1、42 同角三角函数的基本关系及诱导公式同角三角函数的基本关系及诱导公式 【教材梳理】 1同角三角函数的基本关系 (1)由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式： _； _ (2)同角三角函数的关系式的基本用途：根据一个角的某一三角函数值， 求出该角的其他三角函数值；化简同角的三角函数式；证明同角的三角恒 等式 2三角函数的诱导公式 (1)诱导公式的内容 函数 x sinx cosx tanx sin cos tan 2 3 2 2 (2)诱导公式的规律 三角函数的诱导公式可概括为： 奇变偶不变， 符号看象限其中“奇变偶不变” 中的奇、偶分别是指 2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的
2、变化若是奇 数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称_“符 号看象限”是把 当成_时，原三角函数式中的角(如 2)所在_原 三角函数值的符号注意：把 当成锐角是指 不一定是锐角，如 sin(360120 )sin120，sin(270120)cos120，此时把 120当成了锐角来处 理“原三角函数”是指等号左边的函数 (3)诱导公式的作用 诱导公式可以将任意角的三角函数转化为_三角函数，因此常用于 化简和求值，其一般步骤是： 任意负角的 三角函数 去负（化负角为正角）任意正角的 三角函数 脱周 脱去k 360 0到360的 三角函数 化锐 （把角化为锐角） 锐角三角函数 【
3、常用结论】 3同角关系的几种变形 (1)sin21cos2(1cos)(1cos)； cos21sin2(1sin)(1sin) (2)sintancos 2k，kZ (3)sin2 sin2 sin2cos2 tan2 tan21 (4)cos2 cos2 sin2cos2 1 tan21 4sincos，sincos，sincos 三者之间的关系 (1)(sincos)21sin2 (2)(sincos)21sin2 (3)(sincos)2(sincos)22 (4)(sincos)2(sincos)22sin2 【自查自纠】 1(1)sin2cos21 sin costan 2(1)
4、函数 x sinx cosx tanx sin cos tan 2 cos sin sin cos tan 3 2 cos sin 2 sin cos tan (2)不变 锐角 象限 (3)锐角 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“” (1)若 ， 为锐角，则 sin2cos2 1 ( ) (2)若 R，则 tan sin cos恒成立 ( ) (3)sin()sin 成立的条件是 为锐角( ) (4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指 2的 奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化 ( ) (5) sin 1cos 1cos sin 2 sin
5、 ( ) 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5) (2020 甘肃省岷县第一中学高二月考)已知 tan 3，3 2 ，那么 cossin 的值是 ( ) A1 3 2 B1 3 2 C1 3 2 D1 3 2 解：由题知 sin 3 2 ， cos1 2， 所以 cossin1 3 2 故选 B 若 tanx3，则 cosxcos x 2 ( ) A 3 10 B 3 10 C 3 4 D 3 4 解： 因为 tanx3， 所以 cosxcos x 2 sinxcosx sinxcosx sin2xcos2x tanx 1tan2x 3 10 故 选 A (2020届广东省梅州市高
6、三上第一次质检)若 sin78m，则 sin6 ( ) A m1 2 B 1m 2 C m1 2 D 1m 2 解：由三角函数的诱导公式，得 cos12sin(9012)sin78m，又 由余弦的倍角公式，得 12sin26m，所以 sin6 1m 2 故选 B (2020湖南衡阳高三月考)若 sincos3 8， 且 4 2， 则 cossin _ 解：由 4cos， 则 cossin （cossin）2 12cossin1 2故填 1 2 考点一考点一 同角三角函数基本关系式的应用同角三角函数基本关系式的应用 命题角度 1 sin，cos，tan 三者知一求二问题 (1)(2021江门市第
7、二中学期中)已知ABC 中，tanA 5 12，则 cosA( ) A12 13 B 12 13 C 5 13 D 5 13 解：因为 tanA 5 120，所以 A 2， ，则 cosA0，且 sinA cosA 5 12sinA 5 12cosA，又 sin 2Acos2A1，解得 cosA12 13故选 B (2)若点 P(cos，sin)在直线 y2x 上，则 cos(2 2) ( ) A4 5 B 4 5 C 3 5 D 3 5 解： 由题知 sin2cos， sin2cos21， 则 4cos2cos21， 所以 cos2 1 5又 cos 2 2 sin22sincos4cos2
8、4 5故选 B 【点拨】 已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值，这类问 题用同角三角函数的基本关系式求解，一般分为三种情况：一个角的某一个三角函 数值和这个角所在的象限或终边所在的位置都是已知的，此类情况只有一组解一 个角的某一个三角函数值是已知的， 但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出， 解答这类问题，首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位 置，然后分不同的情况求解一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，此类情 况须对字母进行讨论，并注意适当选取分类标准，一般有两组解同角三角函数的化 简与求值的技巧：弦切互化，以减少不同名；巧用“1”的代换等在开
9、方时要注意符 号的选取， 另外熟记以下常见勾股数， 可以提高解题速度： 324252， 6282102， 92122152，；52122132，82152172，72242252， (1)已知 为锐角，且 sin4cos41 3，则 tan ( ) A 2 2 B 2 C2 D2 2 解：由题意得 sin2cos21 3，与 sin 2cos21 联立可得 sin22 3， cos21 3，则 tan 22tan 2，由 为锐角可得 tan 2故选 B (2)已知 sincos 2，(0，)，则 tan_ 解法一：由 sincos 2， sin2cos21， 得 2cos22 2cos10，即
10、( 2cos1)20， 所以 cos 2 2 又 (0，)，所以 3 4 ，tantan3 4 1 解法二： 因为 sincos 2， 所以(sincos)22， 得 sin21因为 (0， )，所以 2(0，2)，23 2 ，所以 3 4 ，tan1故填1 命题角度 2 sincos，sincos，sincos 三者知一求二问题 已知角 2， ，且满足 sincos 2 3 (1)求 cossin 的值； (2)求 sin3cos3 的值 解： (1)由 sincos2 3两边平方得， 12sincos 4 9， 则 2sincos 5 9， 所以(cossin)212sincos14 9
11、因为 2， ，所以 cossin0， 即 cossin 14 3 (2)sin3cos3(sincos)(sin2sincoscos2)(sincos)(1 sincos)2 3 1 5 18 23 27 【点拨】 对于已知 sincos 的求值问题，一般应用三角恒等式， 利用整体代入的方法来解，涉及的三角恒等式有(sincos)2 1 2sincos， (sincos)2(sincos)22， (sincos)2(sincos)2 4sincos 等已知 sincos，sincos，sincos 三个式子中的任何 一个的值，均可求出其余两个的值 (2020届山东青岛即墨区高三上期中)已知 s
12、in cos 1 5， (0，)， 则 sin2 cos2 的值为_ 解：因为 sincos1 5，所以 sincos 1 2(sincos) 21 2 1 2 1 25 1 2 12 250 所以 sin和 cos异号，又(0，)，所以 2， 所以 sincos 12sincos124 25 7 5 所以 sin2cos2(sincos)(sincos)1 5 7 5 7 25故填 7 25 命题角度 3 关于 sin，cos 的齐次式问题 已知 tan tan11，则 (1)sin3cos sincos _； (2)sin2sincos2_ 解：由已知得 tan1 2 (1)sin3cos
13、 sincos tan3 tan1 5 3 (2)sin2sincos2sin 2sincos sin2cos2 2 tan 2tan tan21 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 213 5 故填5 3； 13 5 【点拨】 形如 asinbcos 和 asin2bsincosccos2 的式子分别 称为关于 sin，cos 的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换 通常转化为正切(分子分母同除以 cos 或 cos2)求解如果分母为 1，可考 虑将 1 写成 sin2cos2 (1)(2020 湖南长沙县第九中学高三期末)若 tan3， 则cossin cossin的 值为(
14、) A1 2 B 1 2 C 1 3 D 1 3 解：因为 tan3，故 cos0，故cossin cossin 1tan 1tan 1（3） 1（3） 1 2 故 选 A (2)(2019江西高三月考)若 tan2，则sin 23sincos cos21 ( ) A5 3 B 5 4 C 5 2 D2 解： 因为 tan2， 则sin 23sincos cos21 sin 23sincos 2cos2sin2 tan 23tan tan22 5 3 故 选 A 考点二考点二 诱导公式的应用诱导公式的应用 (1)【多选题】(2020 山东潍坊高一四月段考)下列化简正确的是 ( ) Atan(1
15、)tan1 B sin（） tan（360）cos C sin（） cos（）tan D cos（）tan（） sin（2） 1 解：由诱导公式知，tan(1)tan1，故 A 正确； sin（） tan（360） sin tan sin sin cos cos，故 B 正确； sin（） cos（） sin costan，故 C 不正确； cos（）tan（） sin（2） cos（tan） sin cos sin cos sin 1，故 D 不正确故选 AB (2)若 sin 6 5 13，且 2， ，则 sin( 2 3 )_ 解：因为 2， ，所以 6 2 3 ，7 6 ，所以 cos
16、 6 1sin2 6 12 13，所 以 sin 2 3 sin 6 2 cos 6 12 13故填 12 13 (3)在平面直角坐标系 xOy 中， 角 与角 均以 Ox 为始边， 它们的终边关于 y 轴对称若 sin1 3，则 sin ( ) A1 3 B 1 3 C 2 2 3 D2 2 3 解：因为角 与角 的终边关于 y 轴对称，所以 2k，kZ， 所以 sinsin(2k)sin()sin1 3故选 A 【点拨】 应用诱导公式要注意：三角式的化简通常先用诱导公式，将 角统一后再用同角三角函数关系式， 这可以避免交错使用公式时导致的混乱； 在运用公式时正确判断符号至关重要；三角函数的
17、化简、求值是三角函 数中的基本问题，也是高考常考的问题，要予以重视；正确理解“奇变偶 不变，符号看象限”可以提高解题效率 (1)已知 f(x)sinxcosx，则下列结论成立的 是( ) Af(x)sinxcosx Bf(x)sinxcosx Cf x 2 sinxcosx Df 2x sinxcosx 解：由 f(x)sin(x)cos(x)sinxcosx，f(x)sin(x)cos( x)sinxcosx，f x 2 sin x 2 cos x 2 cosxsinx，f 2x sin 2x cos 2x cosxsinx故选 D (2)(2020湖南邵阳三模)已知 cos 6 3 5，则
18、 sin( 2 3 )( ) A3 5 B 4 5 C 3 5 D 4 5 解：依题意，sin 2 3 sin 6 2 cos( 6)cos 6 3 5故选 C (3)已知角 的始边与 x 轴正半轴重合且终边过点(4，5)，则 cos 3 2 sin 2 cos 2 sin 的 值为_ 解：由题意，tan5 4， 因此 cos 3 2 sin 2 cos 2 sin sincos sinsin cos sin 1 tan 4 5故填 4 5 考点三考点三 同角关系与诱导公式的综合应用同角关系与诱导公式的综合应用 (1)(2019江西临川一中高考模拟)已知 (0， )， 且 cos15 17，
19、则 sin 2 tan( ) ( ) A15 17 B 15 17 C 8 17 D 8 17 解： sin 2 tan()cos tansin 因为 (0， )， 且 cos15 17， 所以 sin 1cos21 15 17 2 8 17故选 D (2)(2020长沙县实验中学期末)已知 tan()2 3，则 cos（）3sin（） cos（）9sin 的值为_ 解：因为 tan()2 3，所以 tan 2 3， 所以 cos（）3sin（） cos（）9sin cos3sin cos9sin 13tan 19tan 12 16 1 5故填 1 5 【点拨】利用同角三角函数关系式和诱导公式
20、求值或化简时，关键是寻 求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形，求值与化简后的结果一般要 尽可能有理化、整式化；注意角的范围对三角函数符号的影响，尤其是利用 平方关系求三角函数值在开方时要根据角的范围，判断符号后，正确取舍 (1)已知 cos 2 2sin 2 ，则sin 3（）cos（） 5cos 5 2 3sin 7 2 的值为_ 解：因为 cos 2 2sin 2 ，所以sin2cos，则 sin2cos，代入 sin2cos2 1，得 cos21 5 所以sin 3（）cos（） 5cos 5 2 3sin 7 2 sin3cos 5sin3cos 8cos3cos 7cos 8 7cos 21 7 3 35故填 3 35 (2)(2020福建高三期末)已知 sin 2 3cos()sin()，则 sin cos cos2 ( ) A1 5 B2 5 C3 5 D 5 5 解：由已知 sin 2 3cos()sin()cos3cossintan2， 则 sincoscos2sincoscos 2 sin2cos2 tan1 tan21 3 5故选 C