即可 【详解
35、】解： （1）根据题意 m18 36%50， n+18+2n+850， 解得 n8， 扇形统计图中“优秀”所对应的圆心角度数为 360 8 50 57.6 ， 故答案为：50、8、57.6； （2）修改图形如下： （3）由于这两组的人数相同， 所以随机抽取一个成绩，抽到每个组的可能性相等， 画树状图如图所示： 由树状图知，共有 4 种等可能结果，其中有 1 种结果是符合要求的， 所以两次抽到的成绩都在优秀这一组的概率为 1 4 【点睛】本题考查数据的统计与分析以及用列表或者树状图法求概率，做题时注意将两个图以及统计表中 的数据结合分析，熟练掌握列举法求概率是本题解题关键. 19. 如图，Rt
36、ABCV中，90ABC，点O，D分别在AB，AC上，CD CB，Oe经过点B，D， 弦DFAB于点E，连接BF （1）求证：AC为Oe的切线； （2）若60C，3BF ，求DF的长 【答案】 （1）见解析； （2）3DF 【解析】 【分析】 （1）连接OC，OD，证OCDOCB，得出90ODCOBC即可； （2）由（1）求出60F，利用解直角三角形求解即可 【详解】 （1）证明：连接OC，OD，如图. CDCB，ODOB，OCOC， OCDOCB， 90ODCOBC， ODAC， AC为Oe的切线 （2）解：在四边形OBCD中，90ODCOBC， 60BCD， 120BOD， 1 60 2 F
37、BOD， DFAB， DEEF， 13 cos603 22 EFBF ， 23DFEF 【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、解直角三角形，解题关键是熟练运用切线的判定定理进行证 明，准确的运用解直角三角形求线段长 20. 端午节前夕，某超市用 16800元购进 A，B 两种规格的粽子共 600件，其中 A 种规格的进价为每件 24 元，B 种规格的进价为每件 36 元 （1）求购买的 A，B两种规格的粽子各有多少件； （2）已知 1件 A 种规格的粽子和 1件 B 种规格的粽子的利润和为 20元，且 A种规格的粽子利润率不超过 50%设此次销售活动完成后的总利润为 w（元） ，1 件 A种
38、规格的粽子的利润为 a（元） （其中 a0） 求 w与 a的关系式； 求 w的最大值 【答案】 （1）购买 A种规格的粽子 400件，B种规格的粽子 200件； （2）w200a+4000；6400 【解析】 【分析】 （1）设购买 A种规格的粽子 x件，B种规格的粽子 y 件，等量关系：购进 A，B两种规格的粽子共 600件；总花费16800 元，据此列出方程组并解答； （2）一件 A 种规格的粽子利润 a元，则一件 B 种规格的粽子（20a）元，分别乘以数量，可得 w； 在 w200a+4000中，w随 a增大而增大，根据 A种规格的粽子利润率不超过 50%，可求出 a 的取值范 围，取
39、a的最大值，可得 w的最大值 【详解】设购买 A 种规格的粽子 x件，B种规格的粽子 y 件， 根据题意，得： 600 243616800 xy xy ， 解得： 400 200 x y ， 答：购买 A种规格的粽子 400件，B种规格的粽子 200 件； （2）一件 A 种规格的粽子利润 a元，则一件 B 种规格的粽子（20a）元， w400a+200（20a） ， 整理的：w200a+4000， A 种规格的粽子利润率不超过 50%， a2450%， 即 a12， 在 w200a+4000中，w随 a的增大而增大， 当 a12 时，w 最大， w 的最大值200 12+40006400 【
40、点晴】考查了二元一次方程组应用和一次函数性质解决关键理解读懂题意，找到所求的量的等量关 系，设未知数，列方程 21. 如图，矩形ABCD中，4AB ， 5BC ，点M为AB的中点，点P是BC边上一点（不与B，C重 合） ， 连接MP，PFMP交CD于点F 点B， B 关于MP对称， 点C， C 关于PF对称， 连接BC （1）求证：PFCMPB:. （2）当2BP 时，BC _； 求BC的最小值 （3）是否存在点P，使点 B ， C 重合？若存在，请求出此时M，F的距离；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）见解析； （2）1；BC的最小值为 292 ； （3）存在， 41 8 MF 【解析】
41、 【分析】 （1）由相似三角形的判定可得结论； （2）由轴对称的性质可求解； 由点 B 在以点M为圆心，2为半径的圆上，则当点 B 在线段CM上时， CB 有最小值，由勾股定理可 求解； （3）通过证明BMPCPF，可得 BPBM CFCP ，即可求解 【详解】 （1）证明：PFMP， 90FPCMPB. 90PMBMPB， FPCPMB 又90CB ， PFCMPB: （2）如图 1，连接B P，C P ， 2BP Q， 3PC， Q点B， B 关于MP对称，点C，C关于PF对称， 2BPBP，3CP C P ，BPMBPM，CPFC PF ， 180BPCQ， 90MPBFPC， 又90M
42、PFQ， PB 与PC共线， 1B C ， 故答案为 1； 连接MC，PB，MB，如图 1. 4AB ，M为AB的中点， 2MB 点B，B关于MP对称， PB MPBM 2MBMB MBCBMC， 当点M，B，C在一条直线上时，B C的值最小， 此时， 2222 2529MCMBBC . B C的最小值为 292 （3）存在. 设点B，C重合的点为N，如图 2，连接PN，MN，NF. 则点B，N关于MP对称，点C，N关于PF对称. PBPN，PCPN，MBMN，NFCF， 90PNMB ，90PNFC， 5 2 PBPC. 点M，N，F在一条直线上， 2MNMB 由MPNPFN:，得 MNPN
43、 PNNF 即 5 2 2 5 2 NF ， 解得 25 8 NF 2541 2 88 MFMNNF 或由PFCMPB:，得 CFPC PBMB ， 即 5 2 5 2 2 CF ， 解得 25 8 CF 25 8 NF . 2541 2 88 MFMNNF 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理 等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键 22. 如图，抛物线 2 1 2 yxbxc与x轴交于点A和点B，与y轴交于点0, 4C，顶点为D，其对称 轴直线1x 交x轴于点P （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，线段MN的两端点M，N都
44、在抛物线上（点M在对称轴左侧，点N在对称轴右侧） ，且 4MN ，求四边形PMDN面积的最大值和此时点N的坐标； （3）如图 2，点Q是直线l：1ykx上一点，当以Q，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形时， 确定点Q的坐标和k的值 【答案】 （1） 2 1 4 2 yxx； （2） 四边形PMDN最大值为9， 点N的坐标为3, 2.5； （3） 当以Q，A， C，B为顶点的四边形是平行四边形时Q（6，-4） 、- 5 6 或（2，4） 、 3 2 k =或（-6，-4） 、 5 6 【解析】 【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2） 根据当/MNAB（或MNDP） 时， 四边形PMDN
45、面积最大为 9， 再根据点M和点N关于直线1x 对称，即可求解； （3）分 AC 为边、AC是对角线两种情况，利用图象平移和中点公式，分别求解即可 【详解】 （1）根据题意，得 1 1 2 2 4 b c ，解得1b，4c ， 所以抛物线的解析式为 2 1 4 2 yxx. （2）把1x 代入 2 1 4 2 yxx，得4.5y ， 所以4.5DP. 如图 1，当/MNAB（或MNDP）时，四边形PMDN面积最大， 最大面积为 11 4 4.59 22 MN DP ， 此时点M和点N关于直线1x 对称，又因为4MN ，所以点N的横坐标为 3， 把3x 代入 2 1 4 2 yxx，得2.5y
46、， 所以点N的坐标为3, 2.5. （3）设点 Q的坐标为（m，km+1） ， 当 AC为边时， 点 A 向右平移 2 个单位向下平移 4个单位的得到点 C，同样点 B（Q）向右平移 2个单位向下平移 4 个单位 的得到点 Q（B） ， 即 42 041 m km 或 42 041 m km ，解得 6 5 6 m k 或 2 1.5 m k ， 故点 Q的坐标和 k分别为（6，-4） 、- 5 6 或（2，4） 、1.5； 当 AC是对角线时， 由中点公式得 11 ( 20)(4) 22 11 (04)(1) 22 m km ，解得 6 5 6 m k ， 故点 Q的坐标和 k分别为（-6，-4） 、 5 6 ； 综上，点 Q的坐标和 k分别为（6，-4） 、- 5 6 或（2，4） 、 3 2 k =或（-6，-4） 、 5 6 【点睛】 本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代 数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系