1、浙江省舟山市重点中学2020至2021学年高三10月考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若集合，那么（ ）A. B. C. D. 2. 函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 3. 已知，命题：，命题：若恒成立时，的最小值为，则命题是命题的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 函数的导数是A. B. C. D. 5. 函数的最小正周期为，若其图象向右平移个单位后得到函数为奇函数，则函数的图象（ ）A. 关于点对称B. 在上单调递增C. 关于直线对称D. 处
2、取最大值6. 已知函数在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 7. 已知定义在R上的函数满足为偶函数，若在内单调递减则下面结论正确的是（ ）A. B. C. D. 8. 设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当.若 ，则实数的取值范围是A. B. C. D. 9. 若函数最大值为，则实数的取值范围为A. B. C. D. 10. 已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是（ ）A B. C. D. 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11. 若，则=_ ，_ ；12. 已知（0，），且sin（），则c
3、os（）_，sin2_13. 已知函数，则=_；不等式的解集为_；14. 如图，在中，是内一动点，则的外接圆半径=_，的最小值为_15. 已知函数，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为_.16. 将甲、乙、丙、丁、戊5位同学排成一横排，要求甲、乙均在丙的同侧，且丙丁不相邻，则不同的排法共有_种(用数字作答)17. 已知函数，若恒成立，则的取值范围_三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18 已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围19. 已知函数，其图象在点处切线方程为.（1）求，的值；（2）求函数的单调区间，并求出在区
4、间上的最大值.20. 锐角的内角的对边分别为，已知，（1）求的值及的面积；（2）的平分线与交于，求的值21. 已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且（1）求函数，的解析式；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值；（3）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求的取值范围22. 已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若在恒成立，求正实数的取值范围参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若集合，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析
5、】先解不等式，求得集合，再求交集即可得解.【详解】由，可得，由可得，所以，所以，故选：A2. 函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据解析式判断函数的奇偶性，结合函数值的符号是否对应，利用排除法进行判断即可.【详解】函数的定义域为，则函数为偶函数，图象关于轴对称，排除，当时，排除，当时，排除，故选：D.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.3. 已知，
6、命题：，命题：若恒成立时，的最小值为，则命题是命题的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件和必要条件定义进行判断.【详解】若，则函数周期为，又 恒成立时，的最小值为周期的一半，的最小值为，即，若恒成立时，的最小值为，则， ，即，命题是命题的充要条件，故选：C.4. 函数的导数是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由乘法求导法则求出函数的导数，再进行化简即可.【详解】由可得： 故答案选B【点睛】本题考查乘积的导数法则，熟练掌握乘积的导数法则和导数公式是解决本题的关键，属于基础题.5. 函数的最小正
7、周期为，若其图象向右平移个单位后得到函数为奇函数，则函数的图象（ ）A. 关于点对称B. 在上单调递增C. 关于直线对称D. 在处取最大值【答案】A【解析】【分析】由最小正周期为得出，由的图象向右平移个单位后得到函数为奇函数得出，进而得出，然后根据正弦型函数的图像与性质逐一对选型进行判断即可得出答案.【详解】解：函数的最小正周期为，可得，向右平移个单位后得到的函数为，因为此函数为奇函数，又，所以.故函数，对于选项：正确；对于选项：当，不具有单调性，故B错；对于选项：，故C错；对于选项：，没有取到最大值，故D错.故选：A.【点睛】本题主要考查正弦型函数的图像与性质，属于中档题.6. 已知函数在区
8、间内没有零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意若要函数在区间内没有零点，由，又因为，所以或，化简即可得解.【详解】由，且，所以，由题意可得或，解得或 ，因，所以或者，故选：D7. 已知定义在R上的函数满足为偶函数，若在内单调递减则下面结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先得到函数的周期为6，利用为偶函数，得到，将化成，再比较的大小关系，最后利用函数的单调性得到的大小关系.【详解】因为，所以的最小正周期，因为为偶函数，所以，所以，因为，且在(0，3)内单调递减，所以.故选A.【点睛】本题考查函数的周期性、奇偶性、单调性
9、的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要注意利用函数的性质把自变量的取值都化到同一个单调区间内.8. 设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当.若 ，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】分析：设 ，判断的奇偶性和单调性，得出的范围详解：设，则，是偶函数当.，在 上是增函数，即 ， ，即故选A点睛：本题考查函数的导数与函数单调性的关系，考查导数的应用以及函数恒成立问题以及转化思想，关键是构造函数并分析函数的单调性9. 若函数的最大值为，则实数的取值范围为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】由 ，可得 在 恒成立，即为a（1-lnx）-x
10、2，当 时， 2显然成立；当 时，有 ，可得 设 由 时， ，则在递减，且 ，可得 ；当 时，有 ，可得 ，设 由 时， 在 递减，由时， 在 递增，即有 在 处取得极小值，且为最小值 ，可得 ，综上可得 故选B【点睛】本题考查函数的最值的求法和应用，注意运用参数分离和分类讨论的思想方法，以及构造函数法，求出导数和最值. 10. 已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据导数的几何意义写出函数在点、处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件：斜率相等且纵截距相等，列出关系式，从而得出，判断单调性，
11、可得出的取值范围【详解】解：当时，的导数为；当时，的导数为，设，为该函数图象上的两点，且，当，或时，故，当时，函数在点，处的切线方程为：；当时，函数在点，处的切线方程为两直线重合的充要条件是，由及得，由令，则，且，记导数为，且在恒成立，则函数在为减函数，实数的取值范围是故选：B二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11. 若，则=_ ，_ ；【答案】 . . ；【解析】【分析】根据复数的模的公式和复数的运算即可求出答案.【详解】因为，所以；.故答案为：；.12. 已知（0，），且sin（），则cos（）_，sin2_【答案】 . . 【解析】【分析】由已知直接利用
12、诱导公式求得，再由，利用余弦的倍角公式，即可求解【详解】由题意，因为sin（），可得cos（）cos（）sin（）；又由sin2cos（）cos2（）故答案为：，【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式、以及余弦的倍角公式的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题13. 已知函数，则=_；不等式的解集为_；【答案】 . . 【解析】【分析】根据分段函数进行代入可得即可得解，令，先解，求得或，再求的范围即可得解.【详解】，令，先解，当时，成立，当时，解得，再解不等式和，先求，易知当时，当，所以或，再求，当可
13、得，当，可得，综上：解得，故答案为：，.14. 如图，在中，是内一动点，则的外接圆半径=_，的最小值为_【答案】 . . ；【解析】【分析】第一空，在中，由正弦定理，即得解；第二空，设，在中，由正弦定理可得，在中，即得解【详解】在中，由正弦定理，设，在中，由正弦定理，得，在中，其中，从而，由最小值为的最小值故答案为：，.15. 已知函数，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】由当时，不等式恒成立，变形得到当时，不等式恒成立，即，在上是增函数，然后由，在上是恒成立求解.【详解】因为当时，不等式恒成立，即当时，不等式恒成立，所以，在上是增函数，所以，在上是恒成立，即，
14、在上是恒成立，令，所以，当时，当时，所以当时，取得最小值，最小值为，所以实数a的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.16. 将甲、乙、丙、丁、戊5位同学排成一横排，要求甲、乙均在丙的同侧，且丙丁不相邻，则不同的排法共有_种(用数字作答)【答案】48【解析】【分析】根据题意，分3步进行分析：先安排甲乙丙，将戊安排在3人的空位中，最后安排丁，由分步计数原理计算可得答案【详解】根据题意，分3步进行分析：安排甲乙丙，要求甲、乙均在丙的同侧，有种情况；将戊安排在3人的空位中，有4种情况；4人排好后，有5个空位，由于丙丁不相邻
15、，则丁的安排方法有3种；则有种不同的排法，故答案为：4817. 已知函数，若恒成立，则的取值范围_【答案】【解析】【分析】若要恒成立，只要即可，首先利用辅助角公式进行化简可得，进行换元可得，再利用导数即可得解.【详解】，设，可得，当且仅当时取等号，设，由，可得，所以，即在递增，可得，由恒成立，可得，所以的取值范围为.故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18. 已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用两角和的余弦公式、二倍角公式以及辅助角公式化简，再由正弦函数的周期公
16、式即可求解；（2）利用正弦函数的性质求出的最大值和最小值，由题意可得，即可求得的取值范围【详解】（1）因为所以的最小正周期为（2）当时，所以当时，取得最大值，当时，取得最小值，因为存在，使得成立，所以，即，解得：，所以实数的取值范围为.19. 已知函数，其图象在点处的切线方程为.（1）求，的值；（2）求函数的单调区间，并求出在区间上的最大值.【答案】（1），. （2）单调递增区间是和，单调递减区间是；最大值为8.【解析】【分析】（1）求出导函数，由，可求得；（2）由（1）得，求出的根，然后列表表示出的正负，的单调性，得极值从而可得单调区间，也能得出函数在上的最大值【详解】（1），在上，在上，.
17、又，解得，.（2），由得和，列表如下：000极大值极小值 所以的单调递增区间是和，单调递减区间是.，在区间上的最大值为8.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的单调区间，求函数的最值根据几何意义，根据导数与单调性的关系直接求解即可，属于中档题20. 锐角的内角的对边分别为，已知，（1）求的值及的面积；（2）的平分线与交于，求的值【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化并整理得，进而根据题意得，再结合余弦定理得，进而根据面积公式求解即可；（2）根据题意得，进而得，再结合得，进而由即可求得答案.【详解】解：（1）根据题意，结合正弦定理边角互化得，即，因为，所以
18、，所以，因为在锐角中，所以.所以，因为，所以，解得 所以的面积 （2）因为的平分线与交于，所以，即，所以，由于，所以所以，所以21. 已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且（1）求函数，的解析式；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值；（3）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求的取值范围【答案】（1），；（2）4；（3）或【解析】【分析】（1）用替换再利用奇偶性得到，与已知条件联立即可得到函数，的解析式；（2）将代入，换元思想，分离参数，构造函数，求函数最小值，即可得实数的最大值；（3）根据题意，换元后转化为方程有且只有一个正根，再对讨论即可得出的取值范围【详解】解：（1），用
19、代替得，则，解方程得：，.（2）对任意恒成立，令，因为令在单调递增，故则对恒成立当时， 故，即（3）由题：方程有且只有一个根即有且只有一个根，令，因为在上单调递增，且故方程（*式）有且只有一个正根当时，方程有唯一根，合题当时，方程变形为，解得两根为，因为（*式）有且只有一个正根，故或，解得或综上：的取值范围为或【点睛】本题主要考查的是函数的奇偶性与单调性的应用，考查不等式恒成立问题，方程在给定范围内由一解的解题方法，考查学生的分析问题解决问题的能力，是难题.22. 已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若在恒成立，求正实数取值范围
20、【答案】（1）当时，函数在递增；当时，函数在递增，递减，递增其中；（2）；（3）【解析】【分析】（1）求，令可得，分别讨论和时，求不等式，的解集，即可求解；（2）由（1）可知：，可得，且，分离参数可得恒成立，将整理为关于的函数，构造新函数，求导判断单调性，求新函数的最值即可求解.（3）由题意可得对于恒成立，令，则，对求导再讨论的范围判断单调性 即可求解.【详解】（1）定义域为，令可得，当即时，对于恒成立，所以在上单调递增，当即时，由可得：，由可得：或，由可得：，所以在和上单调递增，在上单调递减，综上所述：当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为和单调递减区间为.（2）若函数有两个极值点，
21、由（1）可知：，由可得，则，由，可得，所以不等式恒成立，等价于恒成立，令，则，因为，所以，因为，所以，所以在上单调递减，所以，即，故实数的取值范围为；（3）若在恒成立，即对于恒成立；令，则，则，令，令，则，所以在上单调递减，因为，所以，所以在上单调递减，即在上单调递减，当时，对于恒成立，所以在上单调递减，所以恒成立，符合题意；当时，存在实数，使得函数在上单调递增，此时，不符合题意，综上所述：正实数取值范围为.【点睛】思路点睛：由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.