1、83 圆的方程圆的方程 【教材梳理】 1圆的定义 在平面内，到_的距离等于_的点的叫圆确定一个 圆最基本的要素是_和_ 2圆的标准方程与一般方程 (1)圆的标准方程：方程(xa)2(yb)2r2(r0)叫做以点_为圆心，为 半径长的圆的标准方程 (2)圆的一般方程：方程 x2y2DxEyF0(_)叫做圆的一般方程 注：将上述一般方程配方得 xD 2 2 yE 2 2 D 2E24F 4 ，此为该一般方程对应 的标准方程，表示的是以_为圆心，_为半径长的圆 3点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种，设圆的标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)，点 M(x0，y0)，则 (1)点 M 在圆上：
2、 _ (2)点 M 在圆外： _ (3)点 M 在圆内： _ 【常用结论】 4二元二次方程 Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆，则 AC0， B0， D2E24AF0 5以 A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0 【自查自纠】 1定点 定长 集合 圆心 半径长 2(1)(a，b) r (2)D2E24F0 D 2 ，E 2 1 2 D2E24F 3(1)(x0a)2(y0b)2r2 (2)(x0a)2(y0b)2r2 (3)(x0a)2(y0b)20)， 则有 （2a） 2（2b）2r2， （5a）2（3b）2r2， （3a）2（
3、1b）2r2， 解得 a4， b1， r25 所以ABC 的外接圆的标准方程为(x4)2(y1)25 考点二考点二 与圆有关的轨迹问题与圆有关的轨迹问题 已知 RtABC 的斜边为 AB，且 A(1，0)，B(3，0)求： (1)直角顶点 C 的轨迹方程； (2)直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程 解：(1)方法一：设 C(x，y)，因为 A，B，C 三点不共线，所以 y0 因为 ACBC，且 BC，AC 的斜率均存在，所以 kACkBC1， 又 kAC y x1，kBC y x3，所以 y x1 y x31，化简得 x 2y22x30 因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2y22x30(y
4、0) 方法二： 设 AB 的中点为 D， 由中点坐标公式得 D(1， 0)， 由直角三角形的性质知|CD| 1 2|AB|2由圆的定义知，动点 C 的轨迹是以 D(1，0)为圆心，2 为半径的圆(由于 A， B，C 三点不共线，所以应除去与 x 轴的交点) 所以直角顶点 C 的轨迹方程为(x1)2y24(y0) (2)设 M(x，y)，C(x0，y0)，因为 B(3，0)，M 是线段 BC 的中点，由中点坐标公式得 xx03 2 ，yy00 2 ， 所以 x02x3，y02y 由(1)知，点 C 的轨迹方程为(x1)2y24(y0)， 将 x02x3，y02y 代入得(2x4)2(2y)24，
5、即(x2)2y21 因此动点 M 的轨迹方程为(x2)2y21(y0) 【点拨】 求与圆有关的轨迹问题时， 根据题设条件的不同常采用以下方 法：直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；定义法：根据圆、直 线等定义列方程；几何法：利用圆的几何性质列方程；相关点代入法： 找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式 已知圆 C 的方程为 x2y24，过圆 C 上的一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m，设 m 与 y 轴的交点为 N，若向量OQ OM ON (O 为坐标原点)，求动点 Q 的轨迹方程 解：设点 Q 的坐标为(x，y)，点 M 的坐标为(x0，y0)(y00)，则点 N 的坐 标
6、为(0，y0) 因为OQ OM ON ，所以(x，y)(x0，y0)(0，y0)(x0，2y0)，则 x0 x， y0y 2 因为点 M 在圆 C 上，所以 x2 0y 2 04，即 x 2y 2 4 4(y0) 所以动点 Q 的轨迹方程为x 2 4 y2 161(y0) 思想方法微专题 数形结合思想、化归与转化思想在求与圆有关的最值问题中 的应用 (1)已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10，求 ()y x的最大值； ()yx 的最大值和最小值； ()x2y2的最大值和最小值 解：原方程可化为(x2)2y23，表示以(2，0)为圆心， 3为半径的圆 ()y x的几何意义是圆上一点与原点
7、连线的斜率，所以设 y xk，即 ykx 当直线 ykx 与圆相 切时(如图)，斜率 k 取最大值或最小值，此时 |2k0| k21 3，解得 k 3所以 y x的最大值为 3 ()yx 可看作是直线 yxb 在 y 轴上的截距， 如图所示，当直线 yxb 与圆相切时，纵截距 b 取最大值或最小值 此时|20b| 2 3，解得 b2 6，所以 yx 的最大值为2 6，最小 值为2 6 ()x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方， 由平面几何知识知，在原点 和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为 2， 所以 x2y2的最大值是(2 3)274 3，x2y2的最小值是(
8、2 3)274 3 (2)(2020 浙江省杭州市高三检测)若对圆(x1)2(y1)21 上任意一点 P(x， y)，|3x4ya|3x4y9|的取值与 x，y 无关， 则实数 a 的取值范围是( ) A(，4 B4，6 C(，46，) D6，) 解：依题意， |3x4ya| 5 |3x4y9| 5 表示 P(x，y)到两条平行直线 3x4y a0 和 3x4y90 的距离之和，因其取值与 x，y 无关，故两条平行直线 3x 4ya0 和 3x4y90 在圆(x1)2(y1)21 的两侧，画出图象如图所示， 故圆心(1， 1)到直线 3x4ya0 的距离 d|34a| 5 1， 解得 a6 或
9、 a 4(舍去)故选 D 【点拨】 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略： 与圆有关的长度或距离的最 值问题的解法，一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解与 圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法：(i)形如 uyb xa型的最值问题，可转化 为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；(ii)形如 taxby 型的最值问题，可转 化为动直线的截距的最值问题；(iii)形如(xa)2(yb)2型的最值问题，可转化为动点到 定点(a，b)的距离的平方的最值问题(iv)|axbyc|表示动点到直线 axbyc0 距离的 a2b2倍 (1)(2020四川双流
10、棠湖中学高三期末)设点 P 是圆(x1)2(y 2)22 上任一点，则点 P 到直线 xy10 距离的最大值为( ) A 2 B2 2 C3 2 D22 2 解： 因为(x1)2(y2)22 的圆心坐标为(1， 2)， 半径为 r 2， 因此圆心到直线 xy10 的距离为 d |121| 12（1）22 2， 因此点 P 到直线 xy10 距离的最大值为 dr3 2故选 C (2)(2020上海专题练习) 一束光线从点 A(1，1)出发，经 x 轴反射到圆 C： (x2)2(y3)21 上的最短路程是( ) A3 21 B2 6 C4 D5 解：记圆 C 的半径为 R，由反射定律得点 A(1，
11、1)关于 x 轴的对称点 B(1，1)在反射光线上，当反射光线过圆心 C(2，3)时，最短距离为|BC| R （21）2（31）21514，故光线从点 A 经 x 轴反射到圆 C 上的最短路程为 4故选 C (3)设 P(x，y)是圆(x2)2y21 上的任意点，则(x5)2(y4)2的最 大值为( ) A6 B25 C26 D36 解：因为圆(x2)2y21 的半径为 1，圆心坐标为(2，0)，该圆心到 点(5，4)的距离为 （25）2（04）25，所以圆(x2)2y21 上 的点到(5，4)距离的最大值为 516，即(x5)2(y4)2的最大值为 36故选 D (4)点(x，y)在曲线 y 4x22 上，则|3x4y4|的取值范围为 _ 解：曲线 y 4x22 为圆 x2(y2)24 的上半圆，|3x4y4|表示点(x，y)到直 线 3x4y40 距离的 5 倍 如图，AD12 5 ，BC18 5 故所求为5(AD2)，5BC，即2，18故填2，18