1、52 平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示 【教材梳理】 1平面向量基本定理 如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1， 2，使 _ 我们把不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组_ 2向量的夹角 (1)已知两个_向量 a 和 b，作OA a，OB b，则AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角(如图) (2)向量夹角 的范围是_ a 与 b 同向时， 夹角 _； a 与 b 反向时， 夹角 _. (3)如果向量 a 与 b 的夹角是_，我们就说 a 与 b 垂直，记作_ 3平面向量的正交分解及坐标表示
2、 (1)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个_的向量，叫做向量的正交分解 (2)在平面直角坐标系内，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底任作一个向 量 a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 x，y，使得 axiyj.则实数对_叫做向量 a 的(直角)坐标，记作 a_，其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，该式叫 做向量的坐标表示与 a 相等的向量的坐标也为_显然，i，j，0. 4平面向量的坐标运算 (1)已知 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 a b_. (2)如果 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB _.
3、 (3)若 a(x，y)，则 a_. (4)如果 a(x1，y1)，b(x2，y2)(b0)，则 ab 的充要条件是_ 【常用结论】 5若 a 与 b 不共线，且 ab0，则 0. 6已知ABC 的顶点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则线段 AB 的中点坐标为 x1x2 2 ，y1y2 2 ，ABC 的重心坐标为 x1x2x3 3 ，y1y2y3 3 . 7线段的分点坐标 设点 P 是线段 P1P2上的一点，且 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)当P1P PP2 时， 点 P 的坐标(x，y) x1x2 1 ，y1y2 1 .特别地：当 1 时，点 P
4、 为线段 P1P2的中点， 其坐标为 P x1x2 2 ，y1y2 2 . 【自查自纠】 1a1e12e2 基底 2(1)非零 (2)0180 0 180 (3)90 ab 3(1)互相垂直 (2)(x，y) (x，y) (x，y) (1，0) (0，1) (0，0) 4(1)(x1x2，y1y2) (2)(x2x1，y2y1) (3)(x，y) (4)x1y2x2y10 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“” (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底 ( ) (2)若 a，b 不共线，且 1a1b2a2b，则 12， 12. ( ) (3)平面向量的基底不唯一，只要基底
5、确定后，平面内的任何一个向量都可被这 组基底唯一表示 ( ) (4)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件是x1 x2 y1 y2. ( ) (5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标 ( ) 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5). 已知 e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不 能作为一组基底的是 ( ) Ae1e2和 e1e2 B3e12e2和 4e26e1 Ce12e2和 e22e1 De2和 e1e2 解：因为 4e26e12(3e12e2)，所以 3e12e2与 4e26e1共线，又作 为一组基底的两个向量一
6、定不共线，所以它们不能作为一组基底故选 B. (2020 辽宁本溪满族自治县高级中学高三期末)已知向量 a(1，3)，b(t，1)，若 (ab)b，则实数 t 的值为 ( ) A.1 3 B3 C1 D1 或 2 解：由题意可得：ab(1t，2)，因为(ab)b，所以 1t2t0，所 以 t1 3.故选 A. (2019山西省长治市第二中学高一期中)若向量 m 与向量 n(2， 1)为共线 向量，且|m|3 5，则向量 m 的坐标为 ( ) A(6，3) B(6，3) C(6，3)或(6，3) D(6，3)或(6，3) 解：根据题意，设向量 mn(2，)， 因为|m|3 5，即有 （2）223
7、 5， 解得 3. 所以向量 m 的坐标为(6，3)或(6，3)故选 C. 在正方形 ABCD 中，M，N 分别是 BC，CD 的中点，若AC AM BN ， 则实数 _. 解法一：因为AC AB BC ，AM AB BM AB 1 2BC ，BN BC CN BC 1 2AB ， 所以由AC AM BN 有 11 2， 11 2， 解得 6 5， 2 5， 所以 8 5. 解法二：不妨设正方形边长为 2，以 A 为坐标原点，AB 方向为 x 轴正方向， AD 方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系，则AC (2，2)，AM (2，1)，BN (1，2) 由AC AM BN 有 22， 22，
8、解得 6 5， 2 5， 8 5.故填 8 5. 考点一考点一 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 (1)(2019浙江高一期中)已知 A(2，5)， B(10，3)，点 P 在直线 AB 上， 且PA 1 3PB ，则点 P 的坐标是 ( ) A(8，9) B(1，3) C(1，3) D(8，9) 解：设 P(x，y)，因为 A(2，5)，B(10，3)，点 P 在直线 AB 上，所以PA (2x，5y)，PB (10 x，3y) 因为PA 1 3PB ， 则有 2x1 3（10 x）， 5y1 3（3y）. 解得 x1， y3. 所以 P(1， 3) 故 选 B. (2)已知梯形 ABC
9、D，其中 ABCD，且 DC2AB，三个顶点 A(1，2)，B(2， 1)，C(4，2)，则点 D 的坐标为_ 解：因为在梯形 ABCD 中，DC2AB，ABCD，所以DC 2AB .设点 D 的坐标为(x，y)， 则DC (4，2)(x，y)(4x，2y)， AB (2，1)(1，2)(1，1)， 所以(4x，2y)2(1，1)，即(4x，2y)(2，2)， 所以 4x2， 2y2， 解得 x2， y4，故点 D 的坐标为(2，4) 故填(2，4) 【点拨】 平面向量坐标运算的技巧： 向量的坐标运算常建立 在向量的线性运算的基础之上，若已知有向线段两端点的坐标，则 应考虑坐标运算；解题过程中
10、，常利用“向量相等，则其坐标相 同”这一原则，通过列方程(组)进行求解 (1)(2020届TOP300八月尖子生联考)已知 A(1，2)，B(2，1)，若点 C 满足AC AB 0，则点 C 的坐标为 ( ) A. 1 2， 1 2 B(3，3) C(3，3) D(4，5) 解：设 C(x，y)，由AC AB 0 得AC BA ，即(x1，y2)(3，3)， 所以 x13， y23， 解得 x4， y5， 所以点 C 的坐标为(4，5)故选 D. (2)已知三点 A(a，0)，B(0，b)，C(2，2)，其中 a0，b0.若 O 是坐标原 点，且四边形 OACB 是平行四边形，则 ab_. 解
11、：因为四边形 OACB 是平行四边形， 所以OA BC ，即(a，0)(2，2b)， a2， 2b0，解得 a2， b2. 则 ab4. 故填 4. 考点二考点二 平面向量基本定理及其应用平面向量基本定理及其应用 (1)(2020辽宁辽阳模拟)已知 O 为ABC 内一点， 且满足OA 3OB 5OC 0，延长 AO 交 BC 于点 D.若BD DC ，则 _. 解： 由于OA 3OB 5OC 0， 所以OA 3(AB AO )5(AC AO )0， 所以 9AO 3AB 5AC ，即AO 1 3AB 5 9AC .因为BD DC ，即AD AB (AC AD )，化简得AD 1 1AB 1AC
12、 ，设AO kAD k 1AB k 1AC ，所以 k 1 1 3， k 1 5 9， 解得 5 3.故填 5 3. (2)(2019河北石家庄质检)已知AB 与AC 的夹角为 90，|AB |2，|AC |1， AM AB AC (， R)，且AM BC 0，则 的值为_ 解：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系， 则 A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，所以AB (0，2)，AC (1，0)，BC (1，2)设 M(x，y)，则AM (x，y)，所以AM BC (x，y) (1，2)x2y0，即 x2y，又AM AB AC ，即(x，y)(0，2)(1，0)(，2)，所以 x，y2
13、，所以 1 2y x 1 4. 故填1 4. 【点拨】 应用平面向量基本定理应注意： 平面向量基本定理中的 基底必须是两个不共线的向量；选定基底后，通过向量的加、减、数 乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来；强 调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的 几何性质，如平行、相似等；在基底未给出的情况下，合理地选取基 底会给解题带来方便 (1)(2019吉林延边二中高一月考)如图，ADDB，AEEC，CD 与 BE 交于 F， 设BA a，BC b，AF xayb，则(x，y)为( ) A. 1 3， 1 3 B. 2 3， 1 3 C. 1 3， 2 3
14、 D. 2 3， 1 3 解：延长 AF 交 BC 于点 M. 因为 ADDB，AEEC，CD 与 BE 交于 F，所以点 F 是ABC 的重心， 所以AF 2 3AM 2 3 1 2(AB AC )1 3(AB AC )1 3(BA BC BA )2 3a 1 3b. 又因为AF xayb，所以 x2 3， y1 3， 则(x，y)为 2 3， 1 3 .故选 B. (2)如图， 已知平面内有三个向量OA ， OB ， OC ， 其中OA 与OB 的夹角为 120， OA 与OC 的夹角为 30，且|OA |OB |1，|OC |2 3，若OC OA OB (， R)，则 的值为_ 解法一：
15、以 OA 和OB 为邻边作平行四边形 OB1CA1，如图，则OC OB1 OA1 . 因为OA 与OB 的夹角为 120，OA 与OC 的夹角为 30， 所以B1OC90，在 RtOB1C 中，|OC |2 3， 所以|OB1 |2，|B1C |4，所以|OA1 |B1C |4， 所以OC 4OA 2OB ，即 6. 解法二：以 O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(1，0)，C(2 3cos30，2 3sin30 )，B(cos120，sin120)即 A(1，0)，C(3， 3)，B 1 2， 3 2 . 由OC OA OB (1，0) 1 2， 3 2 1 2， 3 2 ，即
16、 1 2， 3 2 (3， 3)， 得 1 23， 3 2 3， 所以 2， 4，即 6.故填 6. 考点三考点三 共线向量的坐标表示及应用共线向量的坐标表示及应用 (1)(2018全国卷)已知向量 a(1，2)，b(2，2)，c(1， )， 若 c(2ab)，则 _. 解：由题可得 2ab(4，2)，因为 c(2ab)，c(1，)，所以 4 20，即 1 2.故填 1 2. (2)(2020河南高三9月质检)已知向量 a(1，3)，b 2，1 2 ，若 c(a2b)，则单位向量 c( ) A. 3 5， 4 5 或 3 5， 4 5 B. 3 5， 4 5 或 3 5， 4 5 C. 2 2
17、 ， 2 2 或 2 2 ， 2 2 D. 2 2 ， 2 2 或 2 2 ， 2 2 解：由 a(1，3)，b 2，1 2 ，得 a2b(3，4)又 c(a2b)，所以存在实 数 ，使 c(a2b)，所以|c|a2b|，所以| |c| |a2b| 1 5，所以 1 5，所以 c 3 5， 4 5 或 3 5， 4 5 .故选 B. 【点拨】 两平面向量共线的充要条件有两种形式：若 a(x1，y1)，b(x2， y2)，则 ab(b0)的充要条件是 x1y2x2y10；ab(a0)，当且仅当唯一一个 实数 ，使 ba.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参 数当两向量的坐标均
18、非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解 (1)已知向量 a(2，tan )，b(1，1)，且 ab，则 tan 4 ( ) A2 B3 C3 D1 3 解：由题意可得 tan2， 则 tan 4 tan 4 tan 1tan 4 tan 3.故选 B. (2)(2020 河南新乡市第一中学高三月考)在同一平面内，已知OA (0，3)，OB (1m，6)，OC (m2，2)，若以 A，B，C 为顶点可以构成一个三角形，则 m 的取值范围是_ 解：由题意AB (1m，3)，AC (m2，5)，若AB ，AC 共线，则5(1m) 3(m2)，解得 m11 2 ，所以 A，B，C 三点构成三角形时有 m11 2 .故填 m|m11 2 .