1、湘潭市湘潭市 2022 届高三第一次模拟考试数学届高三第一次模拟考试数学试卷试卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1. 已知集合1,0,1,2,3A ， 22 x Bx，则AB I（ ） A. 0,1,2,3 B. 1,2,3 C. 2,3 D. 1,0,1 【答案】C 2. 已知i为虚数单位，复数1 12iz ， 2 2iz ，则复数 1 2 z z对应的复平面上的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C.
2、 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 3. 如图，在直四棱柱 1111 ABCDABC D中，下列结论正确的是（ ） A. AC与 1 BD是两条相交直线 B. 1/ AA平面 11 BB D C. 11 /BC BD D. A，C， 1 B， 1 D四点共面 【答案】B 4. 我国古代数学名著算法统宗是明代数学家程大位（1533-1606 年）所著程少年时，读书极为广博， 对书法和数学颇感兴趣20 岁起便在长江中下游一带经商，因商业计算的需要，他随时留心数学，遍访名 师，搜集很多数学书籍，刻苦钻研，时有心得，终于在他 60 岁时，完成了算法统宗这本著作该书中 有如下问题：“远望巍巍塔七层，
3、红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？根据诗词的意思， 可得塔的最底层共有灯（ ） A. 192盏 B. 128盏 C. 3 盏 D. 1 盏 【答案】A 5. 已知函数 sin2f xx，则（ ） A. f x的周期为 2 B. 将 f x的图象向左平移 4 个单位，得到的图象对应的函数解析式为cos2yx C. f x的图象关于点,0 4 对称 D. f x图象关于直线 2 x 对称 【答案】B 6. 已知抛物线C： 2 2ypx（ 0p ）的焦点为F，点T在C上，且 5 2 FT ，若点M的坐标为0,1， 且MFMT，则C的方程为（ ） A. 2 2yx或 2 8yx B. 2
4、 yx或 2 8yx C. 2 2yx或 2 4yx D. 2 yx或 2 4yx 【答案】A 7. 某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的 200 名学生进行了调查调查中 使用了下面两个问题： 问题一：你的父亲阳历生日日期是不是奇数？ 问题二：你是否经常吸烟？ 调查者设计了一个随机化装置：一个装有大小、形状和质量完全一样的 50个白球和 50个红球的袋子，每个 被调查者随机从袋子中摸取 1个球（摸出的球再放回袋子中） ，摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到 红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做， 如果一年按
5、 365天计算， 且最后盒子中有 60个小石子， 则可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为 （ ） A. 7% B. 8% C. 9% D. 30% 【答案】C 8. 已知定义域为R的函数 f x的导函数为 f x，且 fxf x，若实数0a，则下列不等式恒成 立的是（ ） A. 1 ln1 a afaef a B. 1 ln1 a afaef a C. 1 ln1 a efaaf a D. 1 ln1 a efaaf a 【答案】D 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符分，在每小题给出的选项中
6、，有多项符 合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0分分 9. 已知向量1,2a r ，2, 4b r ，且a r 与b r 的夹角为，则（ ） A. 1, 2ab rr B. 2ba rr C. /a b rr D. 3 cos 5 【答案】BD 10 已知随机变量X服从正态分布 2 0,2N ，则（ ） A. X的数学期望为0E X B. X的方差为2D X C. 1 0 2 P X D. 1 2 2 P X 【答案】AC 11. 若62 a ，63 b ，则（ ） A 1 b a B. 22 1 2 ab C
7、. 1 4 ab D. 1 10 ba 【答案】ACD 12. 已知双曲线 22 22 :1 xy C ab （0a，0b）的左，右焦点为 1 F， 2 F，右顶点为A，则下列结论中， 正确的有（ ） A. 若ab，则C的离心率为2 B. 若以 1 F为圆心，b为半径作圆 1 F，则圆 1 F与C的渐近线相切 C. 若P为C上不与顶点重合的一点，则12 PFF的内切圆圆心的横坐标xa D. 若M为直线 2 a x c （ 22 cab ）上纵坐标不为 0 的一点，则当M的纵坐标为 ()b a ca c 时， 2 MAFV外接圆的面积最小 【答案】ABD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4
8、 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 已知角的终边经过点1,2，则sincos_ 【答案】 5 5 14. 已知定义域为R的偶函数 f x在0,上单调递减，且 2是函数 f x的一个零点，则不等式 0f x 的解集为_ 【答案】22xx 15. 已知某正方体外接球的表面积为3，则该正方体的棱长为_ 【答案】1 16. 用实数m（0m或 1）表示命题 p的真假，其中 0m表示命题 p为假， 1m表示命题 p为真设 命题p：x Z， 12 23 xxa （aR） （1）当2a时，m_； （2）当1m时，实数a的取值范围为_ 【答案】 . 0 . 5 , 6 纟 -? 棼
9、 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 17. 已知 n S为数列 n a的前n项和，且 1nn aad ，(n N，d为常数)，若 3 12S ， 353 2a aa 5 5100a求： (1)数列 n a的通项公式； (2) n S的最值 【答案】(1)2 n an或28 n an ；(2)当2 n an时， n S的最小值为 3，无最大值；当28 n an 时， n S的最大值为 12，无最小值 18. 在锐角ABCV中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若 62s
10、in40Bcb （1）求sinC的值； （2）是否存在角A，B（AB） ，满足tan ta3nAB ?若存在，求出A，B的值；若不存在，请说明 理由 【答案】 （1） 62 4 ； （2）存在， 4 A ， 3 B 19. 某学校举行“英语风采”大赛， 有 30 名学生参加决赛， 评委对这 30 名同学分别从“口语表达”和“演讲内容” 两项进行评分，每项评分均采用 10 分制，两项均为 6分起评，两项分数之和为该参赛学生的最后得分，若 设“口语表达”得分为X，“演讲内容”得分为Y，比赛结束后，统计结果如下表： Y 得分人数 X 演讲人数 6 分 7 分 8 分 9 分 10 分 口语表达 6
11、分 1 1 0 0 0 7 分 3 2 1 2 0 8 分 1 2 3 1 0 9 分 1 m 2 1 1 10 分 0 0 1 n 1 （1）从这 30名学生中随机抽取 1人，求这名学生的最后得分为 15分的概率； （2）若“口语表达”得分X的数学期望为 49 6 求： m，n的值； 这 30名参赛学生最后得分的数学期望 【答案】 （1） 2 15 ； （2）4m，2n； 79 5 20. 如图，在三棱锥PABC中，PA 底面ABC，90ABC，2PA，2 2AC （1）求证：平面PBC 平面PAB； （2）若二面角PBCA的大小为45，过点A作ANPC于N，求直线AN与平面PBC所成角的大
12、 小 【答案】 （1）证明见解析； （2）60 21. 已知圆锥曲线E上的点M的坐标, x y满足 22 22 332 6xyxy （1）说明E什么图形，并写出其标准方程； （2）若斜率为 1的直线l与E交于y轴右侧不同的两点A，B，点P为2,1 求直线l在y轴上的截距的取值范围； 求证：APB的平分线总垂直于x轴 【答案】 （1）E是以3,0，3,0为焦点，长轴长为2 6的椭圆，标准方程为 22 1 63 xy ； （2） 3,3；证明见解析 22. 已知e为自然对数的底数，函数 x f xe， g xmxn（,m nR） （1）若0mn，且 f x的图象与 g x的图象相切，求m的值； （2）若 f xg x对任意的xR恒成立，求mn的最大值 【答案】 （1） 2 me； （2）e