1、第四章 三角函数与解三角形 考点要求考点要求 1任意角的概念、弧度制 (1)了解任意角的概念 (2)了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 2三角函数 (1)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 (2)能推导出 2， 的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出 ysinx，ycosx，ytanx 的图象， 了解三角函数的周期性 (3)理解正弦函数、余弦函数在区间0，2上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴的交点等)， 理解正切函数在区间( 2， 2)内的单调性 (4)理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1， sinx cosxtanx (5)了解函数 yAsin(x
2、)的物理意义；能画出 yAsin(x)的图象，了解参数 A， 对函数图 象变化的影响 (6)会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学 模型 3两角和与差的三角函数公式 (1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 (2)能从两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式 (3)能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、 余弦、正切公式，了解它们的内在联系 4简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三 组公式不要求记忆) 5正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理
3、，并能解决一些简单的三角形度量问题 6正弦定理和余弦定理的应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 41 集合的概念及运算集合的概念及运算 【教材梳理】 1任意角 (1)角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置_到另一个位置所成的图形我们规定：按 _方向旋转形成的角叫做正角，按_方向旋转形成的角叫做负角如果一条射 线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_ (2)象限角 使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的_重合角的终边在第几象限，就说这个 角是第几象限角 是第一象限角可表示为 |2k0)，则 sin _，cos_，tan_ (x0) (
4、2)正弦、余弦、正切函数的定义域 三角函数 定义域 sin cos tan (3)三角函数值在各象限的符号 sin cos tan 4特殊角的三角函数值 【常用结论】 5sin15 6 2 4 ，sin75 6 2 4 ，tan152 3，tan752 3 60 2时，sintan，特别地，cos1sin11tan1 【自查自纠】 1(1)旋转 逆时针 顺时针 零角 (2)非负半轴 |2k 22k，kZ |2k2k3 2，kZ |2k3 22k2，kZ 或|2k 22k，kZ (3)坐标轴 |2k，kZ |2k 2，kZ |2k3 2，kZ |k，kZ |k 2，kZ |k 2 ，kZ (4)
5、|2k，kZ Z或|k360，kZ Z 2(1)半径长 l r (2)2 180 180 (3)| | r 1 2| | r 2 1 2lr 3(1)y r x r y x (2)R R |k 2，kZ 4 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“” (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角 ( ) (2)角 的三角函数值与其终边上点 P 的位置无关 ( ) (3)不相等的角终边一定不相同 ( ) (4)若 为第二象限角，则 sintan0 Bcos20 Dsin20 解法一：由 为第四象限角，可得3 2 2k22k，kZ，所以 34k24 4k，kZ， 此时 2 的终边
6、落在第三、四象限及 y 轴的非正半轴上，所以 sin20 解法二：由 在第四象限可得，sin0，则 sin22sincos0故选 D 已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的圆心角的弧 度数是_ 解：设扇形的圆心角为 ，半径为 r，由扇形周长公式和扇形面积公式得 2r r6， r24， 消去 r 得 364(2)2， 即 2540 解得 1， 4故 填 1 或 4 考点一考点一 象限角与终边相同的角象限角与终边相同的角 (1)【多选题】(20192020 学年重庆市高一上 11 月考)设 是第三象限角，则 2所在象 限可能是 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象
7、限 解：因为 是第三象限角， 所以 k 360180k360270，kZ， 则 k 18090 2k180135，kZ， 令 k2n，nZ，有 n 36090 2n360135，nZ，在第二象限； 令 k2n1，nZ，有 n 360270 20)，求扇形的最大面积及此时 的值； (2)若扇形的面积是定值 S(S0)，求扇形的最小周长及此时 的值 解：(1)由题意，设扇形的弧长为 l, 若扇形的周长是定值 C(C0)，则 2rlC，即 lC2r， 又扇形的面积为 S1 2lr 1 2(C2r)rr 21 2Cr rC 4 2 C 2 16， 当 rC 4时，扇形的面积取得最大值 C2 16， 此
8、时 lC2rC 2，又由 lr，可得 C 2 C 4，解得 2 (2)由题意，设扇形的弧长为 l， 若扇形的面积是定值 S(S0)，则 S1 2lr，即 l 2S r ， 又由 lr，可得扇形的周长为 C2rl2r2S r 22r2S r 4 S，当且仅当 2r2S r ，即 r S时， 等号成立， 此时 l 2S S2 S，则 l r 2 S S 2 考点三考点三 三角函数的定义及应用三角函数的定义及应用 (1)(2021应城市第一高级中学高三月考)已知角的终边上一点的坐标为 sin4 3 ，cos4 3 ， 则角 的最小正值为( ) A7 6 B11 6 C5 6 D4 3 解：由题意 s
9、incos4 3 1 2，又 sin 4 3 0，sin 0，cos 0，tan 0，cos0，tan0， cos0， tan0 或 cos0， tan0 故选 BC (2)(2020届安徽高三10月名校联盟)函数 yloga(x4)2(a0，且 a1)的图象恒过定点 A，且点 A 在角 的终边上，则 sin cos _ 解：由题意知，A(3，2)，则 cos 3 13，sin 2 13，所以 sin cos 13 13 故填 13 13 学科素养微专题 三角函数中的数学文化 (1)(2020北京卷)2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日( Day)历史上，求 圆周率 的方法有多
10、种，与中国传统数学中的“割圆术”相似数学家阿尔卡西的方法 是：当正整数 n 充分大时，计算单位圆的内接正 6n 边形的周长和外切正 6n 边形(各边均与 圆相切的正 6n 边形)的周长，将它们的算术平均数作为 2 的近似值按照阿尔 卡西的方 法， 的近似值的表达式是 ( ) A3n(sin30 n tan30 n ) B6n(sin30 n tan30 n ) C3n(sin60 n tan60 n ) D6n(sin60 n tan60 n ) 解：单位圆内接正 6n 边形的每条边所对应的圆心角为360 n6 60 n ，每条边长为 2sin30 n ， 所以，单位圆内接正 6n 边形的周长
11、为 12nsin30 n ， 单位圆的外切正 6n 边形的每条边长为 2tan30 n ，其周长为 12ntan30 n ， 所以 2 12nsin30 n 12ntan30 n 2 6n(sin 30 n tan 30 n )，则 3n(sin 30 n tan30 n )故选 A (2)(2021 届华东师大二附中高三月考)掷铁饼者取材于希腊的现实生活中的体育竞技活 动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间现在把掷铁饼者张开的双 臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为 4 m，肩宽约为 8 m， “弓”所在圆的 半径约为 125 m，试估测掷铁饼者双手之间的距
12、离约为( 21414， 31732) ( ) A1012 m B1768 m C2043 m D2945 m 解：由题意， “弓”所在弧长 l 4 4 8 5 8 ，其所对圆心角 5 8 5 4 2，双手之 间的距离 d 21251768故选 B 【点拨】 数学文化广义上是指数学史、数学美、数学与生活的交叉应用、数学与各种文化的 关系以及这些因素的交互作用所构成的庞大体系，狭义上是指数学思想、数学精神、数学方法以 及数学观点、语言等的形成和拓展在长期的发展过程中，数学文化形成了注重思维、强调实用、 讲究算法、关注数学审美价值等重要特点第一小题以数学中美妙而又神秘的圆周率为基础，以 国际圆周率日
13、为背景，通过给出中外为求得圆周率而采用的经典“割圆术”思想，让考生求出其 近似表达式，从而考查考生用三角函数等相关知识分析、解决问题的能力在考生读题、解题的 过程中，能充分体会数学思想之妙，感悟数学文化之美此题不流于表面的“引经据典”，紧扣 数学精神内涵，无疑为数学文化类试题的命制作出了有利的探索 (1)(2021 梅州高三第一次质检)刘徽(约公元 225295 年)割圆术的核心思 想是将一个圆的内接正 n 边形等分成 n 个等腰三角形(如图所示)，当 n 变得很大时， 这 n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积运用割圆术的思想得到 sin3的 近似值为( ) A 90 B 180 C 2
14、70 D 60 解：将一个单位圆分成 120 个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为 3， 因为这 120 个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似等于单位圆的面积， 所以 1201 211sin360sin3， 所以 sin3 60故选 D (2)(2021届安徽高三月考)达芬奇的经典之作蒙娜丽莎举世闻名，画中女子神秘 的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似地看作一个圆弧，设嘴 角 A，B 间的圆弧长为 l，嘴角间的距离为 d，圆弧所对的圆心角为 ( 为弧度角)，则 l， d 和 所满足的恒等关系为( ) A sin 2 d l B 2sin 2 d l C cos 2 d l D 2cos 2 d l 解：如图所示， 设该圆弧所对应的圆的半径为 r，则 2rsin 2 d， rl， 两式相除得 2sin 2 d l 故选 B