1、2021202120222022 学年高三（上）第一次月考数学试卷学年高三（上）第一次月考数学试卷 （内容：集合与逻辑、不等式、函数的性质与基本初等函数）满分 150 分 一、单选题（每题 5 分，共 40 分） 1.（ ）设集合 1 28 2 x Ax ， ln 2Bx yx，则AB A.3,2 B.2,3 C.1,2 D.1,2 2.（ ）下列函数中，既为奇函数又在定义域内单调递增的是 A.22 xx y B. 2 2 log1yx C. 1 ln 1 x yx x D.sinyx 3.（ ）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型： 0 10 1 lnt k （t为时间，单位分钟， 0 为
2、环 境温度， 1 为物体初始温度，为冷却后温度） ，假设一杯开水温度 1 100，环境温度 0 20，常 数0.2k ，大约经过多少分钟水温降为 40？（结果保留整数，参考数据：ln20.7） A.9 B.8 C.7 D.6 4.（ ）函数 2 xx ee f x x 的图象大致为 A. B. C. D. 5.（ ）下列命题中为真命题的是 A.“0ab”的充要条件是“1 a b ” B.“ab”是“ 11 ab ”的充分不必要条件 C.命题“x R， 2 20 x x ”的否定是“x R， 2 20 x x ” D.“2a ，2b”是“4ab”的必要条件 6. （ ） 已知函数 f x是偶函数
3、， 且 f x在0,上是增函数， 若 1 0 2 f ， 则不等式 4 log0fx 的解集为 A.2x x B. 1 0 2 xx C. 1 02 2 xxx 或 D. 1 12 2 xxx 或 7.（ ）已知0a ，0b ，且1ab，则 3 4 ab ab 的最大值为 A. 3 10 B. 3 8 C. 9 28 D. 1 3 8.（ ）已知函数 2 f xxbxc满足11fxfx，且 03f，则 x f b与 x f c的大 小关系为 A. xx f cf b B. xx f cf b C. xx f cf b D. xx f cf b 二、多选题，部分对得 2 分，共 20 分 9.（
4、 ）已知集合 2 3180AxxxR， 22 270BxxaxaR，则下列命题中正 确的是 A.若AB，则3a B.若AB，则3a C.若B，则6a或6a D.若BA时，则63a 或6a 10.（ ）已知0 x ，0y ，且21xy，则 1x xy 可能取的值有 A.9 B.10 C.11 D.12 11.（ ）已知函数 2 21f xxaxa，若对于区间1,2上的任意两个不相等的实数 1 x， 2 x， 都有 12 f xf x，则实数a的取值范围可以是 A.,0 B.0,3 C.1,2 D.3, 12.（ ）已知函数 2,0 lg,0 xx f x x x ，方程 2 10fxmf x 有
5、 4 个不同的实数根，则下列选项 正确的为 A.函数 f x的零点的个数为 2 B.实数m的取值范围为 3 , 2 C.函数 f x无最值 D.函数 f x在0,上单调递增 一、填空题：每题 5 分，共 20 分 13.计算求值： 12 23 0 ln2 111 3lg5lg2lg0.01 4274 e _. 14.若函数 4 log41 x f xkx为偶函数，则k _. 15.已知函数 log2 a f xxa在区间 1 2 , 3 3 上恒有 0f x ，则实数a的取值的取值范围为 _. 16. 设 函 数 2 2 22 ,0 l o g21 ,20 xxx f x xx ， 若 互 不
6、 相 等 的 实 数 1 x、 2 x、 3 x满 足 123 fxfxfx，则 123 xxx的取值范围是_. 二、解答题：共 70 分，要求写出必要步骤 17.（10 分）已知集合 2 20Ax xxm， 3 , x By yxn. （1）若集合A为空集，求实数m的取值范围； （2）当8m时，若“xA”是“xB”的必要不充分条件，求实数n的取值范围. 18.（12 分）已知函数 2 1f xxaxaaR. （1）若 f x在1,上单调递增，求a的取值范围； （2）解关于x的不等式 0f x . 19.（12 分）已知函数 2 21 x x a f x 为奇函数. （1）求实数a的值并证明
7、f x的单调性； （2）若实数满足不等式 1 10 2 ff t ，求t的取值范围. 20.（12 分）已知函数 log0,1 x a f xax aa在1,2上的最大值与最小值之和为6log 2 a . （1）求实数a的值； （2）对于任意的2,x，不等式 10kf x 恒成立，求实数k的取值范围. 21.（12 分）已知函数 f x为 R 上的偶函数， g x为 R 上的奇函数，且 4 log41 x f xg x. （1）求 f x， g x的解析式； （2）若函数 2 1 log22 20 2 x h xf xaaa在 R 上只有一个零点，求实数a的取值范围. 22.（12 分）已知函
8、数 2 2f xxmxm， f x g x x ，且函数2yf x是偶函数. （1）若不等式lnln0gxnx在 2 1 ,1 e 上恒成立，求n的取值范围； （2）若函数 2 2 2 2 2 log49 log4 ygxk x 恰好有三个零点，求k的值及该函数的零点. 20212022 学年（上）高三第一次月考数学试卷 （内容：集合与逻辑、不等式、函数的性质与基本初等函数）满分 150 分 答案及解析 1.【答案】C 1 28 2 x Ax ， 13 222 x ，13Axx ， ln 2Bx yx， 20 x， 2Bx x， 1221,2ABxxx x . 2.【答案】C，显然 A 为减函
9、数；B：记 2 2 log1g xx，则 2 2 log1gxxg x ，所以 函数 2 2 log1g xx是偶函数，不符合题意；C：奇函数，增函数，符合题意；D：记 sint xx， 则 sinsintxxxt x，所以函数 sint xx为偶函数. 3.【答案】C 由题意知： 140201 ln5ln10ln27 0.2100204 t 分钟，故选：C. 4. 【答案】 B 详解： 0 x ， 2 xx ee fxf x x ， f x为奇函数， 排除 A， 1 10fee ， 故排除 D. 2 43 2 22 xxxx xx eexeex xexe fx xx ，当2x 时， 0fx
10、，所以 f x在 2,单调递增，所以排除 C；故选：B. 5.【答案】C，对于 A，当0b 时， a b 不存在，A 错；对于 B，充分性：因为ab，当1a ，1b时， 11 ab 不成立， 充分性不成立.B不对； 对于C， 根据特称命题的否定的定义知C对； 对于D， 充分性： 若2a ， 2b，由不等式的性质可得4ab，充分性成立.必要性：若4ab，取3ab，则“2a ，2b” 不成立，必要性不成立.故“2a ，2b”是“4ab”的充分条件，不是必要条件，D 错.故选：C. 6.【答案】C 依题意，不等式 44 1 log0log 2 fxfxf ，又 f x在0,上是增函数，所 以 4 1
11、 log 2 x ，即 4 1 log 2 x 或 4 1 log 2 x ，解得 1 0 2 x或2x .故选：C. 7. 【 答 案 】 D由0a ，0b ， 可 得 333 441 4 ab ab ab abab ， 又 由1ab， 可 得 414144 5529 baba ab abababab ，当且仅当 4ba ab 时，即 2 3 a ， 1 3 b 时，等 号成立， 所以 331 41 93 ab ，即 3 4 ab ab 的最大值为 1 3 .故选：D. 8.【答案】A 根据题意，函数 2 f xxbxc满足11f xfx，则有1 2 b ，即2b，又由 03f ， 则3c
12、， 所以2 xx b ，3 xx c ， 若0 x， 则有1 xx cb， 而 f x在,1 上为减函数， 此时有 xx f bf c， 若0 x ， 则有1 xx cb， 此时有 xx f bf c， 若0 x ， 则有1 xx bc， 而 f x在1,上为增函数，此时有 xx f bf c，故选：A 9. 【答案】 ABC 36Axx R， 若AB， 则3a ， 且 2 2 71 8a ， 故 A 正确.3a 时， AB，故 D 不正确.若AB，则 2 2 33270aa 且 22 66270aa，解得3a ， 故 B 正确.当B时， 22 4270aa，解得6a或6a，故 C 正确.故选
13、：ABC. 10.【答案】BCD 解：因为0 x ，0y ，且21xy， 所以 12313166 2525265 xxxyxyxy xy xyxyyxyxyxyx ，当且仅当 6xy yx ，即6yx取等号. 11.【答案】AD 二次函数 2 21f xxaxa图象的对称轴为直线1xa， 任意 12 ,1,2x x 且 12 xx， 都有 12 f xf x， 即 f x在区间1,2上是单调函数， 11a 或12a ，0a或3a，即实数a的取值范围为,03,.故选：AD 12.【答案】ABC 因为函数 2,0 lg,0 xx f x x x ，可得函数图像如图： 由图知函数 f x有 2 个零
14、点，故 A 选项正确； 函数 f x没有最值，故 C 选项正确；函数 f x在0,1上单调递减，在1,上单调递增，故 D 选项错 误； 由于方程 2 10fxmf x 有 4 个不同的实数根， 令 tf x则 2 10tmt 有 4 个不同的实数根， 因为 2 40m恒成立，设 2 10tmt 两个不等的实根为 1 t， 2 t， 由韦达定理知： 12 ttm， 1 2 1t t ，则 1 t， 2 t异号，由图可知： 1 0t ， 2 02t， 所以 2 2210m ，解得 3 2 m ，故 B 选项正确；故选：ABC 13.【答案】11。 12 12 232 23 23 011111111
15、7 3111 9 427232322 （2） ln2 11115 lg5lg2lg0.01lg 5 222lg10212 44222 e 14.【答案】 1 2 因为 4 log41 x fxkx，定义域xR，又 44 log41log41 xx fxkxxkx ， 由 f xfx，则kxxkx 对任意xR都成立，故1kk ，解得 1 2 k ，故答案为：. 1 2 15. 1 2 , 3 3 16.【答案】1,2作出函数 f x的图象，设 123 xxx，如下图所示： 二 次 函 数 2 22yxx的 图 象 关 于 直 线1x 对 称 ， 则 23 2xx， 由 图 可 得 121 log
16、211,2f xx ， 可得 22 0log21x， 解得 1 10 x ， 所以， 123 1,2xxx. 故答案为：1,2. 17.【答案】 （1）1m m ； （2） 3 2log 2n n . 解： （1）因为集合 A 为空集，所以440m，解得1m，即实数 m 的取值范围是1m m . （2） 当8m时， 2 28024Ax xxxx ， 因为 3 ,03 xn By yxnyy， 因为“xA”是“xB”的必要不充分条件，所以 B 是 A 的真子集， 所以34 n ，解得 3 2log 2n ，故实数n的取值范围是 3 2log 2n n . 18.【答案】 （1）2a； （2）答案
17、见解析. （1） f x的对称轴为 2 a x ，因为 f x在1,上单调递增，所以 1 2 a ，解得2a. （2）因为 11f xxax， 当11a ，即2a时，解集为11xxa ； 当11a ，即2a 时，解集为1x x ； 当11a ，即2a 时，解集为11xax . 19.【答案】 （1）1a ，证明见解析； （2）2,3t. （1）因为 yf x是定义域为 R 奇函数，由定义 fxf x ，所以 22 2121 xx xx aa 所以211 x aa ，1a .所以 21 21 x x f x 证明：任取 12 xx ， 12 112 12 12 12 2 22 2121 2121
18、21 21 xx xx xx xx f xf x . 12 xx ， 12 22 xx ， 12 0f xf x，即 12 f xf x. f x在定义域上为增函数. （2）由（1）得 yf x是定义域为 R 奇函数和增函数 113 111023023 222 t fffttt ttt 所以2,3t. 20.【答案】 （1）2； （2） 1 , 5 解： （1）因为函数 x ya，log0,1 a yx aa在1,2上的单调性相同， 所以函数 log0,1 x a f xax aa在1,2上是单调函数， 所以函数 f x在1,2上的最大值与最小值之和为 2 log 26log 2 aa aa，
19、 所以 2 60aa，解得2a 和3a （舍）所以实数a的值为 2. （2）由（1）得 2 2log x f xx，因为对于任意的2,x，不等式 10kf x 恒成立，所以对 于任意的2,x， 1 k f x 恒成立，当2,x时， 2 2log x f xx为单调递增函数， 所以 25f xf，所以 11 5f x ，即 1 5 k 所以实数k的取值范围 1 , 5 . 21.【答案】解： （1）因为 4 log41 x f xg x， 44 log41log41 xx fxgxx ， 又函数 f x为 R 上的偶函数， g x为 R 上的奇函数， 4 log41 x f xg xx， 由得
20、4 log41 2 x x f x ， 2 x g x . （2）由 242 11 log22 2log41log22 2 222 xxx x h xf xaaaa 2 22 11 log21log22 20 222 xx x aa. 得： 2 2 22 21 loglog22 21 22 2210 2 x xxx x aaaa ， 令2xt ，则0t ，即 2 12 210atat （1）方程只有一个大于 0 的根， 当1a 时， 2 0 4 t ，满足条件； 当方程（1）有一正一负两根时，满足条件，则 1 0 1a ，1a ； 当方程（1）有两个相等的且为正的实根时， 则 2 8410aa
21、，解得 1 2 a 或1a （舍） ， 当 1 2 a 时，20t ，满足条件.综上所述， 1 2 a 或1a . 22.【答案】解： （1） 2 2f xxmxm， 2 2 2222683f xxmxmxmxm . 2yf x是偶函数，60m，6m. 2 46f xxx， 6 40g xxx x . 令lnxt， 2 1 ,1x e ，2,0t ，不等式lnln0gxnx在 2 1 ,1 e 上恒成立， 等价于 0g tnt在2,0t 上恒成立. 22 6 4 6464 11 t t n ttttt . 令 2 64 1z tt ，1s t ，则 1 2 s ， 2 5 641 2 zss ， 5 2 n . （2）令 2 2 log4xp，则2p ， 方程 2 2 2 2 2 log490 log4 gxk x 可化为 2 90g pk p ，即 62 490 k p pp ， 也即 2 526 0 ppk p . 又方程 2 2 2 2 2 log490 log4 gxk x 有三个实数根， 2 526 0 ppk p 有一个根为 2，6k . 2 560pp，解得2p 或3p . 由 2 2 log42x ，得0 x ， 由 2 2 log43x ，得2x ， 该函数的零点为 0，-2，2.