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湖南省湘潭市2022届高三第一次模拟考试数学试卷(含答案)

1、湘潭市湘潭市 2022 届高三第一次模拟考试数学届高三第一次模拟考试数学试卷试卷 一、单项选择题:本题共一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1. 已知集合1,0,1,2,3A , 22 x Bx,则AB I( ) A. 0,1,2,3 B. 1,2,3 C. 2,3 D. 1,0,1 【答案】C 2. 已知i为虚数单位,复数1 12iz , 2 2iz ,则复数 1 2 z z对应的复平面上的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C.

2、 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 3. 如图,在直四棱柱 1111 ABCDABC D中,下列结论正确的是( ) A. AC与 1 BD是两条相交直线 B. 1/ AA平面 11 BB D C. 11 /BC BD D. A,C, 1 B, 1 D四点共面 【答案】B 4. 我国古代数学名著算法统宗是明代数学家程大位(1533-1606 年)所著程少年时,读书极为广博, 对书法和数学颇感兴趣20 岁起便在长江中下游一带经商,因商业计算的需要,他随时留心数学,遍访名 师,搜集很多数学书籍,刻苦钻研,时有心得,终于在他 60 岁时,完成了算法统宗这本著作该书中 有如下问题:“远望巍巍塔七层,

3、红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?根据诗词的意思, 可得塔的最底层共有灯( ) A. 192盏 B. 128盏 C. 3 盏 D. 1 盏 【答案】A 5. 已知函数 sin2f xx,则( ) A. f x的周期为 2 B. 将 f x的图象向左平移 4 个单位,得到的图象对应的函数解析式为cos2yx C. f x的图象关于点,0 4 对称 D. f x图象关于直线 2 x 对称 【答案】B 6. 已知抛物线C: 2 2ypx( 0p )的焦点为F,点T在C上,且 5 2 FT ,若点M的坐标为0,1, 且MFMT,则C的方程为( ) A. 2 2yx或 2 8yx B. 2

4、 yx或 2 8yx C. 2 2yx或 2 4yx D. 2 yx或 2 4yx 【答案】A 7. 某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况,对随机抽出的 200 名学生进行了调查调查中 使用了下面两个问题: 问题一:你的父亲阳历生日日期是不是奇数? 问题二:你是否经常吸烟? 调查者设计了一个随机化装置:一个装有大小、形状和质量完全一样的 50个白球和 50个红球的袋子,每个 被调查者随机从袋子中摸取 1个球(摸出的球再放回袋子中) ,摸到白球的学生如实回答第一个问题,摸到 红球的学生如实回答第二个问题,回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子,回答“否”的人什么都不要做, 如果一年按

5、 365天计算, 且最后盒子中有 60个小石子, 则可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为 ( ) A. 7% B. 8% C. 9% D. 30% 【答案】C 8. 已知定义域为R的函数 f x的导函数为 f x,且 fxf x,若实数0a,则下列不等式恒成 立的是( ) A. 1 ln1 a afaef a B. 1 ln1 a afaef a C. 1 ln1 a efaaf a D. 1 ln1 a efaaf a 【答案】D 二、多项选择题:本题共二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分,在每小题给出的选项中,有多项符分,在每小题给出的选项中

6、,有多项符 合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 5 分,部分选对的得分,部分选对的得 2 分,有选错的得分,有选错的得 0分分 9. 已知向量1,2a r ,2, 4b r ,且a r 与b r 的夹角为,则( ) A. 1, 2ab rr B. 2ba rr C. /a b rr D. 3 cos 5 【答案】BD 10 已知随机变量X服从正态分布 2 0,2N ,则( ) A. X的数学期望为0E X B. X的方差为2D X C. 1 0 2 P X D. 1 2 2 P X 【答案】AC 11. 若62 a ,63 b ,则( ) A 1 b a B. 22 1 2 ab C

7、. 1 4 ab D. 1 10 ba 【答案】ACD 12. 已知双曲线 22 22 :1 xy C ab (0a,0b)的左,右焦点为 1 F, 2 F,右顶点为A,则下列结论中, 正确的有( ) A. 若ab,则C的离心率为2 B. 若以 1 F为圆心,b为半径作圆 1 F,则圆 1 F与C的渐近线相切 C. 若P为C上不与顶点重合的一点,则12 PFF的内切圆圆心的横坐标xa D. 若M为直线 2 a x c ( 22 cab )上纵坐标不为 0 的一点,则当M的纵坐标为 ()b a ca c 时, 2 MAFV外接圆的面积最小 【答案】ABD 三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4

8、 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13. 已知角的终边经过点1,2,则sincos_ 【答案】 5 5 14. 已知定义域为R的偶函数 f x在0,上单调递减,且 2是函数 f x的一个零点,则不等式 0f x 的解集为_ 【答案】22xx 15. 已知某正方体外接球的表面积为3,则该正方体的棱长为_ 【答案】1 16. 用实数m(0m或 1)表示命题 p的真假,其中 0m表示命题 p为假, 1m表示命题 p为真设 命题p:x Z, 12 23 xxa (aR) (1)当2a时,m_; (2)当1m时,实数a的取值范围为_ 【答案】 . 0 . 5 , 6 纟 -? 棼

9、 四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 17. 已知 n S为数列 n a的前n项和,且 1nn aad ,(n N,d为常数),若 3 12S , 353 2a aa 5 5100a求: (1)数列 n a的通项公式; (2) n S的最值 【答案】(1)2 n an或28 n an ;(2)当2 n an时, n S的最小值为 3,无最大值;当28 n an 时, n S的最大值为 12,无最小值 18. 在锐角ABCV中,角A,B,C对边分别为a,b,c,若 62s

10、in40Bcb (1)求sinC的值; (2)是否存在角A,B(AB) ,满足tan ta3nAB ?若存在,求出A,B的值;若不存在,请说明 理由 【答案】 (1) 62 4 ; (2)存在, 4 A , 3 B 19. 某学校举行“英语风采”大赛, 有 30 名学生参加决赛, 评委对这 30 名同学分别从“口语表达”和“演讲内容” 两项进行评分,每项评分均采用 10 分制,两项均为 6分起评,两项分数之和为该参赛学生的最后得分,若 设“口语表达”得分为X,“演讲内容”得分为Y,比赛结束后,统计结果如下表: Y 得分人数 X 演讲人数 6 分 7 分 8 分 9 分 10 分 口语表达 6

11、分 1 1 0 0 0 7 分 3 2 1 2 0 8 分 1 2 3 1 0 9 分 1 m 2 1 1 10 分 0 0 1 n 1 (1)从这 30名学生中随机抽取 1人,求这名学生的最后得分为 15分的概率; (2)若“口语表达”得分X的数学期望为 49 6 求: m,n的值; 这 30名参赛学生最后得分的数学期望 【答案】 (1) 2 15 ; (2)4m,2n; 79 5 20. 如图,在三棱锥PABC中,PA 底面ABC,90ABC,2PA,2 2AC (1)求证:平面PBC 平面PAB; (2)若二面角PBCA的大小为45,过点A作ANPC于N,求直线AN与平面PBC所成角的大

12、 小 【答案】 (1)证明见解析; (2)60 21. 已知圆锥曲线E上的点M的坐标, x y满足 22 22 332 6xyxy (1)说明E什么图形,并写出其标准方程; (2)若斜率为 1的直线l与E交于y轴右侧不同的两点A,B,点P为2,1 求直线l在y轴上的截距的取值范围; 求证:APB的平分线总垂直于x轴 【答案】 (1)E是以3,0,3,0为焦点,长轴长为2 6的椭圆,标准方程为 22 1 63 xy ; (2) 3,3;证明见解析 22. 已知e为自然对数的底数,函数 x f xe, g xmxn(,m nR) (1)若0mn,且 f x的图象与 g x的图象相切,求m的值; (2)若 f xg x对任意的xR恒成立,求mn的最大值 【答案】 (1) 2 me; (2)e