1、2020-2021 学年台州市椒江区学年台州市椒江区二校联考九年级上二校联考九年级上第一次联考数学试卷第一次联考数学试卷 一、选择题（每题一、选择题（每题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）若 x1 是方程 x2+ax20 的一个根，则 a 的值为（ ） A0 B1 C2 D3 2 （4 分）方程 x24x 的根是（ ） Ax4 Bx0 Cx10，x24 Dx10，x24 3 （4 分）一元二次方程 x22x10 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D无法确定 4 （4 分）将多项式 x22x15 因式分解得结果是（ ） A （x+1）
2、 （x15） B （x3） （x+5） C （x+3） （x5） D （x1）216 5 （4 分）抛物线 yx24x+7 的顶点坐标为（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，3） D （2，3） 6 （4 分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送 1035 张照片，如 果全班有 x 名同学，根据题意，列出方程为（ ） Ax（x+1）1035 Bx（x1）1035 Cx（x+1）1035 Dx（x1）1035 7 （4 分）若 A（6，y1） ，B（3，y2） ，C（1，y3）为二次函数 y2x24x+1 图象上的三点，则 y1，y2， y3的大小关系
3、是（ ） Ay3y2y1 By2y3y1 Cy3y1y2 Dy2y1y3 8 （4 分）若抛物线 yx2+5x+6 与直线 yx+a 只有一个交点，则 a 的值为（ ） A0 B1 C2 D3 9 （4 分）下列命题中，正确的个数有（ ） 若|a+b|ab，则 a、b 中至少有一个是 0 若 SABCSABD（C、D 不重合） ，则 CDAB 图象为直线的函数的解析式为一次函数 有一组对边相等和一组对角相等的四边形是平行四边形 A0 个 B1 个 C2 个 D4 个 10 （4 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则在下列各式子：abc0；a+b+c0； a+cb；2a+b
4、0；b24ac0；3a+c0；（m21）a+（m1）b0（m 为任意实数）中成 立式子（ ） A B C D 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）一元二次方程（a+1）x2ax+a21 的一个根为 0，则 a 12 （5 分）将抛物线：yx22x 向上平移 3 个单位，再向右平移 4 个单位得到的抛物线 是 13 （5 分）如图，是抛物线 yax2+bx+c（a0）的一部分，已知抛物线的对称轴为 x2，与 x 轴的一个 交点是（1，0） ，则方程 ax2+bx+c0（a0）的两根是 14 （5 分）已知抛物线经过点 A（4，0） 设点 C（1，3
5、） ，请在抛物线的对称轴上确定一点 D，使得|ADCD|的值最大，则 D 点的坐标为 15 （5 分）二次函数 yx2+（k+4）x+k 的图象与 x 轴两个交点间的最短距离为 16 （5 分）已知抛物线 yx22x3，若线段 AB 在 x 轴上，且 AB2，以 AB 为边作等边ABC，使点 C 落在该抛物线上，则点 C 的坐标为 三、解答题（共三、解答题（共 80 分）分） 17 （8 分）解方程： （1）2x24x1； （2） （x2+1）22x250 18 （8 分）求证：一元二次方程 x2+mx（m+2）0 必有两个不相等的实数根 19 （8 分）由数形结合思想知：解方程可以看成是求两
6、个函数交点的横坐标例如：解方程 2x+3x6 可看成是求直线 y2x+3 和直线 yx6 的交点横坐标利用这一思想方法，借助函数图象，判断方程： |x24x+3|1 的实数根有几个 20 （9 分）已知抛物线 yax2bx+3 经过点 A（1，2） ，B（2，3） （1）求此抛物线的函数解析式 （2）判断点 B（1，4）是否在此抛物线上 21 （9 分）如图，ABC 中，B90，AB5cm，BC7cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动 （1）如果点 Q、P，分别从 B、A 同时出发，那
7、么几秒后，PBQ 的面积等于 6cm2？ （2）在（1）中，PQB 的面积能否等于 8cm2？说明理由 （3）若运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，PQB30 22 （12 分）某宾馆客房部有 60 个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天 200 元时，房间可以住满当 每个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天 支出 20 元的各种费用 设每个房间每天的定价增加 x 元求： （1）房间每天的入住量 y（间）关于 x（元）的函数关系式； （2）该宾馆每天的房间收费 p（元）关于 x（元）的函数关系式； （3）该宾馆客房部每天的利润 w（元
8、）关于 x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w 有最大值？最大值是多少？ 23 （12 分）二次函数 yax2+2x1 与直线 y2x3 交于点 P（1，b） （1）求出此二次函数的解析式； （2）设两函数图象的另一交点为 Q，M 是抛物线上的动点，当 SPQM2 时，求 M 点的坐标 24 （14 分）在平面直角坐标系中，抛物线 yx22x+3 与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B 的左侧） ，与 y 轴 交于点 C，顶点为 D （1）请直接写出点 A，C，D 的坐标； （2）如图（1） ，在 x 轴上找一点 E，使得CDE 的周长最小，求点 E 的坐标； （3）如图（
9、2） ，F 为直线 AC 上的动点，在抛物线上是否存在点 P，使得AFP 为等腰直角三角形？若存 在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每题一、选择题（每题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）若 x1 是方程 x2+ax20 的一个根，则 a 的值为（ ） A0 B1 C2 D3 【考点】一元二次方程的解版权所有 【分析】把 x1 代入方程 x2+ax20 得到关于 a 的一次方程，然后解一次方程即可 【解答】解：把 x1 代入方程 x2+ax20 得 1+a20，解得 a1 故选：B 【点评】本题考查了一元二次方程的解：
10、能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的 解 2 （4 分）方程 x24x 的根是（ ） Ax4 Bx0 Cx10，x24 Dx10，x24 【考点】解一元二次方程因式分解法版权所有 【分析】原式利用因式分解法求出解即可 【解答】解：方程整理得：x（x4）0， 可得 x0 或 x40， 解得：x10，x24， 故选：C 【点评】此题考查了一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 3 （4 分）一元二次方程 x22x10 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D无法确定 【考点】根的判别式版权所有 【分析】把 a1，b
11、2，c1 代入b24ac，然后计算，最后根据计算结果判断方程根的情况 【解答】解：a1，b2，c1， b24ac4+48， 方程有两个不相等的实数根 故选：A 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0（a0，a，b，c 为常数）的根的判别式b24ac当 0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根 4 （4 分）将多项式 x22x15 因式分解得结果是（ ） A （x+1） （x15） B （x3） （x+5） C （x+3） （x5） D （x1）216 【考点】因式分解十字相乘法等版权所有 【分析】根据十字相乘法分解即可 【解答】解：x22x1
12、5 （x+3） （x5） ， 故选：C 【点评】本题考查了分解因式，能熟记分解因式的方法是解此题的关键 5 （4 分）抛物线 yx24x+7 的顶点坐标为（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，3） D （2，3） 【考点】二次函数的性质版权所有 【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可求出顶点坐标 【解答】解：yx24x+7（x2）2+3， 抛物线的顶点坐标为（2，3） 故选：D 【点评】本题考查了二次函数的顶点式与顶点坐标的关系顶点式 y（xh）2+k，顶点坐标为（h，k） 6 （4 分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送 1035 张照片，如
13、 果全班有 x 名同学，根据题意，列出方程为（ ） Ax（x+1）1035 Bx（x1）1035 Cx（x+1）1035 Dx（x1）1035 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程版权所有 【分析】如果全班有 x 名同学，那么每名同学要送出（x1）张，共有 x 名学生，那么总共送的张数应该是 x（x1）张，即可列出方程 【解答】解：全班有 x 名同学， 每名同学要送出（x1）张； 又是互送照片， 总共送的张数应该是 x（x1）1035 故选：B 【点评】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张 是解题关键 7 （4 分）若 A（6，y1） ，B（3，y
14、2） ，C（1，y3）为二次函数 y2x24x+1 图象上的三点，则 y1，y2， y3的大小关系是（ ） Ay3y2y1 By2y3y1 Cy3y1y2 Dy2y1y3 【考点】二次函数图象上点的坐标特征版权所有 【分析】求出抛物线的对称轴，根据抛物线的增减性，可知在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小进行比较 即可 【解答】解：二次函数 y2x24x+1 的对称轴为：x1， a20， 抛物线开口向上，在对称轴的左侧，即 x1 时，y 随 x 的增大而减小， A（6，y1） ，B（3，y2） ，C（1，y3） ， y3y2y1， 故选：A 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握二
15、次函数的图象和性质是解决问题是关键 8 （4 分）若抛物线 yx2+5x+6 与直线 yx+a 只有一个交点，则 a 的值为（ ） A0 B1 C2 D3 【考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特 征版权所有 【分析】根据抛物线 yx2+5x+6 与直线 yx+a 只有一个交点，可以得到方程 x2+5x+6x+a 中的的值为 0，然后计算即可 【解答】解：令 x2+5x+6x+a，可得 x2+4x+6a0， 抛物线 yx2+5x+6 与直线 yx+a 只有一个交点， 4241（6a）0， 解得 a2， 故选：C 【点评】本题考查二次函数的性质
16、、一次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键 是明确题意，求出 a 的值 9 （4 分）下列命题中，正确的个数有（ ） 若|a+b|ab，则 a、b 中至少有一个是 0 若 SABCSABD（C、D 不重合） ，则 CDAB 图象为直线的函数的解析式为一次函数 有一组对边相等和一组对角相等的四边形是平行四边形 A0 个 B1 个 C2 个 D4 个 【考点】命题与定理版权所有 【分析】根据绝对值、三角形面积、一次函数和平行四边形的判定判断即可 【解答】解：若|a+b|ab，则 a、b 中至少有一个是 0，是真命题 若 SABCSABD（C、D 不重合） ，则 CD 不一定平行
17、 AB，原命题是假命题 图象为直线的函数的解析式不一定是一次函数，例如直线 y0 或 x1 等，原命题是假命题 有一组对边相等和一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题； 故选：B 【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组 成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式 有些命 题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理 10 （4 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则在下列各式子：abc0；a+b+c0； a+cb；2a+b0；b24ac0；3a+c0；（m21）a+（
18、m1）b0（m 为任意实数）中成 立式子（ ） A B C D 【考点】根的判别式；二次函数图象与系数的关系；抛物线与 x 轴的交点版权所有 【分析】根据二次函数的性质，利用数形结合的思想一一判断即可 【解答】解：抛物线的开口向上， a0， 对称轴在 y 轴的右侧， a，b 异号， b0， 抛物线交 y 轴于负半轴， c0， abc0，故正确， x1 时，y0， a+b+c0，故错误， x1 时，y0， ab+c0， a+cb，故正确， 对称性 x1， 1， 2a+b0，故正确， 抛物线与 x 轴有两个交点， b24ac0，故错误， 2a+b0，ab+c0， 3a+c，故正确； x1 时，函数
19、有最小值 ya+b+c， am2+bm+ca+b+c（m 为任意实数） ， （m21）a+（m1）b0，故正确； 故选：D 【点评】 本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用数形结合的思想解决问题， 属于中考常考题型 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）一元二次方程（a+1）x2ax+a21 的一个根为 0，则 a 1 【考点】一元二次方程的定义；一元二次方程的解版权所有 【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到 a+10 且 a210，然后解不等式和方 程即可得到 a 的值 【解答】解：一元二次方程（a+
20、1）x2ax+a21 的一个根为 0， a+10 且 a21， a1 故答案为：1 【点评】本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为 2 的整式方程叫一元 二次方程，其一般式为 ax2+bx+c0（a0） 也考查了一元二次方程的解的定义 12 （5 分）将抛物线：yx22x 向上平移 3 个单位，再向右平移 4 个单位得到的抛物线是 y（x5） 2+2 或 yx210 x+27 【考点】二次函数图象与几何变换版权所有 【分析】先将抛物线的解析式化为顶点式，然后根据平移规律平移即可得到解析式 【解答】解：yx22x（x1）21， 根据平移规律，向上平移 3 个单位，再向
21、右平移 4 个单位得到的抛物线是： y（x5）2+2， 将顶点式展开得，yx210 x+27 故答案为：y（x5）2+2 或 yx210 x+27 【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平 移后的函数解析式 13 （5 分）如图，是抛物线 yax2+bx+c（a0）的一部分，已知抛物线的对称轴为 x2，与 x 轴的一个 交点是（1，0） ，则方程 ax2+bx+c0（a0）的两根是 x11，x25 【考点】抛物线与 x 轴的交点版权所有 【分析】根据二次函数的对称性求出抛物线与 x 轴的另一交点，然后根据二次函数与一元二次方程的关系 写出即可
22、 【解答】解：抛物线的对称轴为 x2，与 x 轴的一个交点是（1，0） ， 抛物线与 x 轴的另一交点是（5，0） ， 方程 ax2+bx+c0（a0）的两根是 x11，x25 故答案为：x11，x25 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，一元二次方程与二次函数的关系，难点在于熟练掌握二次函数 的对称性确定出与 x 轴的另一交点坐标 14 （5 分）已知抛物线经过点 A（4，0） 设点 C（1，3） ，请在抛物线的对称轴上确定一点 D，使得|ADCD|的值最大，则 D 点的坐标为 （2，6） 【考点】二次函数综合题版权所有 【分析】首先利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后可求得抛物线的
23、对称轴方程 x2，又由作点 C 关 于 x2 的对称点 C，直线 AC与 x2 的交点即为 D，求得直线 AC的解析式，即可求得答案 【解答】解：抛物线经过点 A（4，0） ， 42+4b0， b2， 抛物线的解析式为：yx22x（x2）22， 抛物线的对称轴为：直线 x2， 点 C（1，3） ， 作点 C 关于 x2 的对称点 C（3，3） ， 直线 AC与 x2 的交点即为 D， 因为任意取一点 D（AC 与对称轴的交点除外）都可以构成一个ADC而在三角形中，两边之差小于第三 边， 即|ADCD|AC 所以最大值就是在 D 是 AC延长线上的点的时候取到|ADCD|AC 把 A， C两点坐
24、标代入，得到过 AC的直线的解析式即可； 设直线 AC的解析式为 ykx+b， ， 解得：， 直线 AC的解析式为 y3x12， 当 x2 时，y6， D 点的坐标为（2，6） 故答案为： （2，6） 【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴，以及距离差最小问题此题综 合性很强，解题的关键是数形结合思想的应用 15 （5 分）二次函数 yx2+（k+4）x+k 的图象与 x 轴两个交点间的最短距离为 2 【考点】抛物线与 x 轴的交点版权所有 【分析】 设两个交点的横坐标为 m、 n， 则 m+nk4， mnk， 则|mn| 2，即可求解 【解答】解：设两个交点的横坐标
25、为 m、n， 则 m+nk4，mnk， 则|mn|2， 故答案为 2 【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征等，利用根与系数的关系 求解是解题的关键 16 （5 分）已知抛物线 yx22x3，若线段 AB 在 x 轴上，且 AB2，以 AB 为边作等边ABC，使点 C 落在该抛物线上，则点 C 的坐标为 （+1，3） ， （+1，3） ， （0，3）或（2，3） 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；等边三角形的判定与性质版权所有 【分析】根据题意和等边三角形的性质，可以求得点 C 的纵坐标，然后将点 C 的纵坐标代入二次函数解析 式，即可求得
26、相应的 x 的值，从而可以写出点 C 的坐标 【解答】解：线段 AB 在 x 轴上，且 AB2，ABC 是等边三角形， 点 C 的纵坐标的绝对值为 2sin6023， 点 C 的纵坐标为 3 或3， 将 y3 代入 yx22x3，可得 3x22x3，解得 x1+1，x2+1， 将 y3 代入 yx22x3，可得3x22x3，解得 x30，x42， 即点 C 的坐标为（+1，3） ， （+1，3） ， （0，3）或（2，3） ， 故答案为： （+1，3） ， （+1，3） ， （0，3）或（2，3） 【点评】本题考查二次函数的性质、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出点 C 的坐标
27、三、解答题（共三、解答题（共 80 分）分） 17 （8 分）解方程： （1）2x24x1； （2） （x2+1）22x250 【考点】解一元二次方程配方法；解一元二次方程公式法版权所有 【分析】 （1）利用配方法求解即可； （2）将 x2+1 看作整体，利用因式分解法求解即可 【解答】解： （1）2x24x1， x22x0.5， 则 x22x+110.5，即（x1）2， x1， x11+，x21； （2）（x2+1）22x250， （x2+1）22（x2+1）30， （x2+1+1） （x2+13）0，即（x2+2） （x22）0， x2+20， x220， 解得 x1，x2 【点评】 本题
28、主要考查解一元二次方程的能力， 熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、 因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 18 （8 分）求证：一元二次方程 x2+mx（m+2）0 必有两个不相等的实数根 【考点】根的判别式版权所有 【分析】先进行判别式的值，再利用配方法得到（m+2）2+4，接着利用非负数的性质得到0，然后 根据判别式的意义得到结论 【解答】证明：b24acm24（m+2） m2+4m+8 （m+2）2+4， （m+2）20， （m+2）2+40，即0， 一元二次方程 x2+mx（m+2）0 必有两个不相等的实数根 【点评】本题考查了根
29、的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系：当 0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数 根 19 （8 分）由数形结合思想知：解方程可以看成是求两个函数交点的横坐标例如：解方程 2x+3x6 可看成是求直线 y2x+3 和直线 yx6 的交点横坐标利用这一思想方法，借助函数图象，判断方程： |x24x+3|1 的实数根有几个 【考点】一次函数与一元一次方程版权所有 【分析】根据两函数图象交点的个数，找出方程解得个数 【解答】解：方程：|x24x+3|1 的根可以看作是函数 y|x24x+3|与函数 y1 的图
30、象交点的横坐标， 画出两函数图象，如图所示 观察图象可知，函数 y|x24x+3|与函数 y1 的图象有 3 个交点， 方程|x24x+3|1 的实数根的个数是 3 个 【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，数形结合是解题的关键 20 （9 分）已知抛物线 yax2bx+3 经过点 A（1，2） ，B（2，3） （1）求此抛物线的函数解析式 （2）判断点 B（1，4）是否在此抛物线上 【考点】二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式版权所有 【分析】 （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可解决问题； （2）求出 x1 时的函数值即可判断； 【解答】解： （1）将点
31、A（1，2） ，B（2，3）代入 yax2bx+3， 得 解得， 抛物线的函数解析式为 yx22x+3， （2）当 x1 时，y1+2+364， 点 B（1，4）不在此抛物线上 【点评】本题考查二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考 题型 21 （9 分）如图，ABC 中，B90，AB5cm，BC7cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动 （1）如果点 Q、P，分别从 B、A 同时出发，那么几秒后，PBQ 的面积等于 6cm2？ （2）在（1）中，P
32、QB 的面积能否等于 8cm2？说明理由 （3）若运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，PQB30 【考点】一元一次方程的应用；根的判别式；一元二次方程的应用版权所有 【分析】 （1）当运动时间为 x 秒时，PB（5x）cm，BQ2xcm，根据PBQ 的面积等于 6cm2，即可得 出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）不能，同（1）可得出关于 x 的一元二次方程，由根的判别式70 可得出该方程无实数根，进 而可得出在（1）中，PQB 的面积不能等于 8cm2； （3）分 0t及t5 两种情况考虑，理由正切的定义可得出关于 t 的方程，解之即可得出结论 【解答】解： （1）当运动
33、时间为 x 秒时，PB（5x）cm，BQ2xcm， 依题意得：（5x）2x6， 整理得：x25x+60， 解得：x12，x23 答：2 秒或 3 秒后，PBQ 的面积等于 6cm2 （2）不能，理由如下： 依题意得：（5x）2x8， 整理得：x25x+80， （5）241870， 该方程无实数根，即在（1）中，PQB 的面积不能等于 8cm2 （3）当 0t时，PB（5t）cm，BQ2tcm， tanPQB，即， 解得：t1015； 当t5 时，PB（5t）cm，BQ7cm， tanPQB，即， 解得：t5（不符合题意，舍去） 答：当 t 为（1015）秒时，PQB30 【点评】本题考查了一元
34、二次方程的应用、根的判别式以及一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）找 准等量关系，正确列出一元二次方程； （2）牢记“当0 时，方程无实数根” ； （3）分 0t及t 5 两种情况，找出关于 t 的方程 22 （12 分）某宾馆客房部有 60 个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天 200 元时，房间可以住满当 每个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天 支出 20 元的各种费用 设每个房间每天的定价增加 x 元求： （1）房间每天的入住量 y（间）关于 x（元）的函数关系式； （2）该宾馆每天的房间收费 p（元）关于 x（元）的函
35、数关系式； （3）该宾馆客房部每天的利润 w（元）关于 x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w 有最大值？最大值是多少？ 【考点】二次函数的应用版权所有 【分析】 （1）根据题意可得房间每天的入住量60 个房间每个房间每天的定价增加的钱数10； （2）已知每天定价增加为 x 元，则每天要（200+x）元则宾馆每天的房间收费每天的实际定价房间 每天的入住量； （3）支出费用为 20（60） ，则利润 w（200+x） （60）20（60） ，利用配方法化简 可求最大值 【解答】解： （1）由题意得： y60（2 分） （2）p（200+x） （60）+40 x+12000（3
36、分） （3）w（200+x） （60）20（60） （2 分） +42x+10800 （x210）2+15210 当 x210 时，w 有最大值 此时，x+200410，就是说，当每个房间的定价为每天 410 元时，w 有最大值，且最大值是 15210 元 【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是 公式法本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般 23 （12 分）二次函数 yax2+2x1 与直线 y2x3 交于点 P（1，b） （1）求出此二次函数的解析式； （2）设两函数图象的另一交点为 Q，M 是抛物线上的动点，当 SPQM2 时，求
37、M 点的坐标 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求 二次函数解析式版权所有 【分析】 （1）利用待定系数法即可解决问题； （2）作 MNx 轴，交直线 y2x3 于 N，令2x2+2x12x3，求得 Q 的坐标，然后根据三角形面积 公式得到|2x2+2x12x+3|（1+1）2，解方程即可求得 M 点的坐标 【解答】解： （1）点 P（1，b）在直线 y2x3 上， b231， P（1，1） ， 把 P（1，1）代入 yax2+2x1，得到 a2， 二次函数的解析式为 y2x2+2x1 （2）作 MNx 轴，交直线 y2x3 于 N， 令
38、2x2+2x12x3， 整理得，x21， x1， Q（1，5） ， 设 M（x，2x2+2x1） ，则 N（x，2x3） ， SPQM2， |2x2+2x12x+3|（1+1）2， |2x2+2|2， 当2x2+22 时，解得 x0， 当2x2+22 时，解得 x， M 点的坐标为（0，1）或（，5+2）或（，52） 【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，三角 形的面积等，解题的关键是熟练掌握待定系数法，属于中考常考题型 24 （14 分）在平面直角坐标系中，抛物线 yx22x+3 与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B 的左侧） ，与 y
39、轴 交于点 C，顶点为 D （1）请直接写出点 A，C，D 的坐标； （2）如图（1） ，在 x 轴上找一点 E，使得CDE 的周长最小，求点 E 的坐标； （3）如图（2） ，F 为直线 AC 上的动点，在抛物线上是否存在点 P，使得AFP 为等腰直角三角形？若存 在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由 【考点】二次函数综合题版权所有 【分析】 （1）令抛物线解析式中 y0，解关于 x 的一元二次方程即可得出点 A、B 的坐标，再令抛物线解析 式中 x0 求出 y 值即可得出点 C 坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点 D 的坐标； （2）作点 C 关于 x 轴对称的点 C，
40、连接 CD 交 x 轴于点 E，此时CDE 的周长最小，由点 C 的坐标可 找出点 C的坐标，根据点 C、D 的坐标利用待定系数法即可求出直线 CD 的解析式，令其 y0 求出 x 值，即可得出点 E 的坐标； （3）根据点 A、C 的坐标利用待定系数法求出直线 AC 的解析式，假设存在，设点 F（m，m+3） ，分PAF 90、AFP90和APF90三种情况考虑根据等腰直角三角形的性质结合点 A、F 点的坐标找 出点 P 的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于 m 的一元二次方程，解方程求出 m 值，再代入点 P 坐标中即可得出结论 【解答】解： （1）当 yx22x+3 中 y0 时，
41、有x22x+30， 解得：x13，x21， A 在 B 的左侧， A（3，0） ，B（1，0） 当 yx22x+3 中 x0 时，则 y3， C（0，3） yx22x+3（x+1）2+4， 顶点 D（1，4） （2）作点 C 关于 x 轴对称的点 C，连接 CD 交 x 轴于点 E，此时CDE 的周长最小，如图 1 所示 C（0，3） ， C（0，3） 设直线 CD 的解析式为 ykx+b， 则有，解得：， 直线 CD 的解析式为 y7x3， 当 y7x3 中 y0 时，x， 当CDE 的周长最小，点 E 的坐标为（，0） （3）设直线 AC 的解析式为 yax+c， 则有，解得：， 直线 A
42、C 的解析式为 yx+3 假设存在，设点 F（m，m+3） ， AFP 为等腰直角三角形分三种情况（如图 2 所示） ： 当PAF90时，P（m，m3） ， 点 P 在抛物线 yx22x+3 上， m3m22m+3， 解得：m13（舍去） ，m22， 此时点 P 的坐标为（2，5） ； 当AFP90时，P（2m+3，0） 点 P 在抛物线 yx22x+3 上， 0（2m+3）22（2m+3）+3， 解得：m33（舍去） ，m41， 此时点 P 的坐标为（1，0） ； 当APF90时，P（m，0） ， 点 P 在抛物线 yx22x+3 上， 0m22m+3， 解得：m53（舍去） ，m61， 此时点 P 的坐标为（1，0） 综上可知：在抛物线上存在点 P，使得AFP 为等腰直角三角形，点 P 的坐标为（2，5）或（1，0） 【点评】本题考查了解一元二次方程、待定系数法求函数解析式以及等腰直角三角形的性质，解题的关键 是： （1）根据二次函数图象上点的坐标特征求出点 A、B、C 的坐标，利用配方法求出顶点坐标； （2）找出 点 E 的位置； （3）分PAF90、AFP90和APF90三种情况考虑本题属于中档题，难度不 大，解决该题型题目时，利用一次函数图象上点的坐标特征设出点 F 的坐标，再根据等腰直角三角形的性 质表示出点 P 的坐标是关键