1、54 复数的概念及运算复数的概念及运算 【教材梳理】 1 虚数单位为 i， 规定： i2_， 且实数与它进行四则运算时， 原有的加法、 乘法的_ 仍然成立 2复数的概念 形如：abi(a，bR)的数叫复数，其中 a 叫做复数的_，b 叫做复数的_ (1)当_时，复数 abi 为实数 (2)当_时，复数 abi 为虚数 (3)当_且_时，复数 abi 为纯虚数 3复数相等的充要条件 abicdi(a，b，c，dR) _，特别地，abi0_. 4复数 zabi(a，bR)与复平面上的点 Z(a，b)、平面向量OZ 都可建立_的关系(其 中 O 是坐标原点) 5在复平面内，实轴上的点都表示_；虚轴上
2、的点除_外都表示_ 6复数的模 向量OZ 的模 r 叫做复数 zabi(a， bR)的模， 记作_或|abi .即| | z |abi r_(r0， rR) 7共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为_，复数 z 的共轭复数记作 _ 8数系的扩充 数集扩充的过程是：自然数集(N)_复数集(C)数集的每一次扩充，都 使得在原有数集中能实施的运算，在新的数集中仍能进行，并且解决了在原有数集中某种运算不可实施的矛盾 9复数的加、减、乘、除的运算法则 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 (1)z1z2_. (2)z1z2_. (3)z1 z2(z20
3、) _ 10复数加、减法的几何意义 以复数 z1，z2分别对应的向量OZ1 ，OZ2 为邻边作平行四边形 OZ1ZZ2， 对角线 OZ 表示的向量OZ 就是_z1z2对应的向量是 _ 【常用结论】 11(1 i)22i；1i 1ii， 1i 1ii. 12i4n1，i4n 1i，i4n21，i4n3i，其中 nN*；inin1in2in30， 其中 nN. 13zz|z|2|z|2，|z1z2|z1|z2|， z1 z2 |z1| |z2|，|z n|z|n. 14210， 31，其中 1 2 3 2 i. 【自查自纠】 11 运算律 2实部 虚部 b0 b0 a0 b0 3ac 且 bd a
4、b0 4一一对应 5实数 原点 纯虚数 6.| | z a2b2 7共轭复数 z 8整数集(Z) 有理数集(Q) 实数集(R) 9(1)(a c)(b d)i (2)(acbd)(adbc)i (3)acbd c2d2 bcad c2d2 i 10复数 z1z2所对应的向量 Z2Z1 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“” ，错误的画“” (1)方程 x2x10 没有解 ( ) (2)复数 zabi(a，bR)中，虚部为 bi. ( ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数都可以比较大小 ( ) (4)原点是实轴与虚轴的交点 ( ) (5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距
5、离，也就是复数对 应的向量的模 ( ) 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5). (2020全国新高考卷) 2i 12i ( ) A1 B1 Ci Di 解： 2i 12i （2i）（12i） （12i）（12i） 5i 5 i.故选 D. (2020全国卷)若 z1i，则|z22z| ( ) A0 B1 C. 2 D2 解：z22z2i2(1i)2.故|z22z|2|2.故选 D. (2019全国卷)设复数 z 满足|zi|1，z 在复平面内对应的点 为(x，y)，则( ) A(x1)2y21 B(x1)2y21 Cx2(y1)21 Dx2(y1)21 解：由题意知 zxyi，则
6、 zix(y1)i，|zi| x2（y1）21， 则 x2(y1)21.故选 C. (2019江西高二期末）若实数 m，n 满足 i2 021(4mi)(n2i)2，且 zmni， 则|z|_ 解：因为 i2 021i，所以已知等式可变形为 i(4mi)n24ni4，即m4in24ni4， 所以 mn24， 44n， 解得 m3， n1， 所以 z3i，|z|91 10.故填 10. 考点一考点一 复数的概念复数的概念 (1)【多选题】下列命题不正确的是 ( ) A若 zmni(m，nR)，则当且仅当 m0，n0 时，z 为纯虚数 B若(z1z2)2(z2z3)20，则 z1z2z3 Cxyi
7、1ixy1 D若实数 a 与 ai 对应，则实数集与纯虚数集一一对应 解：A 显然正确； 对于 B，当 z11，z20，z3i 时满足条件，而结论不成立； 对于 C，只有当 x，yR 时命题才正确； 对于 D，若 a0，则 0 i0 不是纯虚数故选 BCD. (2)(2020全国卷)复数 1 13i的虚部是 ( ) A 3 10 B 1 10 C. 1 10 D. 3 10 解：因为 z 1 13i 13i （13i）（13i） 1 10 3 10i，所以复数 z 1 13i的虚部为 3 10. 故选 D. (3)(2019陕西高考模拟)已知 a，bR，(ai)ib2i，则 abi 的 共轭复
8、数为 ( ) A2i B2i C2i D2i 解：由(ai)i1aib2i，得 1b， a2，所以 abi2i，其共 轭复数为2i.故选 A. (4)已知复数 z 满足 z2|z|2i，则|z|_. 解：设 zabi(a，bR)，代入 z2|z|2i，得 abi2|abi|2i，所以 abi2 a2b22i， 所以 a2 a2b22， b1， 解得 a0， b1，或 a4 3， b1. 所以|z|02121 或|z| 4 3 2 125 3.故填 1 或 5 3. 【点拨】 处理与复数概念有关的问题，首先找准复数的实部与虚部，若复 数为非标准的代数形式，应通过代数运算将其化为标准的代数形式，然
9、后根据定 义解题，复数问题实数化是解决复数问题最基本的思想方法复数概念中应注 意的几点：(i)对于复数 mni，如果 m，nC(或没有明确界定 m，nR)，则不 可想当然地判定 m，nR；(ii)易误认为 y 轴上的点与纯虚数一一对应(注意原点 除外)； (iii)对于 abi(a， bR)为纯虚数的充要条件， 只注意了 a0 而漏掉了 b0. (1)【多选题】(2020届上海市吴淞中学高三上开学考)已知 z 为复数，则下列命题 正确的是 ( ) A若 zz，则 z 为实数 B若 z20，则 z 为纯虚数 C若|z1|z1|，则 z 为纯虚数 D “z2R”是“zR”的必要不充分条件 解：设
10、zabi(a，bR)，则zabi，若 zz，则 b0，则 z 为实数，A 正确；z2 a2b22abi0，则 ab0 且 a2b20，所以 a0 且 b0，则 z 为纯虚数，B 正确；由|z 1| （a1）2b2|z1| （a1）2b2得 a0， 则 z 为 0 或纯虚数， C 不正确； zR 显然可推出 z2R，但反之不成立，如 zi，D 正确故选 ABD. (2)(2020届四川成都外国语学校高三期中)已知 i 是虚数单位， 则复数 z37i i 的 实部和虚部分别为( ) A7，3i B7，3 C7，3i D7，3 解：由题得 z37i i 3i7 i2 3i7 1 73i，所以复数 z
11、 的实部和虚部分 别为 7 和3.故选 D. (3)(2020浙江高三)已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z(1i)46i，则 z 的 共轭复数z为 ( ) A15i B15i C15i D15i 解：因为 z46i 1i （46i）（1i） （1i）（1i） 15i，所以z15i. 故选 C. (4)(2020全国卷)若 z12ii3，则|z| ( ) A0 B1 C. 2 D2 解：因为 z12ii312ii1i，所以|z| 1212 2.故选 C. 考点二考点二 复数的几何意义复数的几何意义 (1)(2019湖南高考模拟)在复平面内表示复数mi mi的点位于第一象限，则实数 m 的取
12、值范围是( ) A(，1) B(，0) C(0，) D(1，) 解：mi mi （mi）2 （mi）（mi） m21 m21 2mi m21，对应点的坐标为 m21 m21， 2m m21 ，因为mi mi对应的点在 第一象限内，所以满足 2m m210， m21 m210， 所以 m(1，)故选 D. (2)(2020全国卷)设复数 z1，z2满足|z1|z2|2，z1z2 3i，则|z1z2| _ 解法一：如图所示，设复数 z1，z2所对应的点为 Z1，Z2，OP OZ 1OZ 2，由已知|OP | 31 2|OZ1 |OZ2 |，所以平行四边形 OZ1PZ2为菱形， 且OPZ1，OPZ2
13、都是正三角形，所以Z1OZ2120，|Z1Z2|2|OZ1|2|OZ2|2 2|OZ1|OZ2|cos1202222222(1 2)12，所以|z1z2|Z2Z1|2 3. 解法二：设 z1abi(aR，bR)，z2cdi(cR，dR)，所以 z1z2ac(b d)i 3i，所以 ac 3， bd1， 又|z1|z2|2，所以 a2b24，c2d24，所以(ac)2 (bd)2a2c2b2d22(acbd)4，所以 acbd2，所以|z1z2|(ac)(b d)i| （ac）2（bd）2 82（acbd） 842 3.故填 2 3. 【点拨】 复数的两种几何意义：一是复数 zabi 与复平面内
14、的点 Z(a，b)一一对应；二 是复数 zabi 与平面向量OZ 一一对应，其中 a，bR.由几何意义可知|z|可表示复数 z 对应的 点与原点的距离|z1z2|可表示两点的距离，即表示复数 z1与 z2对应的点的距离 (1)(2020届开封市高三第一次模拟)在复平面内，复数ai 1i对应的点位 于直线 yx 的左上方，则实数 a 的取值范围是( ) A(，0) B(，1) C(0，) D(1，) 解：因为复数ai 1i 1a（1a）i 2 ， 又复数ai 1i对应的点位于直线 yx 的左上方， 则1a 2 1a 2 ，即 a0.故选 A. (2)(2020 陕西延安中学高三期末)若 zC，且
15、|z22i|1，则|z22i| 的最小值是( ) A2 B3 C4 D5 解：设 zxyi(x，yR)，则|z22i|x2(y2)i|1，所以(x2)2 (y2)21，表示圆心为(2，2)，半径为 r1 的圆|z22i|(x2)(y 2)i|（x2）2（y2）2，表示点(x，y)和(2，2)之间的距离，故|z2 2i|min|2(2)|r413.故选 B. 考点三考点三 复数的运算复数的运算 (1)(2020 上海市建平中学高二期末)若复数 z 与其共轭复数 z 满足|z| 3，zz2，则 z3 z_. 解：设 zabi(a，bR)，则zabi，又|z| 3，zz2， 所以 a2b23， 2a
16、2， 因此z3 zabi 3（abi） （abi）（abi）abi 3（abi） a2b2 a biabi2a2.故填 2. (2)i 是虚数单位，计算 2i2 （1i）2 2 1i 2 022_. 解：因为2（i1） （1i）2 2 i1(i1)， 2 1i 2 022 21 011 （2i）1 011i，所以 原式 (i1)i1i.故填 1i. 【点拨】 复数的计算除了掌握基本运算法则外， 最好熟记一些常见算式运算 的结果，这对提高运算的速度和准确度都有很大的帮助，详见本节【常用结论】 除法的关键是“分母实数化” (1)计算 1i （1i）2 1i （1i）2_ 解：原式1i 2i 1i 2i 2i 2i 1.故填1. (2) 1 3i 12i 5 的实部为_ 解： 1 3i 12i 5 1 （3i）（12i） （12i）（12i） 5(136ii2i 2 5 )5(2i)5，由二 项展开式 Tr1Cr 52 5r(i)r 和 i 的偶次幂为实数可知， 1 3i 12i 5 的实部为 25C2 52 3 C4 52 138.故填38.