1、75 空间直角坐标系、空间向量及其运算空间直角坐标系、空间向量及其运算 【教材梳理】 1空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间，我们把具有_和_的量叫做空间向 量 (2)零向量：规定_的向量叫做零向量 (3)单位向量：_的向量称为单位向量 (4)相反向量：与向量 a_的向量，称为 a 的相反向量，记为a (5)相等向量：_的向量称为相等向量 (6)空间向量的加法运算满足交换律及结合律： ab_；(ab)c_ 2空间向量的数乘运算 (1)向量的数乘：实数 与空间向量 a 的乘积 a 仍然是一个向量，称为向量的数乘 当 _0 时， a 与向量 a 方向相同； 当 _0 时， a 与向量 a 方
2、向相反 a 的长度是向量 a 的长度的_倍 (2)空间向量的数乘运算满足分配律及结合律： 分配律： (ab)_ 结合律：(a)_ (3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线_，则这些向量叫 做共线向量或平行向量 (4) 共 线 向 量 定 理 ： 对 空 间 任 意 两 个 向 量 a ， b()b0 ， ab 的 充 要 条 件 是 _ (5)空间直线 l 的方向向量： 和直线 l_的非零向量 a 叫做直线 l的方向向量 (6)空间直线的向量表示：l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线，对空 间任意一点 O，点 P 在直线 l 上的充要条件是_，特别地， 如果 aA
3、B ，则上式可以化为OP OA tAB ，或_，这也是空间三点 A， B，P 共线的充要条件 (7)共面向量：_的向量叫做共面向量 (8)空间共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的 充要条件是_ 推论：对空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，满足向量关系式 _，其中_，则点 P 与点 A，B，C 共面 3空间向量的数量积运算 (1)空间向量的数量积：已知两个非零向量 a，b，则_叫做 a，b 的数量积，记 作 a b，通常规定，0a，b对于两个非零向量 a，b，ab_ (2)空间零向量与任何向量的数量积为_ (3)a a| |a| |a cos
4、a，a_ (4)空间向量的数量积满足如下的运算律： (a) b_； a b_(交换律)； a (bc)_(分配律) 4直线的方向向量 (1)与直线 l_的非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量 (2)空间中任意一条直线 l，可以通过 l 上的一个定点 A 和 l 的一个方向向量 a 来确定设点 P 是l上的任意一点， 则l有向量表示形式_， 其中t为实数， 这种形式叫做直线的点向式注 意同一条直线的点向式表示不唯一 5空间向量基本定理 如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组_，使 得_其中，a，b，c叫做空间的一个_，a，b，c 都叫做_ 6空间直角坐标系 (
5、1)如果空间的一个基底的三个基向量_，且长都为_，则 这个基底叫做单位正交基底，常用i，j，k来表示(其中|i|j|k|1) (2)在空间选定一点 O 和一个单位正交基底i，j，k ，以 O 为原点，分别以 i，j，k 的方向为 正方向建立三条数轴：_，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一 个空间直角坐标系 Oxyz，点 O 叫做原点，向量 i，j，k 都叫做坐标向量通过每两个坐标轴的平 面叫做坐标平面，分别称为 xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面 (3)建系时，一般使xOy135(或 45)，yOz90，建立_手直角坐标系 (4)在空间直角坐标系中有一点 A，若OA xiyjzk，则有
6、序实数组_叫做点 A 在此空间直角坐标系中的坐标，记作_其中 x 叫做点 A 的横坐标，y 叫做点 A 的 纵坐标，z 叫做点 A 的_ 7空间向量的直角坐标运算 设 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，a，b 是非零向量，则 (1)向量加法：ab_ (2)向量减法：ab_ (3)数乘：a_ (4)数量积：a b_ (5)平行：ab(b0)_x1x2，_，_ (6)垂直：ab_ (7)向量 a 的模| |a _ (8)向量 a 与 b 夹角公式： cosa，b a b |a|b|_ (9)点坐标和向量坐标：若点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB _，线 段 A
7、B 的长度 dAB| | AB _ 8平面的法向量和法向量的求法 (1)平面的法向量： 已知平面， 直线l， 取直线l的方向向量a， 则_ 叫做平面 的法向量 (2)平面的法向量的求法： 若能直接观察出垂直于平面的向量， 则此向量即是法向量， 否则，一般按如下步骤求解： 设出平面的法向量为 n(x，y，z)； 找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)； 根据法向量的定义建立关于 x，y，z 的方程组_； 解方程组，取其中的一个解，即得法向量由于一个平面的法向量有 _个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量 【常用结论】 9A 为 B
8、C 的中点，O 为空间任一点，则OA OB OC 2 10设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，若 G(x，y，z)为ABC 的重心， 则 x x1x2x3 3 ， yy1y2y3 3 ， zz1z2z3 3 ， 此即为三角形重心坐标公式 【自查自纠】 1(1)大小 方向 (2)长度为 0 (3)模为 1 (4)长度相等而方向相反 (5)方向相同且模相等 (6)ba a(bc) 2(1) | | (2)ab ()a (3)互相平行或重合 (4)存在实数 ，使 ab (5)平行 (6)存在实数 t，使OP OA ta OP ()1t OA tOB (7)平行
9、于同一个平面 (8)存在惟一的有序实数对(x，y)，使 pxayb OP xOA yOB zOC xyz1 3(1)| |a| |b cosa，b a b0 (2)0 (3)| |a 2 (4)(a b) b a a ba c 4(1)平行 (2)AP ta 5x，y，z pxaybzc 基底 基向量 6(1)两两垂直 1 (2)x 轴，y 轴，z 轴 (3)右 (4)(x，y，z) A(x，y，z) 竖坐标 7(1)(x1x2，y1y2，z1z2) (2)(x1x2，y1y2，z1z2) (3)(x1，y1，z1) (4)x1x2y1y2z1z2 (5)ab y1y2 z1z2 (6)a b
10、0 x1x2y1y2z1z20 (7) a a x2 1y 2 1z 2 1 (8) x1x2y1y2z1z2 x2 1y 2 1z 2 1 x2 2y 2 2z 2 2 (9)(x2x1，y2y1，z2z1) （x2x1）2（y2y1）2（z2z1）2 8(1)向量 a (2) n aa1xb1yc1z0， n ba2xb2yc2z0 无数 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“” (1)点 P(x，y，z)关于 xOy 坐标面的对称点是(x，y，z) ( ) (2)空间中任意三个向量都可以作为基底 ( ) (3)两异面直线方向向量所成的角就是两异面直线所成的角 ( ) (4
11、)平面的法向量不唯一，但单位法向量是唯一的 ( ) (5)证明线面平行，只需证明直线与平面的法向量平行 ( ) 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5) (2020辽阳市集美中学月考)已知点 A(1t，1t，t)，B(2，t，t)，则 A，B 两 点的距离的最小值为 ( ) A3 10 10 B 5 5 C3 5 5 D3 5 解：因为点 A(1t，1t，t)，B(2，t，t)， 所以|AB 2 (1t)2(2t1)2(tt)25t22t2， 由二次函数图象易知，当 t1 5时，取得最小值 9 5，所以| |AB 的最小值为3 5 5 故 选 C 已知 a(1，0，2)，b(6，2
12、1，2 )，若 ab，则 与 的值可以 是( ) A2，1 2 B 1 3， 1 2 C3，2 D2，2 解：因为 ab，所以 bka(kR，k0)， 即(6，21，2)k(1，0，2)， 所以 6k（1）， 210， 22k， 解得 2， 1 2 或 3， 1 2 故选 A 如图所示，已知空间四边形 OABC，OBOC，且AOBAOC 3，则 cosOA ， BC 的值为( ) A0 B1 2 C 3 2 D 2 2 解：设OA a，OB b，OC c，由已知条件a，ba，c 3， 且|b|c|，OA BC a (cb)aca b1 2|a|c| 1 2|a|b|0，所以 cosOA ， B
13、C 0故选 A 如图，在大小为 45的二面角 A- EF- D 中，四边形 ABFE，四边形 CDEF 都是 边长为 1 的正方形，则 B，D 两点间的距离是_ 解：因为BD BF FE ED ， 所以|BD |2|BF |2|FE |2|ED |22BF FE 2FE ED 2BF ED 111 2 3 2， 所以|BD |3 2故填3 2 考点一 空间向量的线性运算 (1)(2019吉林一中模拟)如图，空间四边形 ABCD 中，若向量AB (3，5，2)，CD (7，1，4)，点 E，F 分别为线段 BC，AD 的中点，则EF 的坐标为 ( ) A(2，3，3) B(2，3，3) C(5，
14、2，1) D(5，2，1) 解：取 AC 的中点 M，连接 ME，MF，ME 1 2AB (3 2， 5 2，1)，MF 1 2CD 7 2， 1 2，2 ，而EF MF ME (2，3，3)故选 B (2)已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB，AC，M，N 分别是边 OA，CB 的中点，点 G 在线段 MN 上，且使 MG2GN，则用向量OA ，OB ，OC 表示向量OG 正确的是( ) AOG OA 2 3OB 2 3OC BOG 1 2OA 2 3OB 2 3OC COG 1 6OA 1 3OB 1 3OC DOG 1 6OA 1 3OB 2 3OC 解：OG OM MG 1 2O
15、A 2 3MN 1 2OA 2 3(ON OM )1 2OA 2 3( 1 2OB 1 2OC 1 2OA )1 6OA 1 3OB 1 3OC 故选 C 【点拨】 用基向量表示指定向量的步骤： 结合已知向量和所求向 量观察图形；将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中； 利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出 来 (1)(2017上海卷)如图，以长方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 D 为坐标原点，过 D 的 三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系若DB1 的坐标为(4，3，2)，则AC1 的坐标 是_ 解：根据向量DB1 的坐标可得DA (4，0，0)，D
16、C1 (0，3，2)，所以AC1 DC1 DA (4，3，2)故填(4，3，2) (2)如图所示，在长方体 ABCD- A1B1C1D1中，O 为 AC 的中点 ()化简：A1O 1 2AB 1 2AD _ ()用AB ，AD ，AA1 表示OC1 ，则OC1 _ 解：()A1O 1 2AB 1 2AD A1O 1 2(AB AD )A1O AO A1O OA A1A ()因为OC 1 2AC 1 2(AB AD )， 所以OC1 OC CC1 1 2(AB AD )AA1 1 2AB 1 2AD AA1 故填()A1A ；()1 2AB 1 2AD AA1 考点二 共线、共面向量定理及其应用
17、 (2020天津模拟)如图，已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD， DA 的中点 (1)求证：E，F，G，H 四点共面； (2)求证：BD平面 EFGH； (3)设 M 是 EG 和 FH 的交点，求证：对空间任一点 O，有OM 1 4(OA OB OC OD ) 证明：(1)连接 BG， 则EG EB BG EB 1 2(BC BD )EB BF EH EF EH ， 由共面向量定理的推论知 E，F，G，H 四点共面 (2)因为EH AH AE 1 2AD 1 2AB 1 2(AD AB )1 2BD ，所以 EHBD 又 EH平面 EFGH，BD平面 E
18、FGH， 所以 BD平面 EFGH (3)找一点 O，并连接 OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG 由(2)知EH 1 2BD ，同理FG 1 2BD ， 所以EH FG ，即 EHFG， 所以四边形 EFGH 是平行四边形， 所以 EG， FH 交于一点 M 且被 M 平分 故OM 1 2(OE OG )1 2OE 1 2OG 1 2 1 2（OA OB ） 1 2 1 2（OC OD ） 1 4(OA OB OC OD ) 【点拨】 对空间三点 P，A，B，可通过证明下列结论成立来证明三点共线：PA PB ；对空间任一点 O，存在实数 t，使OP OA tAB ；对空间任一点 O，OP
19、 ()1t OA tOB 或OP xOA yOB ，这里 xy1对空间四点 P，M，A，B，可通过 证明下列结论成立来证明四点共面： MP xMA yMB ； 对空间任一点 O， OP OM xMA yMB ；对空间任一点 O，OP xOA yOB zOM ，其中 xyz1；PM AB 正方体 ABCD- A1B1C1D1中， E， F 分别为 BB1和 A1D1的中点求证： 向量A1B ， B1C ， EF 是共面向量 证明：因为EF EB BA1 A1F 1 2B1B A1B 1 2A1D1 1 2(B1B BC )A1B 1 2B1C A1B ， 所以向量A1B ，B1C ，EF 是共面
20、向量 考点三 空间向量数量积 (1)(2019山东东营质检)已知 O(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0， 1，1)，OA OB 与OB 的夹角为 120，则 的值为( ) A 6 6 B 6 6 C 6 6 D 6 解： 依题意， 知OA OB (1， ， )， cos120（OA OB ） OB |OA OB | |OB | 122 2 1 2，得 6 6 经检验 6 6 不合题意，舍去，所以 6 6 故选 C (2)已知正四面体 ABCD 的棱长为 a， 点 E， F 分别是 BC， AD 的中点， 则AE AF 的值为( ) Aa2 B1 2a 2 C1 4a 2 D 3 2 a2
21、 解：如图，设AB a，AC b，AD c，则|a|b|c|a， 且 a，b，c 三向量两两夹角为 60AE 1 2(ab)，AF 1 2c， 所以AE AF 1 2(ab) 1 2c 1 4(a cb c) 1 4(a 2cos60a2cos60)1 4a 2故选 C 【点拨】 空间向量数量积有两种计算方法：设 a(a1，a2，a3)，b (b1，b2，b3)，则 a ba1b1a2b2a3b3；已知空间两个非零向量 a，b，则 a b|a|b|cosa，b (1)(20202021学年山东济南商河县一中高二10月考)已知 a(2，1，3)， b(1，2，1)，若 a(ab)，则实数 的值为
22、 ( ) A2 B4 3 C14 5 D2 解：因为 a(2，1，3)，b(1，2，1)， 所以 ab(2，1，3)(1，2，1)(2，12，3)， 因为 a(ab)，所以 a (ab)(2)(2)1(12)3(3)0， 解得 2 故选 A (2)(2020湖南湘东五校联考)已知空间向量 a，b 满足|a|b|1，且 a，b 的夹角 为 3，O 为空间直角坐标系的原点，点 A，B 满足OA 2ab，OB 3ab，则OAB 的面积为( ) A5 3 2 B5 3 4 C7 3 4 D11 4 解：|OA |（2ab）2 4|a|2|b|24a b 7， 同理|OB | 7，则 cosAOBOA
23、OB |OA |OB | 6|a| 2|b|2a b 7 11 14，所以 sinAOB5 3 14 ， 所以OAB 的面积 S1 2 7 7 5 3 14 5 3 4 故选 B 考点四 空间向量的基本应用 命题角度 1 求线段的长及异面直线的夹角 如图所示， 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1， 点 E， F，G 分别是 AB，AD，CD 的中点，计算： (1)EF BA ； (2)EG 的长； (3)异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值 解：设AB a，AC b，AD c 则|a|b|c|1， a，bb，cc，a60， (1)EF 1 2BD 1 2c 1 2a，B
24、A a， EF BA 1 2c 1 2a (a) 1 2a 21 2a c 1 4， (2)EG EB BC CG 1 2aba 1 2c 1 2b 1 2a 1 2b 1 2c， |EG |21 4a 21 4b 21 4c 21 2a b 1 2bc 1 2c a 1 2，则|EG | 2 2 (3)AG 1 2b 1 2c，CE CA AE b1 2a， cosAG ，CE AG CE |AG |CE | 2 3， 由于异面直线所成角的范围是 0， 2 ， 所以异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值为2 3 【点拨】 要求异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值，可利用向量的数量积，求
25、出 AG CE 及|AG |和|CE |的值，再套用公式 cosAG ，CE AG CE |AG |CE | 求得AG 与CE 所成角 的余弦值，但上述结果并不一定是异面直线所成的角，由于异面直线所成角的取值范 围为 0， 2 ，所以，若求得的余弦值为负值，则取其绝对值 (2021济南月考)如图，已知平行六面体 ABCD- A1B1C1D1中，底面 ABCD 是 边长为 1 的正方形，AA12，A1ABA1AD120 (1)求线段 AC1的长； (2)求异面直线 AC1与 A1D 所成角的余弦值； (3)求证：AA1BD 解：(1)设AB a，AD b，AA1 c， 则|a|b|1，|c|2，
26、a b0，c ac b21cos1201 因为AC1 AC CC1 AB AD AA1 abc， 所以|AC1 |abc| （abc）2 |a|2|b|2|c|22（a bb cc a） 1212222（011） 2 所以线段 AC1的长为 2 (2)设异面直线 AC1与 A1D 所成的角为 ， 则 cos|cosAC1 ，A1D | AC1 A1D |AC1 |A1D | 因为AC1 abc，A1D bc， 所以AC1 A1D (abc) (bc)a ba cb2c20112222， |A1D | （bc）2 |b|22b c|c|2 122（1）22 7 所以 cos AC1 A1D |A
27、C1 |A1D | 2 2 7 14 7 故异面直线 AC1与 A1D 所成角的余弦值为 14 7 (3)证明：因为AA1 c，BD ba，所以AA1 BD c (ba)c bc a0， 所以AA1 BD ，所以 AA1BD 命题角度 2 证明平行与垂直 (2020黄冈月考)如图， 在四棱锥P- ABCD中， 底面ABCD是边长为a的正方形， 侧面PAD 底面 ABCD，且 PAPD 2 2 AD，设 E，F 分别为 PC，BD 的中点 (1)求证：EF平面 PAD； (2)求证：PA平面 PDC 证明：(1)如图，取 AD 的中点 O，连接 OP，OF 因为 PAPD，所以 POAD 因为侧
28、面 PAD底面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD， 所以 PO平面 ABCD 又 O，F 分别为 AD，BD 的中点，所以 OFAB 又 ABCD 是正方形，所以 OFAD 因为 PAPD 2 2 AD，所以 PAPD，OPOAa 2 以 O 为原点，OA，OF，OP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则 A a 2，0，0 ，F 0，a 2，0 ，D a 2，0，0 ，P 0，0，a 2 ，B a 2，a，0 ，C a 2，a，0 因为 E 为 PC 的中点，所以 E a 4， a 2， a 4 易知平面 PAD 的一个法向量为OF 0，a 2，0 ， 因为
29、EF a 4，0， a 4 ， 且OF EF 0，a 2，0 a 4，0， a 4 0， 所以 EF平面 PAD (2)因为PA a 2，0， a 2 ，CD (0，a，0)， 所以PA CD a 2，0， a 2 (0，a，0)0， 所以PA CD ，所以 PACD 又 PAPD，PDCDD，所以 PA平面 PDC 【点拨】 (1)用向量方法证明空间中的平行关系 线线平行：证明两直线的方向向量平行 线面平行：一是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；二是在平面内找一向量与直 线的方向向量共线；三是证明直线的方向向量可以利用平面中的两不共线向量线性表示 面面平行：一是证明两个平面的法向量平行；
30、二是转化为线面平行、线线平行问题 (2)用向量方法证明空间中的垂直关系 线线垂直：证明两直线的方向向量垂直 线面垂直：一是证明直线的方向向量与平面的法向量平行；二是根据线面垂直的判定定 理，转化为证直线与平面内的两条相交直线垂直的问题 面面垂直：一是根据面面垂直的判定定理，转化为证相应的线面垂直、线线垂直的问题； 二是证明两个平面的法向量互相垂直 如图，在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，ABC90，BC2，CC14，点 E 在 线段 BB1上，且 EB11，D，F，G 分别为 CC1，C1B1，C1A1的中点 (1)求证：平面 A1B1D平面 ABD； (2)求证：平面 EGF平面 ABD
31、 证明：以 B 为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为 x，y，z 轴建立如图所示 空间直角坐标系，则 B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，E(0，0，3)，F(0，1， 4) 设 BAa，则 A(a，0，0)，G a 2，1，4 ，A1(a，0，4) (1)因为BA (a，0，0)，BD (0，2，2)，B1D (0，2，2)， 所以B1D BA 0，B1D BD 0 所以B1D BA ，B1D BD ，即 B1DBA，B1DBD 又 BABDB，所以 B1D面 ABD 因为 B1D面 A1B1D，所以平面 A1B1D平面 ABD (2)因为EG a 2，1，1 ，
32、EF (0，1，1)，B1D (0，2，2)， 所以B1D EG 0，B1D EF 0 所以 B1DEG，B1DEF 因为 EGEFE，所以 B1D平面 EGF 又由(1)知 B1D平面 ABD，所以平面 EGF平面 ABD 命题角度 3 求点面距 在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥 称为鳖臑已知在鳖臑 P- ABC 中，PA平面 ABC，PAABBC2，M 为 PC 的 中点，则点 P 到平面 MAB 的距离为_ 解：以 B 为坐标原点，BA，BC 所在直线分别为 x 轴，y 轴，过 B 作平行于 PA 的直线为 z 轴，建立 空间直角坐标系，如图， 则 B(0，0
33、，0)，A(2，0，0)，P(2，0，2)，C(0，2，0) ，由 M 为 PC 的中点可得 M(1，1，1)， BM (1，1，1)，BA (2，0，0), BP (2，0，2) 设 n(x，y，z)为平面 ABM 的一个法向量，则 n BA 0， n BM 0， 即 2x0， xyz0， 令 z1，可得 n(0，1，1)，点 P 到平面 MAB 的距离为 d| |n BP | |n 2故填 2 【点拨】 利用空间向量求距离的基本方法：两点间的距离：设点 A(x1，y1，z1)， 点 B(x2，y2，z2)，则|AB|AB | （x1x2）2（y1y2）2（z1z2）2；点到平面 的距离：
34、如图所示，已知 AB 为平面 的一条斜线段，n 为平面 的法向量，则 B 到平面 的距离为|BO |AB n| |n| 在棱长为 2 的正方体 ABCD- A1B1C1D1中，E，F 分别为棱 AA1，BB1 的中点，G 为棱 A1B1上的一点，且 A1G(02)，则点 G 到平面 D1EF 的距 离为_ 解：以 D 为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 D- xyz， 则 G(2，2)，D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)， 所以D1E (2，0，1)，D1F (2，2，1)，GE (0，1)， 设平面 D1EF 的法向量为 n(x， y， z)， 则 n D1E 0， n D1F 0， 即 2xz0， 2x2yz0， 令 x1，则 y0，z2， 所以平面 D1EF 的一个法向量 n(1，0，2) 点 G 到平面 D1EF 的距离为 GE n | |n 12 5 2 5 5 故填2 5 5