1、45 函数函数yAsin(x)及三角函数应用及三角函数应用 【教材梳理】 1用五点法画 yAsin(x)在一个周期内的简图 用五点法画 yAsin(x)在一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示 x x yAsin(x) 0 A 0 A 0 2图象变换(0) 路径： 先向左(0)或向右(0)或向右(0，0)的物理意义 简谐运动的图象所对应的函数解析式 yAsin(x)，x0，)，其中 A0，0在 物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：A 就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动 的周期是 T_，这是做简谐运动
2、的物体往复运动一次所需要的时间；这个简 谐运动的频率由公式 f1 T_给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往 复运动的次数；x 称为相位；x_时的相位 称为初相 4如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以借助_来描述 5三角函数作为描述现实世界中_现象的一种数学模型，可以用来研究很多问 题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用具体的，我们可以 利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行_而获得具体的 函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题 【常用结论】 6y|sinx|是以 为周期的波浪形曲线 7太阳高度角 、楼高 h0与此时楼房在地面
3、的投影长 h 之间有如 下关系：h0htan 【自查自纠】 1 x 2 3 2 2 x 0 2 3 2 2 yAsin(x ) 0 A 0 A 0 2| | 1 A 1 A 32 2 0 4三角函数 5周期 函数拟合 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“” (1)将函数 ysinx 的图象向右平移 (0)个单位长度，得到函数 ysin(x)的图象 ( ) (2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致 ( ) (3)函数 yAsin(x)的最小正周期为 T2 ( ) (4)把 ysinx 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1 2，所得图
4、象对应的函数解析式为 y sinx 2( ) (5)若函数 yAcos(x)的最小正周期为 T，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为 T 2 ( ) 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5) 为了得到函数 ysinx 的图象，只需将函数 ysin(2x 6)的图象 ( ) A横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，再向右平移 6个单位长度 B横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，再向左平移 6个单位长度 C横坐标缩短为原来的1 2，纵坐标不变，再向右平移 6个单位长度 D横坐标缩短为原来的1 2，纵坐标不变，再向左平移 6个单位长度 解：把函数 ysin 2x 6 的图象上所有
5、点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不 变得到函数 ysin x 6 ，再将函数 ysin x 6 的图象上所有点向右平移 6个单位长 度得到函数 ysinx故选 A (2020全国卷)设函数 f(x)cos x 6 在，的图象大致如图所示，则 f(x)的最 小正周期为 ( ) A10 9 B7 6 C4 3 D3 2 解：由图可得，函数图象过点 4 9 ，0 ，代入函数 f(x)cos x 6 可得，cos 4 9 6 0， 又 4 9 ，0 是函数 f(x)图象与 x 轴负半轴靠近 y 轴的第一个交点， 所以4 9 6 2，解得 3 2，所以函数 f(x)的最小正周期为 T 2 2 3
6、2 4 3 故选 C (2020 昆明市官渡区第一中学高三开学考试)已知函数 f(x)sin(x) 0， 2 2 的 图象相邻的两个对称中心之间的距离为 2，若将函数 f(x)的图象向左平移 6后得到偶函数 g(x)的图象， 则函数 f(x)的一个单调递减区间为( ) A 3， 6 B 4， 7 12 C 0， 3 D 2， 5 6 解：函数 f(x)sin(x) 0， 2 2 的图象相邻的两个对称中心之间的距离为 2， 则 T，所以 2，将函数 f(x)的图象向左平移 6后，得到 g(x)sin(2x 3)是偶函数，故 3 k 2(kZ)，解得 k 6(kZ)，由于 2 2，所以当 k0 时
7、， 6 则 f(x)sin 2x 6 ，令 22k2x 62k 3 2 (kZ)，解得 6kxk 2 3 (kZ)， 当 k0 时，单调递减区间为 6， 2 3 ，由于 4， 7 12 6， 2 3 故选 B (2020 北京海淀香山中学高三期中)某城市一年中 12 个月的平均气温与 月份的关系可近似地用三角函数 yAcos 6（x6） B(x1，2， ，12)来 表示已知 6 月份的平均气温最高，为 28，12 月份的平均气温最低，为 18 ，则 10 月份的平均气温为_ 解：据题意得， 28AB， 18AB，解得 A5， B23， 所以 y5cos 6（x6） 23， 令 x10，得 y5
8、cos 6(106)235cos 2 3 23205故填 205 考点一考点一 函数函数 yAsin(x)的图象及图象变换的图象及图象变换 (1)将函数 ysin x 6 的图象上所有的点向右平移 4个单位长度，再把图象上各点的 横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为 ( ) Aysin x 2 5 12 Bysin x 2 12 Cysin 2x5 12 Dysin x 2 5 24 解：将函数 ysin x 6 图象上所有的点向右平移 4个单位长度得函数 y sin x 4 6 sin x5 12 ，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍得到函 数 ysin(x
9、 2 5 12)的图象故选 A (2)函数ysinx 3cosx的图象可由函数ysinx 3cosx的图象向右平 移 (0)个单位长度得到，则 的最小值为_ 解：因为 ysinx 3cosx2sin x 3 ，ysinx 3cosx2sin x 3 2sin x 3 2 3 ， 所以函数 ysinx 3cosx 的图象可由函数 ysinx 3cosx 的图象至少向右平移2 3 个单位长度 得到故填2 3 (3)已知函数 f(x)1 2sinx 3 2 cosx(0)的最小正周期为 ()求 的值，并在上面提供的直角坐标系中画出函数 yf(x)在区间0，上的图象； ()函数 yf(x)的图象可由函
10、数 ysinx 的图象经过怎样的变换得到？ 解：()函数可化为 f(x)sin x 3 ， 因为 T，所以2 ，即 2， 所以 f(x)sin 2x 3 列表如下： x 0 12 3 7 12 5 6 y 3 2 1 0 1 0 3 2 画出图象如图所示： ()将函数 ysinx(xR)图象上的所有点向左平移 3个单位长度，得到函数 y sin x 3 (xR)的图象，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的1 2(纵坐标不变)， 可得函数 f(x)sin 2x 3 (xR)的图象 【点拨】 用“五点法”作 yAsin(x)的简图，主要是通过变量 代换，设 Xx，由 X0， 2， 3 2，2
11、 来求出相应的 x 值，通过列 表，计算得出五点坐标，描点后得出图象三角函数的图象变换，有两 种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩特别注意平移变换时， 当自变量 x 的系数不为 1 时，要将系数先提出，对称变换要注意翻折的方 向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变 换 (1)【多选题】有以下四种变换方式，其中能将函数 ysinx 的图象变为函数 ysin(2x 4)的图象的是( ) A向左平移 4个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2倍(纵坐标不变) B向左平移 8个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2倍(纵坐标不变) C把各点的横坐
12、标缩短到原来的1 2倍(纵坐标不变)，再向左平移 4个单位长度 D把各点的横坐标缩短到原来的1 2倍(纵坐标不变)，再向左平移 8个单位长度 解：对于 A，将 ysinx 的图象向左平移 4个单位长度，所得图象对应的解析式为 ysin x 4 ，再 把所得各点的横坐标缩短到原来的1 2倍(纵坐标不变)， 所得图象对应的解析式为 ysin 2x 4 ， 满足条件 对于 B，同理由所给变换所得图象对应的解析式为 ysin 2x 8 ，不满足条件 对于 C，同理由所给变换所得图象对应的解析式为 ysin 2x 2 cos2x，不满足条件 对于 D，同理由所给变换所得图象对应的解析式为 ysin 2x
13、 4 ，满足条件 综上可得，A 和 D 满足题意故选 AD (2)将函数 f(x)2sin x 3 (0)的图象向左平移 3个单位长度得到函 数 yg(x)的图象，若 yg(x)在 6， 4 上为增函数，则 的最大值为 _ 解：由题意，得函数 yg(x)2sinx，因为 yg(x)在 6， 4 上为增函 数，所以T 4 4，即 2，所以 的最大值为 2故填 2 (3)(2020 四川武侯成都七中高三)将函数 f(x)2sinx 的图象向左平移 0 2 个单位，得到函数 yg(x)的图象， 函数 yg(x)的图象关于直线 x 6对称，记函数 h(x)f(x) g(x) ()求函数 yh(x)的最
14、小正周期和单调递增区间； ()画出函数 yh(x)在区间 2， 2 上的大致图象 解：()由题意知 g(x)2sin(x)，根据函数 yg(x)的图象关于直线 x 6对称， 得 6 2m(mZ)，即 3m(mZ)，又 00 排除 D故选 BC (2)函数 f(x)Asin(x)(A0， 0， |0，0，| 2)的部分图象如图所示，若将 f(x)图象上的所有点向左平移 4 个单位长度得到函数 g(x)的图象，则函数 g(x)的单调递增区间是 ( ) A k7 12，k 12 ，kZ B k 12，k 5 12 ，kZ C k5 24，k 7 24 ，kZ D k11 24 ，k 24 ，kZ 解
15、： 由图可得T 4 5 12 6 4， 故 T 2 ， 解得 2， 将点 6，A 代入函数 f(x) Asin(2x)，得 AAsin 3 ，即 sin 3 1，因为|0，| 2)的图象如图所示，先将函数 f(x)图 象上所有点的横坐标变为原来的 6 倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移7 2 个单位长 度，得到函数 g(x)的图象，下列结论正确的是( ) A函数 g(x)是奇函数 B函数 g(x)在区间2，0上是增函数 C函数 g(x)的图象关于点(3，0)对称 D函数 g(x)的图象关于直线 x3 对称 解：由图得函数的周期 T 7 12 3 42 ，所以 2因为函数的图象过点 7
16、12，1 ，所以 sin 7 6 1，所以7 6 3 2 2k(kZ)，所以 32k(kZ) 因为|0 (1)令 2，将函数 yf(x)的图象向左平移 4个单位，纵坐标变为原来的 2 倍，再向上平移 1 个单 位，得到函数 yg(x)的图象，求函数 yg(x)的解析式； (2)若 yf(x)在 4， 2 3 上单调递增，求 的取值范围； (3)在(1)的条件下的函数 yg(x)，区间a，b(a，bR 且 ab)满足：yg(x)在a，b 上至少含有 20 个零点，在所有满足条件的a，b中，求 ba 的最小值 解：(1)因为 f(x)sin 2x 6 ， 所以 f x 4 sin 2x 3 ， 所以 2f x 4 12sin 2x 3 1， 即 g(x)2sin 2x 3 1 (2)由 2k 2x 62k 2，kZ，得 2k 3x 2k 2 3，kZ， 因此函数 f(x)的单调递增区间为2k 3， 2k 2 3，kZ，又 x 4， 2 3 ，所以 k0， 即 3 4， 2 3 2 3 ， 解得 0125 时才可对冲浪者开放， 所以1 2cos 6t1125，cos 6t 1 2 所以 2k 3 6t2k 3，kZ， 即 12k2t12k2，kZ 因为 0t24，故可令中 k 分别为 0，1，2， 得 0t2 或 10t14 或 22t24 所以有 8 个小时的时间可供冲浪运动