1、46 解三角形解三角形 【教材梳理】 1正弦定理 (1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即_其中 R 是三角形外接圆的半径 (2)正弦定理的其他形式 a2RsinA，b_，c_； sinA a 2R，sinB_，sinC_； abc_ 2余弦定理 (1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦 的积的两倍即 a2_，b2_， c2_若令 C90，则 c2_，即为勾股定理 (2) 余 弦 定 理 的 推 论 ： cosA _， cosB _， cosC _ 若 C 为锐角， 则 cosC0， 即 a2b2_c2； 若 C 为钝角，
2、 则 cosC0， 即 a2b2_c2故 由 a2b2与 c2值的大小比较，可以判断 C 为锐角、钝角或直角 (3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角_，余弦定理亦可以写成 sin2A sin2B sin2C 2sinBsinCcosA ， 类 似 地 ， sin2B _ ； sin2C _注意式中隐含条件 ABC 【常用结论】 3解三角形的类型 (1)已知三角形的任意两个角与一边，用正弦定理，只有一解 (2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角， 用正弦定理， 可能有一解或两解如在ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况如下表： A 为锐角 A 为钝角 或直角 图形 关系 式 abs
3、inA bsinAab 解的 个数 一解 两解 一解 一解 (3)已知三边，用余弦定理有解时，只有一解 (4)已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解 4解三角形中的常用公式或结论 (1)三角形面积公式：SABC1 2absinC 1 2bcsinA 1 2acsinB abc 4R 1 2(abc)r其中 R，r 分别为三角形 外接圆、内切圆半径海伦公式：SABC p（pa）（pb）（pc），p 为ABC 的半周长 (2)ABC，则 A(BC)，A 2 2 BC 2 ，从而 sinAsin(BC)，cosAcos(BC)，tanA tan(BC)；sinA 2cos BC 2 ，cosA 2si
4、n BC 2 ，tanA 2 1 tanBC 2 tanAtanBtanCtanAtanBtanC (3)若三角形三内角 A，B，C 成等差数列，则 B 3，AC 2 3 ；若三角形三边 a，b，c 成等差数列， 则 2bac2sinBsinAsinC (4)在ABC 中，abcosCccosB，bacosCccosA，cacosBbcosA(此定理称作“射影定理”， 亦称第一余弦定理) 【自查自纠】 1(1) a sinA b sinB c sinC2R (2)2RsinB 2RsinC b 2R c 2R sinAsinBsinC 2(1)b2c22bccosA c2a22cacosB a
5、2b22abcosC a2b2 (2)b 2c2a2 2bc c2a2b2 2ca a2b2c2 2ab b ( ) (3)在ABC 中，当 b2c2a20 时，ABC 为锐角三角形 ( ) (4)在ABC 中， a sinA abc sinAsinBsinC ( ) (5)在三角形中，已知两边和一角，则该三角形唯一确定 ( ) 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5) (2019全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 asinAbsinB 4csinC，cosA1 4，则 b c ( ) A6 B5 C4 D3 解：由正弦定理有 a2b24c2，由余弦定理
6、有 cosAb 2c2a2 2bc 1 4，将 a 2b24c2 代入得，b 2c2b24c2 2bc 1 4，化简得 c b 1 6，所以 b c6故选 A (2020 长春市第二实验中学期中)在ABC 中， 已知 sin2Asin2Bsin2C， 且 sinA 2sinBcosC，则ABC 的形状是 ( ) A等腰非直角三角形 B直角非等腰三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形 解：由 sin2Asin2Bsin2C 及正弦定理得 a2b2c2，故在ABC 为直角三角形 又 sinA2sinBcosC， 所以 sin(BC)sinBcosCcosBsinC2sinBcosC， 因此 sin
7、BcosC cosBsinCsin(BC)0，由于 B，C 为三角形的内角，故有 BC，所以ABC 为等腰 三角形综上可得ABC 为等腰直角三角形故选 C 若两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20方向上，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40方向上，则灯塔 A 与 灯塔 B 的距离为 ( ) Aa km B 2a km C2a km D 3a km 解：依题意知ACB1802040120，在ABC 中，由余弦定理知 AB a2a22a2cos120 3a(km)，即灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 3a km故选 D (2018全国
8、卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bsinCcsinB 4asinBsinC，b2c2a28，则ABC 的面积为_ 解：根据题意，结合正弦定理 可得 sinBsinCsinCsinB4sinAsinBsinC，即 sinA1 2， 结合余弦定理可得 b2c2a22bccosA8， 所以 A 为锐角，且 cosA 3 2 ，从而求得 bc8 3 3 ， 所以ABC 的面积为 S1 2bcsinA 1 2 8 3 3 1 2 2 3 3 故填2 3 3 考点一考点一 正弦定理的应用正弦定理的应用 (1)(2020 长春市第二实验中学期中)已知ABC 中，a4，b4 3
9、，A30，则 B 等于 ( ) A60或 120 B30 C60 D30或 150 解：因为 a4，b4 3，A30，所以由 a sinA b sinB得 sinB bsinA a 4 31 2 4 3 2 ，因 为 ab，所以 AB，所以 B60或 120故选 A (2)(2020全国卷)ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b，c， 已知 cos2 2A cosA5 4 ()求 A； ()若 bc 3 3 a，证明：ABC 是直角三角形 解：()由已知得 sin2AcosA5 4，即 cos 2AcosA1 40，即 cosA1 2 2 0，cosA 1 2，由于 0A，故
10、A 3 ()证明：由正弦定理及已知条件可得 sinBsinC 3 3 sinA，由()知 BC2 3 ，所 以 sinBsin 2 3 B 3 3 sin 3，即 1 2sinB 3 2 cosB1 2，sin B 3 1 2，由于 0B 2 3 ，故 B 2，从而ABC 是直角三角形 【点拨】 解三角形问题， 多为边和角的求值问题， 这就需要根据正、 余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题 的目的由正弦定理求角，注意利用条件判断角的范围，即确定是一解 还是两解 (1)ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c， 且 acosC 3asinC bc则
11、 A_ 解：由正弦定理及 acosC 3asinCbc 得，sinAcosC 3sinAsinCsinBsinC， 即 sinAcosC 3sinAsinCsin(AC)sinC 3sinAsinCcosAsinCsinC， 因为 sinC0， 所以 3sinAcosA1sin(A30)1 2， 因为 0A180，所以30A30150， 所以 A3030A60 故填 60 (2)(2020临猗县临晋中学月考)在ABC 中，已知角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 且 ax，b3，B60，若ABC 有两解，则 x 的取值范围是_ 解：由正弦定理得 a sinA b sinB x sinA2
12、 3sinA x 2 3，若ABC 有两解， 则 sinBsinA x 2 313x0， 解得 4a0， 解得 7a4 综上可知 a 的取值范围为( 7，5)故选 C (2)(2020 宜城市第二高级中学期中)在ABC 中， 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c已 知 c2，b1，cosC1 4则ABC 的中线 AD 的长为_ 解： 如图所示， 在ABC 中，c2，b1，cosC1 4，由余弦定理得，c 2a2b22abcosC，即 4a212a11 4，整理得 2a 2 a60，解得 a2 或 a3 2(舍去) 所以 CD1 2a1 在ACD 中，由余弦定理得，AD212122
13、111 4 3 2，解得 AD 6 2 ，所以ABC 的中线 AD 的长为 6 2 故填 6 2 考点三考点三 正、余弦定理的综合应用正、余弦定理的综合应用 命题角度 1 判断三角形形状 (2020重庆八中期末)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若tanB b2 tanC c2 ，则ABC 的形状为 ( ) A等腰三角形或直角三角形 B等腰直角三角形 C等腰三角形 D直角三角形 解：因为tanB b2 tanC c2 ，所以 sinB b2cosB sinC c2cosC，由正弦定理可得 sinB sin2BcosB sinC sin2CcosC，即 sinBcosBsi
14、nCcosC，则 sin2Bsin2C，所以 2B2C 或 2B2C，所以 BC 或 BC 2， 所以ABC 的形状为等腰三角形或直角三角形故选 A 【点拨】 在判断三角形的形状时， 一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余 弦定理转化为角的关系(注意应用 ABC 这个结论)或边的关系，再用三角变换或 代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式一般不要约掉， 而要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状 (2020 梅河口市第五中学月考)对于ABC，有如下命题： 若 sin2Asin2B，则ABC 为等腰三角形； sinAcosB，则ABC 为直角三角形； 若 sin2A
15、sin2Bcos2C1，则ABC 为钝角三角形 其中所有正确命题的序号是_ 解：对于，因为 sin2Asin2B，所以 2A2B2k 或 2A2B2k，kZ，因为 A，B， AB(0，)，故 AB 或 AB 2，故ABC 为等腰三角形或直角三角形，故错误；对于， 因为 sinAcosB，所以 sinAsin 2B ，所以 A 2B2k 或 A 2B2k，kZ，因为 A，B，AB(0，)，故 A 2B 或 AB 2，故ABC 可为钝角三角形，故错误；对于， 因为 sin2Asin2Bcos2C1，故 sin2Asin2Bsin2C， 由正弦定理得 a2b2c2， 由余弦定理有 cosC a 2b
16、2c2 2ab 0，故 C 为钝角，所以ABC 为钝角三角形，故正确故填 命题角度 2 三角形面积计算 (1)(2020荆州中学月考)已知ABC 的三个角 A，B，C 成等差数列，三条 边 a，b，c 成等差数列，且 b2，则ABC 的面积为( ) A 3 B2 C 5 D3 解：由题意可得，AC2B，ac2b，由 ABC，b2，得 B 3，ac4，又 b 2 a2c22accosB(ac)23ac，所以 ac4，则 SABC1 2acsinB 3 另解：采用特值法，依题意，令ABC 为正三角形，则 SABC 3 4 22 3故选 A (2)ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a，
17、b， c， 若 2bcosBacosC ccosA，b2，则ABC 面积的最大值是( ) A1 B 3 C2 D4 解：由正弦定理可得 2sinBcosBsinAcosCsinCcosAsin(AC) sinB，因为 sinB0，所以 2cosB1，即 cosB1 2，所以 B 3，又由余弦 定理可得 2accosBa2c2b2，即 aca2c24，由基本不等式 aca2 c242ac4，所以 ac4，当且仅当 ac 时，等号成立，从而 SABC 1 2acsinB 3 4 ac 3故选 B 【点拨】 三角形面积计算问题要选用恰当公式， 可以根据正弦定理和 余弦定理进行边角互化面积最值问题，常
18、化为边的关系用基本不等式， 或化为角的关系用三角函数性质求解 (1)(2021 陕西商丹高新学校开学考试)在ABC 中，a3 2，b2 3， cosC1 3，则ABC 的面积为_ 解： 在ABC 中， 由 cosC1 3可得， sinC 1 1 3 2 2 2 3 ， 所以 SABC1 2absinC 1 23 22 3 2 2 3 4 3故填 4 3 (2)(2020河北枣强中学月考)已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 c 1，ABC 的面积为a 2b21 4 ，则ABC 面积的最大值为_ 解： 因为三角形面积 S1 2absinC a2b21 4 2abcosC 4
19、 ， 所以 sinCcosC， 由于 C(0， )，所以 C 4，故 cosC a2b21 2ab 2 2 ，化简得 2aba2b21，故 2aba2b2 12ab1， 化简得 ab2 2 2 所以三角形面积 S1 2absinC 1 2 2 2 2 2 2 21 4 故 填 21 4 学科素养微专题 解三角形中的数学应用 (1)(2020广东佛山一中期末)某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区 域，需测量繁殖区域内某湿地 A，B 两地间的距离(如图)，环保监督组织测绘员在(同一平 面内)同一直线上的三个测量点 D， C， E， 从 D 点测得ADC675， 从点 C 测得ACD 45，
20、 BCE75， 从点 E 测得BEC60， 并测得 DC2 3， CE 2(单位： km)， 则 A，B 两点间的距离为_km 解：在ACD 中，ACD45，ADC675，CD2 3，所以CAD675， 则 ACCD2 3，在BCE 中，BEC60，BCE75，CE 2，则CBE45， 由正弦定理得 CE sin45 BC sin60 ，可得 BCCEsin60 sin45 2 3 2 2 2 3 则在ABC 中，AC2 3，BC 3，ACB180ACDBCE60， 由余弦定理得 AB2AC2BC22AC BCcos609，因此，AB3(km)故填 3 (2)(2021遵义高三16校联考)如图
21、是改革开放四十周年大型展览的展馆国家博物 馆现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点 P 离地面的高度 OP(点 O 在柱楼底部)现分别从 地面上的两点 A，B 测得点 P 的仰角分别为 30，45，且ABO60，AB60 2 m， 则 OP ( ) A40 m B30 m C30 2 m D30 3 m 解：设 OPh，由题意知，OAP30，OBP45 在 RtAOP 中，OA OP tan30 3h， 在 RtBOP 中，OBOPh 在ABO 中，由余弦定理得 AO2BA2OB22BA OBcos60， 即 h230 2h3 6000，解得 h30 2故选 C 【点拨】 新高考更强调“学以致用”，
22、解三角形问题是高中阶段较为典型 的数学应用，涉及测距、测高、测角等诸多方面数学应用是指通过利用数学 理论及其相关实践，使学生真正理解数学与其他学科、生产和日常生活以及周 围现实所具有的广泛的联系， 能主动自觉地从数学的角度观察现实、 理解现实、 思考现实、把握现实，能知晓如何用数学来解决实际问题 (1)(2019德州期中)奏唱中华人民共和国国歌需要 46 s某校周一举行升旗仪式，旗杆 正好处在坡度为 15看台的某一列的正前方， 从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰 角分别为 60和 30，第一排和最后一排的距离为 10 2 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在 同一个水平面上要使国歌结束时
23、国旗刚好升到旗杆顶部，则升旗手升旗的速度应为 ( ) A3 3 23 m/s B5 3 23 m/s C7 3 23 m/s D8 3 23 m/s 解：如图所示，依题意知AEC45，ACE1806015105， 所以EAC1804510530， 在AEC 中，由正弦定理知 CE sinEAC AC sinAEC， 所以 AC 10 2 sin30sin4520(m)， 所以在 RtABC 中，ABACsin6020 3 2 10 3(m)，因为国歌时长为 46 s，所以升旗手 升旗的速度应为 10 3 46 5 3 23 (m/s)故选 B (2)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山 顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的 方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD_m 解：设此山高 h(m)，则 BC 3h，在ABC 中，BAC30，CBA105，BCA 45，AB600(m) 在ABC 中，根据正弦定理得 BC sinA AB sinC， 即 3h sin30 600 sin45，解得 h100 6(m)故填 100 6