1、第一章 集合与常用逻辑用语 考点要求考点要求 1集合的含义与表示 (1)了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系 (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题 2集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集 (2)在具体情境中，了解全集与空集的含义 3集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集 (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集 (3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的基本关系及基本运算 4充要条件 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义 5全称量词与存在量词 (1)理解
2、全称量词与存在量词的意义 (2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定 6不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景 7一元二次不等式 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型 (2)通过一元二次函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系 (3)会解一元二次不等式 8基本不等式：ab 2 ab(a0，b0) (1)了解基本不等式的证明过程 (2)能用基本不等式解决简单的求最大(小)值问题 11 集合的概念及运算集合的概念及运算 【教材梳理】 1集合的基本概念 (1)我们把研究对象统称为_，把一些元素组成的总体叫做_ (2)集合中元素的三个特性
3、：_，_，_ (3)集合常用的表示方法：_和_ 2常用数集的符号 数集 自然 数集 正整 数集 整数 集 有理 数集 实数 集 复数 集 符号 3元素与集合、集合与集合之间的关系 (1)元素与集合之间存在两种关系：如果 a 是集合 A 中的元素，就说 a_集合 A，记作_；如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a_集合 A，记作_ (2)集合与集合之间的关系 表示 关系 文字语言 符号语言 相等 集合 A 与集合 B 中 的所有元素都相同 _A B 子集 A 中任意一个元素 均为 B 中的元素 _或 _ 真子集 A 中任意一个元素 均为 B 中的元素， 且 B 中至少有一个元 素不是 A 中
4、的元素 _或 _ 空集 空集是任何集合的 子集， 是任何_ 的真子集 A， B (B) 4两个集合 A 与 B 之间的运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 若全集为 U， 则集合 A 的补集记为 _ 韦恩(Venn) 图表示(阴 影部分) 意义 5集合运算中重要关系式 (1)AB_A；AB_B； AA_； A_； AB_BA (2)AB_A; AB_B； AA_； A_； AB_BA (3)U(UA)_； UU_； U_； A(UA)_； A(UA)_ (4)ABA_ABB； ABAB_ 【常用结论】 6集合a1，a2，an的子集有 2n个，非空子集有 2n1 个，非空真子集
5、有 2n2 个 7记有限集合 A，B 的元素个数为 card(A)，card(B)，则： card(AB)card(A)card(B)card(AB)； card(U(AB)card(U)card(A)card(B)card(AB) 8五个关系式：AB，ABA，ABB，UBUA 以及 A(UB) 是两两等价的 【自查自纠】 1(1)元素 集合 (2)确定性 互异性 无序性 (3)列举法 描述法 2N N*(N) Z Q R C 3(1)属于 aA 不属于 aA (2)AB 且 BA AB BA A B B A 非空集合 4AB AB UA x|xA 或 xB x|xA 且 xB x|xU 且
6、xA 5(1) A (2) A A (3)A U U (4)AB AB 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“” (1)任何一个集合都至少有两个子集 ( ) (2)x|yx21y|yx21(x，y)|yx21 ( ) (3)若x2，10，1，则 x0，1 ( ) (4)对于任意两个集合 A，B，(AB)(AB)恒成立 ( ) (5)若 ABAC，则 BC( ) 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5) (2020全国卷)已知集合 Ax|x23x40，B4，1，3，5， 则 AB( ) A4，1 B1，5 C3，5 D1，3 解：由 x23x40 解得1x4，所以 Ax
7、|1x4，又因为 B4，1， 3，5，所以 AB1，3故选 D (2021届湖南省高三二模)已知集合 AxN|ln2x1，则 A( ) A x|1 exe B1 C2 D1，2 解：由 ln2x1，可得1lnx1，解得1 exe， 又因为 xN，所以 A1，2故选 D (2021 年新高考八省模拟演练)已知 M，N 均为 R 的子集，且RMN， 则 M(RN)( ) A BM CN DR 解法一：因为RMN，所以 MRN，所以 M(RN)M 解法二：如图所示，设矩形 ABCD 表示全集 R，矩形区域 ABHE 表示集合 M，则矩形区 域 CDEH 表示集合RM，矩形区域 CDFG 表示集合 N
8、，满足RMN，结合图形可得，M( RN)M故选 B (2020届江苏泰州中学等三校11月联考)集合 Ax|1x0， B x|xa，若 ABB，则实数 a 的取值范围是_ 解：由 ABB，知 AB， 观察得 a0故填0，) 考点一考点一 集合的含义与表示集合的含义与表示 (1)(2020全国卷)已知集合 A(x，y)|x，yN*，yx，B(x，y)|xy 8，则 AB 中元素的个数为 ( ) A2 B3 C4 D6 解：由题意，AB 中的元素满足 yx， xy8，且 x，yN *，由 xy82x，得 x4，所 以满足 xy8 的元素有(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)，故 AB 中元
9、素的个数为 4故选 C (2)【多选题】若集合 AxR|ax23x20中只有一个元素，则实数 a 可能等于( ) A9 2 B 9 8 C0 D1 解：若集合 A 中只有一个元素，则方程 ax23x20 只有一个实根或有 两个相等实根 当 a0 时，x2 3，符合题意； 当 a0 时，由 (3)28a0，得 a9 8，所以 a 的取值为 0 或 9 8故选 BC 【点拨】 用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的 限制条件， 明确集合类型， 是数集、 点集还是其他类型的集合， 要知道x|yf(x)， y|yf(x)，(x，y)|yf(x)三者是不同的弄清代表元素的含义后，再依
10、据元素 特征构造关系式解决问题题(2)集合 A 中只有一个元素，要分 a0 与 a0 两种 情况进行讨论 (1)(2020 西安市长安区第五中学月考)已知集合 A x|xN，且 3 2xZ ， 则集 合 A 中的元素个数为 ( ) A2 B3 C4 D5 解：因为 A x|xN，且 3 2xZ ，所以|2x|3，且 x2，所以1x2 或 2x5，又 xN，所以 x0，1，3，4，5，当 x1，3，5 时， 3 2xZ 成立，故集 合 A 中的元素有 3 个故选 B (2)(20192020学年福建南安一中高一上段考)已知集合 A0，m，m23m 2，且 2A，则实数 m 的值为( ) A3 B
11、2 C0 或 3 D0 或 2 或 3 解：由题意，知 2A，可得当 m2 时，m23m20，不满足集合元素的互 异性，舍去；当 m23m22，解得 m3 或 m0 当 m0 时，不满足元素的互异性，舍去； 当 m3 时，此时集合 A0，2，3，符合题意 故选 A 考点二考点二 集合间的基本关系集合间的基本关系 (2020湖北黄石期中)设集合 Ax| 1 322 x4，Bx|x23mx2m2 m10 (1)当 xZ 时，求 A 的非空真子集的个数； (2)若 B，求 m 的取值范围； (3)若 AB，求 m 的取值范围 解：集合 Ax|2x5，集合 Bx|(xm1)(x2m1)0 (1)因为
12、xZ，所以 A2，1，0，1，2，3，4，5，即 A 中含有 8 个元素，故 A 的非空 真子集的个数为 282254 (2)若 B，则 (3m)24(2m2m1)0，得(m2)20，得 m2 (3)当 m2 时，BA； 当 m2 时，2m1(m1)2m2 时，B(m1，2m1)，因此，若 BA，则 m12， 2m15， 1m2 综上所述，m 的取值范围是21，2 【点拨】 判断集合关系主要有两种方法：一是化简集合，从表达式中 寻找集合的关系；二是列举或数形结合，从元素或图形中寻找两集合的关 系已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素 之间的关系，须关注子集是否为空集一般地
13、，当集合为有限集时，往往通 过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互异性，当集合为连续 型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类与 整合、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到 (1)【多选题】(20202021 学年湖北天门市高一10月考)已知集合 M x|xk 4 4，kZ ，集合 N x|xk 8 4，kZ ，则( ) AMN BMN CNM DMNN 解：对集合 M，有 xk 4 4 （k1） 4 ，kZ，对集合 N，有 xk 8 4 （k2） 8 ， kZ，由（k1） 4 2（k1） 8 知集合 M 中的任意一个元素都在集合 N 中，而当 N 中
14、元 素取3 8 时，集合 M 中不存在该元素，故 MN且 MN，MNN故选 ABD (2)已知集合 Ax|2x7，Bx|m1x2m1，若 BA，则实数 m 的取值范围是( ) A(，2 B(2，4 C2，4 D(，4 解：当 B时，有 m12m1，则 m2； 当 B时，若 BA，如图所示，则 m12， 2m17， m12m1， 解得 2m4综上，有 m4故选 D 考点三考点三 集合的基本运算集合的基本运算 命题角度 1 交、并、补运算 (2019届烟台市高三5月适应性练习（二）)设集合 Ax|y x3，By|y2x，x3， 则集合(RA)B ( ) Ax|x3 Bx|x3 Cx|0 x3 Dx
15、|0 x3 解：因为 Ax|y x3x|x3，所以RAx|x3，又 By|y2x， x3y|0y8， 所以(RA)Bx|0 x3故选 C 【点拨】 集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简 的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩(Venn)图等进 行运算；注意延伸知识的考查，本题考查了集合的交集运算、补集运算， 但正确求出函数 y x3的定义域，函数 y2x(x3)的值域才是解题的关 键 (2020湖南师大附中月考)已知 Uy|y2x，x1，A x 1 x11 ， Bx|x223x，则 B(UA) ( ) A 1 2，2 B2，) C 1 2，1 (2，) D 1
16、2， 解：根据题意，Uy|y2x，x1 1 2， ，A x 1 x11 (1，2，B 1，2，则UA 1 2，1 (2，)，B(UA) 1 2， 故选 D 命题角度 2 由集合的运算求参数 (2020全国卷)设集合 Ax|x240，Bx|2xa0，且 AB x|2x1，则 a ( ) A4 B2 C2 D4 解：由 x240，可得 Ax|2x2 ，由 2xa0，可得 B x|xa 2 因 为 ABx|2x1 ，故a 21，解得 a2故选 B 【点拨】集合运算中的求参数问题，首先要会化简集合，因为在高 考中此类问题常与不等式等知识综合考查，以体现综合性，其次注意数 形结合(包括用 Venn 图)
17、及端点值的取舍 集合 PxR|x1|1，QxR|xa|1，且 PQ，则实数 a 的取值范围为( ) Aa|a3 Ba|a1 Ca|a1 或 a3 Da|1a3 解：Px|0 x2，Qx|a1xa1，要使 PQ，则 a10 或 a12，解得 a1 或 a3故选 C 考点四考点四 韦恩韦恩(Venn)图及其应用图及其应用 (2019兰州高三月考)设全集 UR， Ax|x2x20， Bx|yln(1 x)，则图中阴影部分所表示的集合为( ) Ax|x1 Bx|1x2 Cx|0 x1 Dx|x1 解：由韦恩图知阴影部分表示的是 A(UB) 因为 Ax|x2x20 x|1x2， Bx|yln(1x)x|
18、x1， 所以UBx|x1，所以 A(UB)x|1x2 所以阴影部分对应的集合是x|1x2故选 B 【点拨】 韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集 合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算；对 复杂的集合关系问题，或相关的数学应用问题，可通过构造韦恩(Venn)图 进行求解 (原创改编)“四书五经”是中国传统文化瑰宝，是儒家思想的核心载体，其中“四 书”指大学 中庸 论语 孟子某大学为了解本校学生阅读“四书”的情况，随机调 查 200 位学生，其中阅读过大学的有 60 位，阅读过论语的有 160 位，阅读过大学 或论语的有 180 位，阅读过大学且阅读
19、过论语及中庸的有 20 位则该校阅读 过大学及论语但未阅读过中庸的学生人数与该校学生总数比值的估计值是 ( ) A01 B02 C03 D04 解：如图， 阅读过大学且阅读过论语的人数是 1606018040，4020 20，故由样本估计总体，可得所求为 20 20001故选 A 思想方法微专题 分类与整合思想在集合中的应用 已知集合 Ax|1ax2，Bx|2x1，若 AB，则实数 a 的取值范 围为_ 解： 当 a0 时， A， 满足 AB 当 a0 时， A x|1 ax 2 a 因为 AB，所以2 a1 即 a2当 a0 时，A x|2 ax 1 a 因为 AB，所以2 a2 即 a1
20、综上，实数 a 的取值范围是(，102，) 故填(，102，) 【点拨】 本例是由目标的多种可能性引发的分类与整合分类与整合思想是 将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实 现原问题的解决对问题实行分类与整合，其分类标准等于增加了一个已知条件， 实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解成小问题(或基础性问题)，优化了解 题思路，降低了问题难度简而言之，分类与整合思想就是化整为零，各个击破， 再积零为整的数学思想分类与整合的原则：(i)不重复，不遗漏；(ii)标准统一， 分类的对象确定，层次分明；(iii)能不分类的要尽量避免分类或尽量推迟分类，具体 方法大体有“引入参数法”“分离参数反客为主法”“整体化归法”等分类问 题的求解步骤：(i)确定分类与整合的对象；(ii)合理分类；(iii)逐类讨论；(iv)归纳总 结 已知集合 Ax|ax22xa0，aR，若集合 A 有且仅有 两个子集，则 a 的值是_ 解：因为 A 有且仅有两个子集，所以 A 仅有一个元素，当 a0 时，方 程化为 2x0，A0，符合题意； 当 a0 时，方程 ax22xa0 有两相等实根，44a20，解得 a 1，此时 A1或1，符合题意 综上所述，a0 或 a 1故填 0 或 1