1、74 直线、平面垂直的判定与性质直线、平面垂直的判定与性质 【教材梳理】 1线线垂直 如果两条直线所成的角是_(无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直 2直线与平面垂直 (1)定义：如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说_，记 作_直线 l 叫做_，平面 叫做_直线与平面垂直时，它 们惟一的公共点 P 叫做_垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂 线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的_ (2)判定定理：一条直线与一个平面内的_都垂直，则该直线与此平面垂直 推论： 如果在两条平行直线中， 有一条垂直于平面， 那么另一条直线也垂直于这个平面用符号表示： a
2、b， ab (3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_ 3直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_，叫做这条直线和这个平面 所成的角 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内， 我们说它们所成的角是 0的角任一直线与平面所成角 的范围是_ 4二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的_叫做二面角 (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作 _的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角二面角的范围是 _ 5平面与平面垂直 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是_，就说 这两个平面互
3、相垂直 (2)判定定理：一个平面过另一个平面的_，则这两个平面垂直 (3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于_的直线与另一个 平面垂直 【常用结论】 6三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 7判断(证明)线线垂直的方法整理 (1)根据定义 (2)如果直线 ab，ac，则 bc (3)如果直线 a面 ，c，则 ac (4)向量法：两条直线的方向向量的数量积为零 8证明直线和平面垂直的常用方法整理 (1)利用判定定理：两相交直线 a，b，ac，bcc (2)ab，ab (3)利用面面平行的性质：，aa (4)利用面面垂直的性质：，m，
4、a，ama；，mm 9证明面面垂直的主要方法整理 (1)利用判定定理：a，a (2)用定义证明只需判定两平面所成二面角为直二面角 (3)如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面：， 【自查自纠】 1直角 2(1)直线 l 与平面 互相垂直 l 平面 的垂线 直线 l 的垂面 垂足 距离 (2)两条相交直线 (3)平行 3锐角 0，90 4(1)两个半平面所组成的图形 (2)垂直于棱 0，180 5(1)直二面角 (2)垂线 (3)交线 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“” (1)已知直线 a，b，c，若 ab，bc，则 ac( ) (2)直线 l 与平
5、面 内无数条直线都垂直，则 l ( ) (3)设 m，n 是两条不同的直线， 是一个平面，若 mn，m，则 n ( ) (4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面 ( ) (5)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则 ( ) 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5) (2019届浙江重点中学高三期末)已知 ，m，n，l， 则“mn”是“ml”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解：由题意得，当 nl 时，有 n，则有 nm，此时 m 与 l 的位置关 系可以是平行或相交，充分性不成立；当 ml 时，有
6、 m，又因为 n， 所以 mn，必要性成立所以“mn”是“ml”的必要不充分条件故 选 B (2017全国卷)在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，E 为棱 CD 的中点， 则 ( ) AA1EDC1 BA1EBD CA1EBC1 DA1EAC 解： 由正方体的性质， 得 A1B1BC1， B1CBC1， 所以 BC1平面 A1B1CD， 又 A1E平面 A1B1CD，所以 A1EBC1，故选 C 已知 P 是ABC 所在平面外一点，P 到 AB，AC，BC 的距离相等，且 P 在 ABC 所 在 平 面 的 射 影 O 在 ABC 内 ， 则 O 一 定 是 ABC 的 ( ) A内心
7、B外心 C垂心 D重心 解：因为 P 到 AB，AC，BC 三边的距离相等，且 P 在ABC 所在 平面的射影 O 在ABC 内，则 O 到 AB，AC，BC 三边的距离也相等， 即点 O 为ABC 的内切圆的圆心，即ABC 的内心故选 A (2019北京卷)已知 l，m 是平面 外的两条不同直线给出下列三个论断： lm；m；l 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： _ 解：若 l，m，则 lm，故正确； 若 l，lm，则 m，故正确； 若 lm，m，则 l，l 与 斜交或 l，故不正确 故填如果 l，m，则 lm(答案不唯一) 考点一 线、面垂直的判定与性质
8、 (1)(2019广东五校协作体诊断考试)设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是 ( ) A若 ，m，n，则 mn B若 m，mn，n，则 C若 mn，m，n，则 D若 ，m，n，则 mn 解：若 ，m，n，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 A 错误； 因为 m， mn， 所以 n， 又因为 n， 所以 ， 故 B 正确； 若 mn， m，n，则 与 的位置关系不确定，故 C 错误；若 ，m，n ，则 mn，或 m，n 异面，故 D 错误故选 B (2)【多选题】(2021 年新高考八省模拟演练)如图是一个正方体的平面展开图， 则在该正方体中 ( ) AAEC
9、D BCHBE CDGBH DBGDE 解：由正方体的平面展开图还原正方体如图，由图形可知，AECD，故 A 错误； 由 HEBC，HEBC 知，四边形 BCHE 为平行四边形，所以 CHBE，故 B 正确； 因为 DGHC，DGBC，HCBCC，所以 DG平面 BHC，BH平面 BHC，所以 DGBH，故 C 正确； 因为 BGAH，而 DEAH，所以 BGDE，故 D 正确 故选 BCD (3)如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，AC 与 EF 交于点 G， 现沿 AE，AF 及 EF 将这个正方形折成一个空间图形，使 B，C，D 三点重合，重合后的 点记为
10、H，则在这个空间图形中必有 ( ) AAG平面 EFH BAH平面 EFH CHF平面 AEF DHG平面 AEF 解：易知 G 为 EF 的中点，根据翻折性质，AHHE，AHHF 不变，得 AH平面 EFH，故 B 正确；因为过点 A 只有一条直线与平面 EFH 垂直，所以 A 不正确；因为 AGEF，EFGH，AGGHG，所以 EF平面 HAG，又 EF平面 AEF，所以平面 HAG平面 AEF，过点 H 作直线垂直于平面 AEF， 该直线一定在平面 HAG 内，所以 C 不正确；由 AHHG 知，HG 与 AG 不垂 直，所以 D 不正确故选 B (4)(2019全国卷改编)图 1 是由
11、矩形 ADEB，RtABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图 形，其中 AB1，BEBF2，FBC60将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连 接 DG，如图 2 ()证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面 BCGE； ()设 H 为 BF 的中点，证明：平面 DHC平面 ABED； ()探究平面 ABC 与平面 ACGD 是否垂直，并说明理由 解：()证明：由已知得 ADBE，CGBE，所以图 2 中 ADCG，故 AD，CG 确定一个 平面，从而 A，C，G，D 四点共面由已知得 ABBE，ABBC，BEBCB，故 AB平面 BCGE 又因为 AB
12、平面 ABC，所以平面 ABC平面 BCGE ()证明：因为EBC60，所以BCE 为正三角形， 所以 CHBE， 由(1)可知 ABCH 且 ABBEB， 所以 CH平面 ABED，CH平面 DHC， 所以平面 DHC平面 ABED ()不垂直，理由如下： 假设平面 ABC平面 ACGD，在平面 ABC 内作 BMAC 于 M，所以 BM平面 ACGD，所 以 BMAD， 又因为 ABAD 且 ABBMB，所以 AD平面 ABC， 又因为 ADBE，所以 BE平面 ABC，所以 BEBC， 这与EBC60矛盾， 所以平面 ABC 与平面 ACGD 不垂直 【点拨】 证明线线、线面、面面垂直重
13、在转化，基本方 法详见本节【常用结论】 ；翻折问题紧抓不变位置关系 (1)【多选题】(2019忻州二中月考)设 m，n 是两条不同的直线， ， 是三个不同的平面下列命题中正确的有 ( ) A若 m，则 m B若 ，m，则 m C若 n，n，m，则 m D若 ，则 解：由面面垂直的性质定理知，若 m，且 m 垂直于 ， 的交线 时，m，故 A 错误；若 ，则 ， 无交点，又 m，所以 m，故 B 正确；若 n，n，则 ，又 m，所以 m，故 C 正确；若 ， ，不能得出 ，故 D 错误故选 BC (2)(2020海淀区校级期末)三棱锥 V- ABC 中，侧面 VBC底面 ABC，ABC 45，
14、VAVB， ACAB， 则 ( ) AACBC BVBAC CVABC DVCAB 解：因为ABC45，ACAB，所以ABC 为等腰直角三角形，且ACBABC45， 所以 AC 与 BC 不垂直，故 A 错误； 过点 V 作 VOBC 于 O，连接 OA，因为侧面 VBC底面 ABC，平面 VBC平面 ABCBC， 所以 VO平面 ABC，即 V 在底面 ABC 上的投影为点 O因为 VAVB，所以 OAOB，OAB OBA45，所以 OABC，因为 VO，OA平面 VOA，VOOAO，所以 BC平面 VOA，因 为 VA平面 VOA，所以 VABC，故 C 正确； 若 VBAC，VCAB，则
15、 BCAC，BCAB，这与ACBABC45矛盾，故 B 和 D 均 错误故选 C (3)【多选题】(2021广东深圳高级中学高三月考)如图，AC2R 为圆 O 的直径，PCA 45，PA 垂直于圆 O 所在的平面，B 为圆周上不与点 A，C 重合的点，ASPC 于 S， ANPB 于 N，则下列结论正确的是( ) A平面 ANS平面 PBC B平面 ANS平面 PAB C平面 PAB平面 PBC D平面 ABC平面 PAC 解：因为 PA平面 ABC，BC平面 ABC，所以 PABC， 又 ABBC， PAABA， 所以 BC平面 PAB， 又 AN平面 ABP， 所以 BCAN，又因为 AN
16、PB，BCPBB，所以 AN平面 PBC，又 AN平面 ANS，所以平面 ANS平面 PBC，故 A 正确； 由平面 ANS平面 PABAN，PBAN，且 PB 与 NS 不垂直，故 B 错误；C，D 显然正确故选 ACD (4)(2018北京卷)如图，在四棱锥 P- ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD平面 ABCD，PAPD，PAPD， E，F 分别为 AD，PB 的中点 ()求证：PEBC； ()求证：平面 PAB平面 PCD； ()求证：EF平面 PCD 证明：()因为 PAPD，E 为 AD 的中点， 所以 PEAD 因为底面 ABCD 为矩形，所以 BCAD，所以 P
17、EBC ()因为底面 ABCD 为矩形，所以 ABAD 又因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，AB平面 ABCD， 所以 AB平面 PAD， 因为 PD平面 PAD，所以 ABPD 又因为 PAPD，ABPAA， 所以 PD平面 PAB 因为 PD平面 PCD， 所以平面 PAB平面 PCD ()如图，取 PC 的中点 G，连接 FG，DG 因为 F，G 分别为 PB，PC 的中点， 所以 FGBC，FG1 2BC 因为四边形 ABCD 为矩形，且 E 为 AD 的中点， 所以 DEBC，DE1 2BC 所以 DEFG，DEFG 所以四边形 DEFG 为平行四边形，
18、EFDG 又因为 EF平面 PCD，DG平面 PCD， 所以 EF平面 PCD 考点二 垂直综合问题 命题角度 1 距离计算 (2019全国卷)已知ACB90，P 为平面 ABC 外一点，PC2，点 P 到ACB 两边 AC，BC 的距离均为 3，那么 P 到平面 ABC 的距离为 解：作 PD，PE 分别垂直于 AC，BC 于点 D，E，PO平面 ABC 于点 O，连 接 CO，由题意可知 CDPD，CDPO，PDPOP，所以 CD平面 PDO， 又 OD平面 PDO，所以 CDOD， 因为 PDPE 3，PC2， 所以 sinPCEsinPCD 3 2 ， 所以PCBPCA60， 又易知
19、POCO，CO 为ACB 的平分线， 所以OCD45，ODCD1，OC 2， 又 PC2，所以 PO 42 2故填 2 【点拨】 空间立体几何中的距离包括点点距离、点线距离、点 面距离、线线距离、线面距离、面面距离在这些距离当中，点到 平面的距离居核心地位，在高考中也经常涉及，线线距离、线面距 离、面面距离都可以转化成点到平面的距离去求解求点面距的基 本方法有：作垂线计算、等积法求解、向量法求解、平行转化法及 比例转化法等 (2020广西南宁联考)在四棱锥 S- ABCD 中， 底面四边形 ABCD 为矩形， SA平面 ABCD，P，Q 分别是线段 BS，AD 的中点，点 R 在线段 SD 上
20、若 AS 4，AD2，ARPQ，则 AR_ 解：取 SA 的中点 E，连接 PE，QE 因为 SA平面 ABCD，AB平面 ABCD，所以 SAAB， 而 ABAD，ADSAA，所以 AB平面 SAD，易知 PEAB，故 PE平面 SAD， 又 AR平面 SAD，所以 PEAR 又因为 ARPQ，PEPQP，所以 AR平面 PEQ， 因为 EQ平面 PEQ，所以 AREQ 因为 E，Q 分别为 SA，AD 的中点，所以 EQSD，则 ARSD，在 RtASD 中，AS 4，AD2，可得 SD2 5，所以1 2SDAR 1 2ASAD，得 AR 4 5 5 故填4 5 5 命题角度 2 线面角与
21、二面角的计算 (2020云南昆明市1月高三检测)如图所示，四边形 ABCD 是 平行四边形，平面 AED平面 ABCD，EFAB，AB2，BCEF1，AE 6， DE3，BAD60，G 为 BC 的中点 (1)求证：FG平面 BED； (2)求证：平面 BED平面 AED； (3)求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值 解：(1)证明：如图，取 BD 的中点 O，连接 OE，OG 在BCD 中，因为 G 是 BC 的中点， 所以 OGDC 且 OG1 2DC1 又因为 EFAB，ABDC， 所以 EFOG 且 EFOG， 所以四边形 OGFE 是平行四边形，所以 FGOE 又 FG平面
22、BED，OE平面 BED， 所以 FG平面 BED (2)证明：在ABD 中，AD1，AB2，BAD60， 由余弦定理可得 BD 3，则ADB90， 即 BDAD 又因为平面 AED平面 ABCD，BD平面 ABCD， 平面 AED平面 ABCDAD， 所以 BD平面 AED 又因为 BD平面 BED， 所以平面 BED平面 AED (3)因为 EFAB， 所以直线 EF 与平面 BED 所成的角即为直线 AB 与平面 BED 所成的角 过点 A 作 AHDE 于点 H，连接 BH 又平面 BED平面 AEDED， 由(2)知 AH平面 BED， 所以直线 AB 与平面 BED 所成的角即为A
23、BH 在ADE 中，AD1，DE3，AE 6， 由余弦定理得 cosADE2 3，所以 sinADE 5 3 ， 因此，AHAD sinADE 5 3 在 RtAHB 中，sinABHAH AB 5 6 所以直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值为 5 6 【点拨】 线面角、二面角求法：根据线面角的定义或二面角 的平面角的定义， 作(找)出该角， 再解三角形求出该角， 步骤是作(找) 证求(算)三步曲射影法： 设斜线段 AB 在平面 内的射影为 AB，AB 与 所成角为 ，则 cos| |AB |AB ；设ABC 在平面 内的射影三角形为ABC，平面 ABC 与 所成角为 ，则 cos S
24、ABC SABC 向量法，详见后续内容 (2021山东济宁期末)如图 1 所示，在直角梯形 ABCD 中，BCAD，ADCD，BC 2，AD3，CD 3，边 AD 上一点 E 满足 DE1现将ABE 沿 BE 折起到A1BE 的位置， 使平面 A1BE平面 BCDE，如图 2 所示 (1)求证：A1CBE； (2)求平面 A1BE 与平面 A1CD 所成锐二面角的余弦值 解：(1)证明：在图 1 中，连接 CE，易求 CEBCBEAEAB2所以四边形 ABCE 为菱形 连接 AC 交 BE 于点 O，则 ACBE 所以在图 2 中，A1OBE，OCBE 又 A1OOCO，所以 BE平面 A1O
25、C 又 A1C平面 A1OC，所以 A1CBE (2)在图 2 中延长 BE，CD，设 BECDG，连接 A1G 易知 A1G 是平面 A1BE 与平面 A1CD 的交线 因为平面 A1BE平面 BCDE，OCBE，平面 A1BE平面 BCDEBE，所以 OC平面 A1BE 又 A1G平面 A1BE，所以 OCA1G 作 OHA1G，垂足为 H，连接 CH 又 OHOCO， 所以 A1G平面 OCH，又 CH平面 OCH， 所以 A1GCH 所以OHC 即为平面 A1BE 与平面 A1CD 所成锐二面角的平面角 由(1)知，A1BE，BCE 为等边三角形， 所以 OCOA1 3，由BCG90知
26、 BG4，所以 EG2，OG3，A1G2 3， 所以1 2OA1OG 1 2A1G OH，解得 OH 3 2 在 RtCOH 中，CH OC2OH239 4 21 2 所以 cosOHCOH CH 3 2 21 2 21 7 所以平面 A1BE 与平面 A1CD 所成锐二面角的余弦值为 21 7 学科素养微专题 翻折问题中的直观想象 【多选题】(2020山东高三月考)如图，矩形 ABCD，M 为 BC 的中点，将ABM 沿直线 AM 翻 折成AB1M，连接 B1D，N 为 B1D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是 ( ) A存在某个位置，使得 CNAB1 B翻折过程中，CN 的长
27、是定值 C若 ABBM，则 AMB1D D若 ABBM1，当三棱锥 B1AMD 的体积最大时，三棱锥 B1AMD 的外接球的表面积是 4 解：对于 A，取 AD 的中点为 E，连接 CE 交 MD 于点 F，如图 1，则 NEAB1，NFMB1 如果 CNAB1，则 ENCN， 由于 AB1MB1，则 ENNF， 由于三线 NE，NF，NC 共面且共点， 故这是不可能的，故不正确； 对于 B，如图 1，由NECMAB1， 且 NE1 2AB1，AMEC， 所以在CEN 中，由余弦定理得： NC2NE2EC22NE EC cosNEC，也是定值， 故 NC 是定值，故正确； 对于 C，如图 2，
28、ABBM，即 AB1B1M，则 AMB1O，其中 O 为 AM 中点 若 AMB1D，由于 B1OB1DB1， 且 B1O，B1D平面 ODB1， 所以 AM平面 ODB1，OD平面 ODB1，所以 ODAM，则 ADMD， 由于 ADMD，故 AMB1D 不成立，故不正确； 对于 D，根据题意知，只有当平面 B1AM平面 AMD 时， 三棱锥 B1AMD 的体积最大，取 AD 的中点为 E，连接 OE，B1E，ME，如图 2，ABBM1，则 AB1B1M1，且 AB1B1M，平面 B1AM平面 AMDAM 所以 B1OAM， B1O平面 B1AM， 所以 B1O平面 AMD， OE平面 AM
29、D 所以 B1OOE， 则 AM 2， B1O1 2AM 2 2 ， OE1 2DM 1 2AM 2 2 ， 从而 EB1 2 2 2 2 2 2 1， 易知 EAEDEMEB11， 所以 AD 的中点 E 就是三棱锥 B1AMD 的外接球的球心，球的半径为 1，表面积是 4，故 D 正确故选 BD 【点拨】 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化， 利用空 间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养主要包括：借助空间形式认识事物的 位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系， 构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路解决翻折问题的关键是分清翻
30、折前 后线线位置关系的“变”与“不变”，以及翻折前后线段的数量之间的关系翻折前后 位于同一个平面上的位置关系和数量关系都不变，翻折前后位于不同面上的位置关系和 部分数量关系会产生变化空间平行与垂直关系的证明主要是转化思想的应用，如下 图： 【多选题】 (2021届湖北沙市中学高三二模)如图1， 边长为4的正方形ABCD 中，E 为 AD 的中点，F 为 DC 边上一动点，现将DEF，ABE 分别沿 EF，EB 折 起， 使得 A， D 重合为点 P， 形成四棱锥 P- EFCB(如图 2)， 过点 P 作 PH平面 EBCF 于 H下列判断正确的是 ( ) A平面 BPE平面 PBF B当 F
31、 为 CD 的中点时，三棱锥 P- EBF 的体积为8 3 CH 为BEF 的垂心 DPF 长的取值范围为(1，4) 解：对于 A，因为BAECDE90，所以折起后不变，BPPE，PFPE，PBPFP，PB， PF平面 PBF，所以 PE平面 PBF，因为 PE平面 BPE，所以平面 BPE平面 PBF，即 A 正确； 对于 B，当 F 为 CD 的中点时，易求得 BP4，PF2，BF2 5，BP2PF2BF2，所以 PBPF， 所以 VPEBFVEBPF1 3SBPFPE 1 3 1 2422 8 3，即 B 正确； 对于 C，当 F 运动时，若 H 为垂心，则 FHBE，BE平面 FHP，所以 BEPF，又 PFPE，所以 PF平面 PBE，所以 PFPB，所以 BF2PB2PF2，所以 BC2CF2PB2(DCCF)2，所以 CF2， 即 DF2，又 DF 不恒为 2，即 C 不正确； 对于 D，考查临界情形，沿 BE 将ABE 折到四边形 EBCD 内，即 A位置，此时 D 沿 EF 翻折，如图， 所以EDFBAE，所以 DF1 2ED1，DFPF(1，4)，即 D 正确故选 ABD