1、43 三角恒等变换三角恒等变换 【教材梳理】 1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)S( )：sin( )_ (2)C( )：cos( ) (3)T( )：tan( ) 2二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2_ (2)cos2_ (3)tan2_ 3几个常用的变形公式 (1)升幂缩角：1 sin_； 1cos_；1cos_ (2)降幂扩角：sin2_；cos2_ (3)tantan _ (4)辅助角公式：asinbcos a2b2sin()，其中 cos_， sin_，或 tan_， 角所在象限与点(a，b)所在象 限_， 角的终边经过点(a，b) 【常用结论】 4常用的拆角、拼角
2、技巧 (1)154530604530 2 (2)()()，2()()， 2 2 (2)() (3) 3 2 6 ， 6 2 3 ， 3 2 3 ， 4 3 4 5半角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2 1cos 2 (2)cos 2 1cos 2 (3)tan 2 1cos 1cos sin 1cos 1cos sin 6tantan tantan tan（）11 tantan tan（） 【自查自纠】 1(1)sincoscossin (2)coscossinsin (3)tantan 1tantan 2(1)2sincos (2)cos2sin2 2cos21 12sin2 (3)
3、2tan 1tan2 3(1) sin 2cos 2 2 2cos2 2 2sin 2 2 (2)1cos2 2 1cos2 2 (3)tan()(1tantan) (4) a a2b2 b a2b2 b a 相同 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“” (1)存在实数 ， ，使等式 sin()sinsin 成立 ( ) (2)在锐角ABC 中，sinAsinB 和 cosAcosB 大小不确定 ( ) (3)对任意角 都有 1sin sin 2cos 2 2 ( ) (4)y3sinx4cosx 的最大值是 7 ( ) (5)0，且 sincos1 2，则 sin2 3 4
4、，cos2 7 4 ( ) 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5) 已知 sin 3 3 ，270360，那么 sin2 的值是 ( ) A2 2 3 B2 2 3 C 3 8 D 3 8 解：因为 sin 3 3 ，2700，又 sin 2cos 21，所 以 cos 6 3 ，所以 sin22sincos2 3 3 6 3 2 2 3 故选 B (2020全国卷)已知 (0，)，且 3cos28cos5，则 sin( ) A 5 3 B2 3 C 1 3 D 5 9 解：由 3cos28cos5，得 6cos28cos80， 即 3cos24cos40，解得 cos2 3或 c
5、os2(舍去)， 又因为 (0，)，所以 sin 1cos2 5 3 故选 A (2020全国卷)已知 2tan tan 4 7，则 tan ( ) A2 B1 C1 D2 解：因为 2tantan 4 7，所以 2tantan1 1tan7， 解得 tan2故选 D 已知 sin 3 1 4，则 cos 22 3 的值为_ 解： sin 3 1 4， 则 cos 22 3 12sin2( 3)12 1 4 27 8 故 填7 8 考点一考点一 和、差、倍角公式的简单应用和、差、倍角公式的简单应用 【多选题】(2020 年山东威海高一下期末)下列选项中，与 sin 11 6 的值相等的是( )
6、 A2cos2151 Bcos18cos42sin18sin42 C2sin15sin75 D tan30tan15 1tan30tan15 解：sin 11 6 sin 6 1 2 对于 A，2cos2151cos30 3 2 ，不相等； 对于 B，cos18cos42sin18sin42cos(1842)cos601 2，相等； 对于 C，2sin15sin752sin15cos15sin301 2，相等； 对于 D， tan30tan15 1tan30tan15tan451，不相等故选 BC 【点拨】和、差、倍角公式对使公式有意义的任意角都成立，使用 中要注意观察角之间的和、差、倍、互补
7、、互余等关系 【多选题】下列各式的值为1 2的是( ) A tan225 1tan2225 Btan15cos 215 C 3 3 cos2 12 3 3 sin2 12 D 1cos60 2 解：对于 A，原式1 2 2tan225 1tan2225 1 2tan45 1 2； 对于 B，原式sin15cos151 2sin30 1 4； 对于 C，原式 3 3 cos 6 1 2； 对于 D，原式sin301 2故选 ACD 考点二考点二 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 命题角度 1 三角函数式的化简求值 (1)(2019全国卷)已知 0， 2 ，2sin2cos21，则 sin(
8、) A1 5 B 5 5 C 3 3 D2 5 5 解： 因为 2sin2cos21， 所以 4sincos2cos2因为 0， 2 ， 所以 cos0， sin0，所以 2sincos，又 sin2cos21，所以 5sin21，sin21 5，sin 5 5 故 选 B (2)sin（30）sin（30） cos ( ) A1 B 3 C2 D2 3 解：原式2cossin30 cos 2sin30 21 21故选 A 【点拨】三角函数式化简、求值的一般思路：异名三角函数化为同名 三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角 函数互化等三角化简的标准：三角函数名称尽量
9、少，次数尽量低，最好 不含分母，能求值的尽量求值化简、求值的主要技巧：(i)寻求角与角之 间的关系，化非特殊角为特殊角；(ii)正确灵活地运用公式，通过三角变换消 去或约去一些非特殊角的三角函数值 (1)已知 cos2sin，则 cos2( ) A 51 2 B3 5 2 C1 2 D 52 解：由 cos2sin1sin2，可得 sin 51 2 或1 5 2 (舍去)，可得 cos212 51 2 2 52故选 D (2)(2020临猗县临晋中学月考)计算： 2cos21 tan 4 sin 2 4 的结果为 ( ) A1 B2 C1 D2 解： 2cos21 tan 4 sin 2 4
10、cos2 sin 4 cos 4 cos2 4 cos2 sin 4 cos 4 2cos2 sin 22 2故 选 B 命题角度 2 给角求值 (1)(2019全国卷)tan255 ( ) A2 3 B2 3 C2 3 D2 3 解：tan255tan(18075)tan75tan(3045) 3 3 1 1 3 3 2 3故选 D (2)(教材习题)sin50(1 3tan10)_ 解：sin50(1 3tan10) sin50 1 3 sin10 cos10 sin50cos10 3sin10 cos10 sin50 2 1 2cos10 3 2 sin10 cos10 2sin50co
11、s50 cos10 sin100 cos10 cos10 cos101故填 1 【点拨】 解决非特殊角求值问题的基本思路有： 化非特殊角为 特殊角；化为正负相消的项，消去后求值；化分子、分母使之出 现公约数，进行约分求值；当有 ，2，3，4 同时出现在一个式 子中时， 一般将 向 2， 3(或 4)向 2 转化， 再求关于 2 式子的值 (1)(2019重庆一中高三期中)计算 sin15sin75的结果是( ) A1 2 B 1 4 C 6 2 4 D 6 2 4 解：因为 sin15sin75sin15cos151 2sin30 1 4故选 B (2) 3tan123 sin12（4cos2
12、122）_ 解： 3tan123 sin12（4cos2122） 3（sin12 3cos12） 2cos24sin12cos12 2 3sin（1260） 1 2sin48 4 3故填4 3 命题角度 3 给值求值 (1)已知 tan2，tan()1 7，则 tan 的值为_ 解：tantan() tan（）tan 1tan（）tan 1 72 12 7 3故填 3 (2)(2020 黑龙江哈尔滨三中三模)若 sin 4 2 5，则 sin2 _ 解：若 sin 4 2 5，则 cos 2 2 sin212sin2 4 12 4 25 17 25， 所以 sin217 25故填 17 25
13、(3)(2020河南期末)已知 12 5 12，cos 12 3 5，则 cos 4 _ 解：由 12 5 12，得 0 12 2， 由于 cos 12 3 5，故 sin 12 4 5 则 cos 4 cos 12 3 cos 12 cos 3sin 12 sin 3 3 5 1 2 4 5 3 2 34 3 10 故填34 3 10 【点拨】 给值求值型恒等变换问题，重在对所给条件进行挖掘，如由某角正弦值可得 其余弦、正切值，由所给值的符号判断角所在的象限等必要时还要进行估算，如锐角 的余弦值为3 5， 由 1 2 3 5 2 2 ， 及余弦函数在 0， 2 上单调递减可知 4560， 从
14、而 2 (90，120)，或 3(135，180)等另外，注意三种主要变换：变角，通常是 “配凑”， 常用的角的拆拼有 2()()， ()() 等； 变名， 通过变换函数名称达到减少函数种类的目的， 其手段通常有“切化弦”“升幂与降幂”等； 变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手段 通常有：“常值代换” 如1tan 4，1sin 2cos2 “逆用变换公式”“通分约分”“分 解与组合”“配方与平方”等其中角的变换居核心地位 (1)(2020浙江卷)已知 tan 2，则 cos2 _，tan 4 _ 解：cos2cos2sin2cos 2sin2 cos2si
15、n2 1tan2 1tan2 122 122 3 5，tan 4 tan1 1tan 21 12 1 3故填 3 5； 1 3 (2)(2021安徽高三模拟)已知 为锐角，且 cos( 4) 3 5，则 cos2( ) A24 25 B 7 25 C 24 25 D 24 25 解： cos 2 2 cos2 4 2cos2 4 1 7 25， 又cos 2 2 sin2， 所以sin2 7 25 因为 cos 4 3 50，所以 0 4，02 2，则 cos2 1sin 2224 25故选 A (3)已知 cos1 3，cos() 1 3，且 ， 0， 2 ，则 cos()的值等于( ) A
16、1 2 B 1 2 C 1 3 D 23 27 解：因为 0， 2 ，2(0，)，cos1 3，所以 cos22cos 217 9，sin2 1cos224 2 9 而 ， 0， 2 ， 所以 (0， )， 所以 sin() 1cos2（） 2 2 3 所以 cos()cos2()cos2cos()sin2sin() 7 9 1 3 4 2 9 2 2 3 23 27故选 D 命题角度 4 给值求角 已知 A，B 均为钝角，sin2A 2cos A 3 5 15 10 ，且 sinB 10 10 ，则 AB( ) A3 4 B5 4 C7 4 D7 6 解：由题意知1 2(1cosA) 1 2
17、cosA 3 2 sinA1 2 15 10 ，得 sinA 5 5 ，sinB 10 10 A， B 均为钝角， AB0，所以3 2 AB2，所以 AB7 4 故选 C 【点拨】 一般给值求角问题，其本质仍是给值求值问题，即通过求所求角的某一三 角函数值确定角的大小，因此其关键除了求值外，还在于确定角的范围：在给值求角 时，一般地选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，利用三角函数的单 调性求出角确定角的范围是关键，一定要使所选的函数在此范围内是单调的，必要时， 还需根据已知三角函数值缩小角的范围(详见例 4“点拨”)已知三角函数值求角， 选 三角函数时可按下列规则：(i)已知正切
18、值，常选正切函数；(ii)已知正、余弦值，常选正 弦或余弦函数；(iii)若角的范围是 0， 2 ， ，3 2 ，常选正、余弦函数；(iv)若角的范围 是 2， 2 ，常选正弦函数；(v)若角的范围是(0，)，常选余弦函数 (2020 安徽屯溪一中高三期中)已知 tan，tan 是方程 x23 3x40 的两 根，且 ， 2， 3 2 ，则 的值为( ) A4 3 B7 3 C4 3 或7 3 D5 3 解：因为 tan，tan是方程 x23 3x40 的两根，所以 tantan3 3，tantan 4， 所以 tan() tantan 1tantan 3 3 14 3， 又 tantan0，所以 tan0，tan0， 因为 ， 2， 3 2 ，所以 ， 2， ，2，所以 4 3 故选 A