1、72 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 【教材梳理】 1平面的基本性质 (1)公理 1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线在此平面内它的作用 是可用来证明点在平面内或_ (2)公理 2：过_上的三点，有且只有一个平面 公理 2 的推论如下： 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 经过两条平行直线，有且只有一个平面 公理 2 及其推论的作用是可用来确定一个平面，或用来证明点、线共面 (3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们_过该点的公共直 线它的作用是可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线
2、、三线共点等问题 2空间两条直线的位置关系 (1)位置关系的分类 共面直线 相交直线：同一个平面内，有且只有 平行直线：同一个平面内， 异面直线：不同在任何一个平面内， (2)异面直线 定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 注：异面直线定义中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指“不可能找到一个平面能同 时经过这两条直线”，也可以理解为“既不平行也不相交的两条直线”，但是不能理解为“分别 在两个平面内的两条直线” 异面直线的画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交，也不共面的特 点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性 异面直线所成的角：已知两条异面直线 a，b，
3、经过空间任一点 O 作直线 aa，bb， 把 a与 b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)异面直线所成角的范围是 _若两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线_， 所以空间两条直线垂直分为相交垂直和_ 3平行公理 公理 4：平行于_的两条直线互相平行(空间平行线的 传递性)它给出了判断空间两条直线平行的依据 4等角定理 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个 角_ 【常用结论】 5唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直 (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 (4
4、)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 6异面直线的判定定理 平面外经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线 【自查自纠】 1(1)两点 直线在平面内 (2)不在一条直线 (3)有且只有一条 2(1)一个公共点 没有公共点 没有公共点 (2) 0， 2 互相垂直 异面垂直 3同一条直线 4相等或互补 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“” (1)如果两个不重合的平面 ， 有一条公共直线 a，就说平面 ， 相交，并记作 a ( ) (2)两个平面 ， 有一个公共点 A，就说 ， 相交于过 A 点的任意一条直线 ( ) (3)两个平面 ABC 与 DBC 相
5、交于线段 BC ( ) (4)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分 ( ) (5)若 a，b 是两条直线， 是两个平面，且 a，b，则 a，b 是异面直线 ( ) 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5) (2021广西柳州模拟)已知 a， b 是两条直线， 则“a， b 没有公共点”是“a， b 是异面直线”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 解：因为 a，b 没有公共点，a，b 可能平行也可能异面， 所以“a，b 没有公共点”推不出“a，b 是异面直线”， 反之， “a，b 是异面直线”可以推出“a，b 没有公共点”， 所以“a，
6、 b 没有公共点”是“a， b 是异面直线”的必要不充分条件故 选 B (2020浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线 l，m，n“l，m，n 共面”是“l，m，n 两两相交”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解：依题意，l，m，n 是空间中不过同一点的三条直线， 当 l，m，n 在同一平面时，可能 mnl，故不能得出 l，m，n 两两相交 当 l，m，n 两两相交时，设 mnA，mlB，nlC，根据公理 2 可知 m，n 确 定一个平面 ，而 Bm，Cn，根据公理 1 可知，直线 BC 即 l，所以 l，m，n 在同一平面 综上所述，
7、“l，m，n 共面”是“l，m，n 两两相交”的必要不充分条件故选 B (2019全国卷)如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平 面 ECD平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则( ) ABMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 CBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 解：连接 BD，BE，并过 E 作 EHCD 于 H，连接 HN则 BM BC2CM2 7 2 BC， EN EH2HN2BC，故 BMEN在BDE 中，易知 N 是 BD 的中点，所以 BM，EN 是 相
8、交直线故选 B 如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCD- A1B1C1D1中，O 是底面 ABCD 的中心，E，F 分别是 CC1， AD 的中点， 那么异面直线 OE 与 FD1所成的角的余弦值等于_ 解：取 BC 的中点 G，连接 GC1，则 GC1FD1，再取 GC 的中点 H，连接 HE，OH 因为 E 是 CC1的中点，所以 GC1EH 所以OEH 即为异面直线 OE 与 FD1所成的角 在OEH 中，OE 3，HE 5 2 ，OH 5 2 cosOEH OE 2 EH 15 5 故填 15 5 考点一 平面的基本性质 已知在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，E，F 分别为
9、 D1C1，C1B1的中点， ACBDP，A1C1EFQ求证： (1)D，B，F，E 四点共面； (2)若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P，Q，R 三点共线； (3)DE，BF，CC1三线交于一点 证明：(1)如图所示 因为 EF 是D1B1C1的中位线，所以 EFB1D1在正方体 AC1中，B1D1BD，所以 EFBD所以 EF，BD 确定一个平面，即 D，B，F，E 四点共面 (2)在正方体 AC1中，设平面 AA1C1C 为 ， 又设平面 BDEF 为 因为 QA1C1，所以 Q 又 QEF，所以 Q所以 Q 是 与 的公共点同理，P 是 与 的公共点所以 PQ 又 A1C
10、R，所以 RA1C，R，且 R 则 RPQ，故 P，Q，R 三点共线 (3)因为 EFBD 且 EFBD， 所以 DE 与 BF 相交，设交点为 M， 则由 MDE，DE平面 D1DCC1， 得 M平面 D1DCC1， 同理， 点 M平面 B1BCC1又平面 D1DCC1平面 B1BCC1CC1， 所以 MCC1 所以 DE，BF，CC1三线交于点 M 【点拨】 证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利 用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个 平面， 再证第四个点也在这个平面内即可； 要证明点共线问题， 关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理 3，即证点在两 个平面的交
11、线上，本题即采用这种证法；或者选择其中两点确定 一直线， 然后证明另一点也在直线上； 证明空间三线共点问题， 先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转 化为证明点在直线上 如图， 空间四边形 ABCD 中，E， F 分别是 AB，AD 的中点，G， H 分别在 BC，CD 上，且 BGGCDHHC12 (1)求证：E，F，G，H 四点共面； (2)设 EG 与 FH 交于点 P，求证：P，A，C 三点共线 证明：(1)因为 E，F 分别为 AB，AD 的中点， 所以 EFBD 在BCD 中，因为BG GC DH HC 1 2， 所以 GHBD，所以 EFGH 所以 E，F，G，
12、H 四点共面 (2)因为 EGFHP，PEG，EG平面 ABC， 所以 P平面 ABC同理 P平面 ADC 所以 P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点 又平面 ABC平面 ADCAC， 所以 PAC，即 P，A，C 三点共线 考点二 判断两条直线的位置关系 【 多 选 题 】 ( 2020山东烟台适应性训练 ) 如 图 所 示 ， 在 正 方 体 ABCD- A1B1C1D1中，M，N 分别为棱 C1D1，C1C 的中点，则下列结论正确的是 ( ) A直线 AM 与 C1C 是相交直线 B直线 AM 与 BN 是平行直线 C直线 BN 与 MB1是异面直线 D直线 MN 与 AC 所成
13、的角为 60 解：A 中，CC1平面 CDD1C1，M平面 CDD1C1，A平面 CDD1C1，M CC1，可知 AM 与 CC1为异面直线，故 A 错误； B 中，取 DD1的中点 P，连接 AP，易知 BNAP，APAMA，可知 BN 与 AM 不平行，故 B 错误； C 中，BN平面 BCC1B1，B1平面 BCC1B1，M平面 BCC1B1，B1BN， 可知 BN 与 MB1异面，可知 C 正确； D 中，M，N 分别为棱 C1D1，C1C 的中点，可知 MNCD1，则直线 MN 与 AC 所成角即为D1CA，又AD1C 为等边三角形，可得D1CA60，可知 D 正确故选 CD 【点拨
14、】 空间两条直线位置关系的判定方法： 【多选题】(2019山东东营检测)下列命题中正确的是( ) A没有公共点的两条直线是异面直线 B分别和两条异面直线都相交的两直线异面 C一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行 D一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面 解：没有公共点的两条直线平行或异面，故 A 错；B 错，此时两直线有可能相 交；C 正确，因为若直线 a 和 b 异面，ca，则 c 与 b 不可能平行，用反证法证明 如下：若 cb，又 ca，则 ab，这与 a，b 异面矛盾，故 c 与 b 不平行；D 正确， 若 c 与两异面直线 a，b 都相交，可知
15、 a，c 可确定一个平面，b，c 也可确定一个平 面，这样，a，b，c 共确定两个平面故选 CD 考点三 异面直线所成的角 (1)(2018全国卷)在正方体 ABCD- A1B1C1D1中， E 为棱 CC1的中 点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为( ) A 2 2 B 3 2 C 5 2 D 7 2 解：如图所示，作出正方体 ABCD- A1B1C1D1，连接 AE，取 DD1的中点 F， 连接 EF，AF， 则 CDEF，则AEF 为异面直线 AE 与 CD 所成的角，因为 EF平面 ADD1A1，且 AF平面 ADD1A1，所以 EFAF在 RtAEF 中，设 EF2，则
16、AD2，DF1，所以 AF AD2DF2 5，所以 tanAEFAF EF 5 2 故选 C (2)(2021湖北省八校联考)正三棱柱 ABC- A1B1C1中，AA1 2AB，D 是BC的 中 点 ， 则 异 面 直 线AD与A1C所 成 的 角 为 ( ) A 6 B 4 C 3 D 2 解：如图，取 B1C1的中点 E，连接 A1E，CE， 在正三棱柱 ABC- A1B1C1中，BB1底面 A1B1C1，而 A1E底面 A1B1C1，所以 BB1A1E， 由正三棱柱的性质可知，A1B1C1为等边三角形，所以 A1EB1C1，且 A1EB1C1E，所以 A1E平面 BB1C1C，而 EC平
17、面 BB1C1C，则 A1EEC，又 A1EAD，A1EC90，所以 CA1E 即为异面直线 AD 与 A1C 所成的角， 不妨设 AB2，则 AA12 2，A1E 3，CE3， 则 tanCA1E CE A1E 3 3 3，所以CA1E 3故选 C 【点拨】 平移直线法是求异面直线所成角的常用方法， 其基本思路 是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：(i) 平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；(ii)认定： 证明作出的角就是所求异面直线所成的角；(iii)计算：求该角的值，常利用 解三角形；(iv)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 0， 2 ，
18、可知当求 出的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角求异面直 线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围 (1)(2021湖南长郡中学联考)在底面边长为 2 的正四棱锥 P- ABCD 中，异 面直线 PC 与 AD 所成角的正切值为 3，则四棱锥 P- ABCD 外接球的表面积为( ) A25 4 B25 2 C25 2 8 D9 2 解：因为 ADBC，所以异面直线 PC 与 AD 所成角即为PCB， 作 PHBC 于 H，则PH HC3，又 HC1，则 PH3， 设 P 在底面的投影为 O，则 PO 912 2， 如图，设球心为 O，半径为 R，则 OB2OO2OB2， 所以 R2(2 2R)22，所以 R 5 2 2，S4R 225 2 故选 B (2)(2020太原三模)如图是各棱长均相等的某三棱锥表面展开图， Q 是 DF 的中点则在原三棱锥中 BQ 与 EF 所成角的余弦值为_ 解：展开图还原为直观图 A- DEF，如图所示，取 DE 中点 M，连 MQ，AM，设三棱锥的各棱长 为 a，Q 是 DF 的中点，所以 MQEF，所以AQM(或补角)为 BQ 与 EF 所成的角， 在AQM 中，AQAM 3a 2 ，MQ1 2a，所以 cosAQM 1 2MQ AQ 1 4 3 2 3 6 ，原三棱锥中 BQ 与 EF 所成角的余弦值为 3 6 故填 3 6