1、26 对数与对数函数对数与对数函数 【教材梳理】 1对数 (1)对数：如果 axN(a0，且 a1)，那么 x 叫做以 a 为底 N 的_，记作 x _其中 a 叫做对数的_，N 叫做_ (2)两类重要的对数 常用对数：以_为底的对数叫做常用对数，并把 log10N 记作_ 自然对数：以_为底的对数称为自然对数，并把 logeN 记作_ 注：(i)无理数 e2718 28； (ii)负数和零没有对数； (iii)loga1 ，logaa (3)对数与指数之间的关系 当 a0，a1 时，axN xlogaN (4)对数运算的性质 如果 a0，且 a1，M0，N0，那么： loga(MN)_； l
2、ogaM N _； logaMn_； 一般地，logamMn_ (5)换底公式 logab(a0 且 a1；c0 且 c1；b0)特别地，logab(b1) 2对数函数的图象及性质 定义 一般地，函数 ylogax(a0，且 a1)叫做 对数函数 a1 0a1 图 象 定义域 _ 值域 _ 过定点_ 性 质 在(0，)上是 在(0，)上是 3对数函数与指数函数的关系 对数函数 ylogax(a0， 且 a1)与指数函数 yax(a0 且 a1)互为反函数； 它们的 图象关于直线_对称 【常用结论】 4对数运算常用结论 (1)对数恒等式：alogaNN； (2)换底公式推论：logablogbc
3、logcdlogad 5对数函数图象相关常用结论 (1)作对数函数 ylogax(a0，且 a1)的图象应抓住三个点 1 a，1 ，(1，0)，(a，1) (2)如图， 直线 y1与四个函数图象交点的横坐标即为相应的底数， 结合图象知 0cd1a0，则 loga(MN)logaMlogaN ( ) (2)函数 ylog2x 及 ylog1 3 3x 都是对数函数 ( ) (3)对数函数 ylogax(a0，且 a1)在(0，)上是增函数 ( ) (4)函数 yln1x 1x与 yln(1x)ln(1x)的定义域相同 ( ) (5)对数函数 ylogax(a0，且 a1)的图象过定点(1，0)且
4、过点(a，1)， 1 a，1 ，函 数图象只在 y 轴右侧( ) 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5) 设 2a5bm，且1 a 1 b2，则 m ( ) A 10 B10 C20 D100 解：由已知，得 alog2m，blog5m，则1 a 1 b 1 log2m 1 log5mlogm2logm5 logm102，解得 m 10故选 A (2019天津卷)已知 alog52，blog0502，c050 2，则 a，b，c 的大 小关系为( ) Aacb Babc Cbca Dcab 解： 因为 alog52log0 50 252， 051c050 20 50 1，即1 2c
5、1，所以 ac0，函数有意义，可排除 A； 当 x2 时，x1 x 3 21 时，函数 yx1 x单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数 f(x)ln x1 x 单调递增，可排除 C故选 B 函数 f(x)log2xlog 2 (2x)的最小值为_ 解：f(x)1 2log2x2(log2x1)(log2x) 2log 2x log2x1 2 2 1 4(x0)，所以当 log2x 1 2，即 x 2 2 时，f(x)取得最小值1 4故填 1 4 考点一考点一 对数的运算对数的运算 (1)求值：lg8lg125lg2lg5 lg 10lg01 _ 解：lg8lg125lg2lg5 lg 10
6、lg01 lg1 000lg10 1 2lg10（lg10） 4 故填4 (2)已知 lgxlgy2lg(2x3y)，则 log3 2 x y_ 解： 因为 lgxlgy2lg(2x3y)， 所以 x0， y0， 2x3y0， xy（2x3y）2， 所以x y 9 4或 x y1(舍 去)，log3 2 x ylog3 2 9 42故填 2 (3)若 loga2m，loga3n，则 a2m n_，用 m，n 表示 log 46 为_ 解：因为 loga2m，loga3n，所以 am2，an3，a2m n(am)2an 22312，log46loga6 loga4 loga2loga3 2log
7、a2 mn 2m 故填 12；mn 2m (4)(2019北京卷)在天文学中， 天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两 颗星的星等与亮度满足 m2m15 2lg E1 E2，其中星等为 mk 的星的亮度为 Ek(k1， 2)已知太阳的星等是267，天狼星的星等是145，则太阳与天狼星的 亮度的比值为( ) A1010 1 B101 Clg101 D10 101 解：145(267)2525，25252 5101， 所以E1 E210 101故选 A 【点拨】 对数式的化简、 求值问题， 要注意对数运算性质的逆向运用， 但无论是正向还是逆向运用都要注意对数的底数须相同 (1)【多选题】下列运算正
8、确的是 ( ) A2log1 5 10log1 5 0252 Blog427log258log958 9 Clg2lg5010 Dlog(2 3)(2 3)(log2 2)25 4 解：对于 A, 2log1 5 10log1 5 025log1 5 (102025)log1 5 522，A 正确； 对于 B，log427log258log95lg3 3 lg22 lg23 lg52 lg5 lg32 33 222 9 8，B 错误； 对于 C，lg2lg50lg1002，C 错误； 对于 D，log(2 3)(2 3)(log2 2)21 1 2 2 5 4，D 正确故选 AD (2)若 2
9、a3b36，则ab ab _ 解：因为 2a3b36，所以 alog236，blog336，因此1 alog362， 1 b log363，所以ab ab 1 b 1 alog363log362log366 1 2故填 1 2 (3)(2020四川绵阳高三三模)若 x，y，zR ，且 3x4y12z，xy z (n，n1)，n N，则 n 的值是 ( ) A2 B3 C4 D5 解：设 3x4y12zt(t1)，则 xlog3t，ylog4t，zlog12t，所以xy z log3tlog4t log12t log3t log12t log4t log12tlog312log4122log34
10、log43 因为 1log342，0log431，所以 1log34log432 log34log432， 所以 42log34log430，且 a1)的值域为y|y1，则函数 yloga|x|的图象大致是 ( ) A B C D 解：由于 ya|x|的值域为y|y1，所以 a1，则 ylogax 在(0，)上是 增函数，又函数 yloga|x|的图象关于 y 轴对称因此 yloga|x|的图象大致为选 项 B故选 B (2)已知函数 f(x)|lgx|，若 0ab，且 f(a)f(b)，则 2ab 的取值范围 是_ 解：画出 y|lgx|的图象如图 因为 0ab，且 f(a)f(b)，所以|
11、lga|lgb|且 0a1，所以lgalgb，所 以 ab1，所以 2ab2 2ab2 2，当且仅当 2ab， ab1，即 a 2 2 ，b 2时等号 成立故填2 2，) (3)当 0 x1 2时，4 x1 时 4x0，logax0(0 x1 2)，不满足条件，当 0a1 时，画出两个函数在 0，1 2 上的图象， 可知 f 1 2 g 1 2 ，即 2 2 2 ，所以 a 的取值范围为 2 2 ，1故选 B 【点拨】 在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数 图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合 要求的选项一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数 图象问题
12、，数形结合求解 (1)(2019浙江卷)在同一直角坐标系中，函数 y 1 ax，yloga(x 1 2)(a0， 且 a1)的图象可能是( ) A B C D 解：y 1 ax( 1 a) x，选项 A，B，D 所示为该函数在1 a1，即 0a1 的图 象， 此时 yloga(x1 2)单调递减， 且是将 ylogax 的图象向左平移 1 2个单位得 到的，仅选项 D 符合选项 C 所示为 01 a1，即 a1 的情形，但 yloga(x 1 2)的图象应是将 ylogax 的图象向左平移得到，所以错误故选 D (2)已知函数f(x) log2x，x0， 3x，x0， 且关于x的方程f(x)x
13、a0有且只有一 个实根，则实数 a 的取值范围是_ 解：如图，在同一坐标系中分别作出 yf(x)与 yxa 的图象，其中 a 表示直线在 y 轴上截距 由图可知，当 a1 时，直线 yxa 与 ylog2x 只有一个交点故填(1，) (3)已知 0m12m2，a0，且 a1，若 logam1m11，logam2m21，则实数 a 的取值范围是 ( ) A(2，3) B(0，1) C(1，2) D(3，4) 解：依题意，知方程式 logaxx1 有两个不等实根 m1，m2，在同一直角坐标系下， 作出函数 ylogax 与 yx1 的图象，显然 a1， 由图可知 m11，要使 m22，需满足 lo
14、ga221，即 a2综上知：实数 a 的取 值范围是 1a2故选 C 考点三考点三 对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用 命题角度 1 比较大小 (1)(2020全国卷)设 alog32，blog53，c2 3，则( ) Aacb Babc Cbca Dcab 解：因为 a1 3log32 31 3log525 2 3c，所以 acb 故 选 A (2)(2018全国卷)设 alog0203，blog203，则 ( ) Aabab0 Babab0 Cab0ab Dab0ab 解：因为 alog0203，blog203，所以1 alog030 2， 1 blog032， 1 a 1 blog
15、030 4，所以 01 a 1 b1，即 0 ab ab 0，b0，所以 ab0， 即 abab0故选 B 【点拨】 比较两个对数的大小的基本方法：若底数为同一常数，则由 对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对这一字母进行 分类讨论若底数不同真数相同，则可先换底再进行比较若底数与真 数都不同，则常借助 1，0 等中间量进行比较 (1)已知 alog25，blog5(log25)，c 1 2 052 ，则 a，b，c 的大小 关系为( ) Aabc Bbca Ccba Dbac 解：alog252，blog5(log25)(0，1)，c 1 2 052 (1，2)，可得 bcA故
16、 选 B (2)【多选题】已知 alog3，blog3，clog1 3，则 ( ) Aacbcbc Bacbcbc Cababbc Dbcabab 解： 因为 0log31log3， 所以 0b1a， 又 clog1 30， 所以 acbc1，所以 D 正确，C 错误故选 AD 命题角度 2 解与对数有关的不等式 若 loga(a21)loga2a0 且 a1，故必有 a212a，又 loga(a21)loga2a0，所以 0a1，所以 a1 2综上，a 1 2，1 故选 C 【点拨】 在解决与对数函数相关的不等式问题时， 要优先考虑利 用对数函数的单调性在利用单调性时，一定要明确底数 a 的
17、取值对 函数增减性的影响，同时注意真数必须为正 设函数 f(x) log2x，x0， log1 2 （x），x0若 f(a)f(a)， 则实数 a 的取值范 围是 ( ) A(1，0)(0，1) B(，1)(1，) C(1，0)(1，) D(，1)(0，1) 解：由题意可得 a0， log2alog2a或 alog2（a）， 解得 a1 或1a0故选 C 命题角度 3 综合应用 (1)已知函数 f(x)log1 2 (x22ax3) ()若 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范围； ()若函数 f(x)的值域为 R，求实数 a 的取值范围； ()若函数 f(x)在1，)内有意义，求实数
18、 a 的取值范围； ()若函数 f(x)的值域为(，1，求实数 a 的值 解：()由 f(x)的定义域为 R， 知 x22ax30 的解集为 R， 则 4a2120，解得 3a 3 所以 a 的取值范围为( 3， 3) ()函数 f(x)的值域为 R 等价于 ux22ax3 取(0，)上的一切值，所以只要 umin3 a20a 3或 a 3所以实数 a 的取值范围是(， 3 3，) ()由 f(x)在1，)内有意义， 知 u(x)x22ax30 对 x1，)恒成立， 因为 yu(x)图象的对称轴为 xa， 所以当 a1 时，u(x)minu(1)0， 即 a1， 2a40，解得2a1； 当 a
19、1 时，u(x)minu(a)3a20，即 3a 3，所以1a 3 综上可知，a 的取值范围为(2， 3) ()因为 yf(x)1，所以 u(x)x22ax3 的值域为2，)， 又 u(x)(xa)23a23a2，则有 u(x)min3a22，解得 a 1 (2)(2018全国卷)已知函数 f(x)ln( 1x2x)1，f(a)4，则 f(a)_ 解：由题意得 f(x)f(x)ln( 1x2x)1ln( 1x2x)1ln(1x2x2) 22，所以 f(a)f(a)2，f(a)2故填2 【点拨】 利用对数函数的性质， 求与对数函数有关的函数值域和 复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是
20、定义域，所有 问题都必须在定义域内讨论；二是底数与 1 的大小关系；三是复合函 数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的另外，解题时要 注意数形结合、分类讨论、化归与转化思想的使用 (1)(2020全国新高考卷)已知函数 f(x)lg(x24x5)在(a，)上单调递 增，则 a 的取值范围是( ) A(2，) B2，) C(5，) D5，) 解：由 x24x50 得 x5 或 x1， 所以 f(x)的定义域为(，1)(5，) 因为 yx24x5 在(5，)上单调递增， 所以 f(x)lg(x24x5)在(5，)上单调递增，所以 a5故选 D (2)【多选题】(课本习题改编)关于函数 f(x
21、)ln1x 1x，下列说法中正确的有( ) Af(x)的定义域为(1，1)，值域为 R Bf(x)为奇函数 Cf(x)在定义域上是增函数 D对任意 x1，x2(1，1)，都有 f(x1)f(x2)f x1x2 1x1x2 解：函数 f(x)ln 1x 1xln 2 1x1 ， 其定义域满足(1x)(1x)0，解得1x1， 所以定义域为x|1x0 且 a1)的值域是2， )， 则实数 a 的取 值范围是_ 解：当 x2 时，f(x) 1 2 23 2，即函数的值域为2，)；当 x2 且 a1 时，f(x)loga2，即函数的值域为(loga2，)，由(loga2，)2，)，得 loga22，解得 12 且 0a1 时，f(x)loga2，与题设不符所以 实数 a 的取值范围是(1， 2故填(1， 2 (4)(2020甘肃高三模拟)已知函数 f(x)ln( 19x23x)1，则 f(lg2) f lg1 2 ( ) A1 B0 C1 D2 解：设 lg2a，则 lg1 2lg2a，f(a)f(a)ln( 19a 23a)1 ln(19（a）23a)1ln(19a29a2)2ln122，所以 f(lg2) f lg1 2 2故选 D