1、85 椭圆椭圆 【教材梳理】 1椭圆的定义 (1) 定 义 ： 平 面 内 与 两 个 定 点F1， F2的 距 离 的 和 等 于 常 数 2a(2a_|F1F2|) 的 点 的 轨 迹 叫 做 椭 圆这 两 个 定 点 叫 做 椭 圆 的 _，两焦点间的距离叫做椭圆的_ (2)另一种定义： 平面内动点 M 到定点 F 的距离和它到定直线 l 的距离之比 等于常数 e(0e1)的轨迹叫做椭圆定点 F 叫做椭圆的一个焦点，定直线 l 叫做 椭圆的一条准线，常数 e 叫做椭圆的_ 2椭圆的标准方程及几何性质 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 (1)图形 (2)标准 方程 y2 a2 x2 b2
2、1(ab0) (3)范围 axa，byb aya，bxb (4)中心 原点 O(0，0) (5)顶点 A1(a，0)，A2(a，0) B1(0，b)，B2(0，b) (6)对称轴 x 轴，y 轴 (7)焦点 F1(0，c)，F2(0，c) (8)焦距 2c2 a2b2 (9)离心率 【常用结论】 3在用椭圆定义时，若|F1F2|2a，则动点的轨迹不是椭圆，而是连接两定点的线段(包括 端点)；若|F1F2|2a，则轨迹不存在 4椭圆几何性质相关常用结论 (1)椭圆中的最值：P 为椭圆上任一点，B 为短轴一个端点，则|OP|b，a；|PF1|ac， ac；|PF1|PF2|b2，a2；F1PF2F
3、1BF2 (2)焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形r1|PF1|， r2|PF2|，F1PF2，PF1F2的面积为 S，则在椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)中： 焦点三角形的周长为 2(ac)； 4c2r2 1r 2 22r1r2cos ； 当 r1r2时，即点 P 的位置为短轴端点时， 最大； S1 2r1r2sin b 2tan 2 c| |y0，当| |y0b 时，即点 P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最 大值为 bc (3)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，为2b 2 a (4)AB 为椭圆x 2
4、a2 y2 b21(ab0)的弦(斜率为 k)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)，则 弦长 l 1k2|x1x21 1 k2|y1y2|； 直线 AB 的斜率 kb 2x 0 a2y0； kkOMb 2 a2 【自查自纠】 1(1) 焦点 焦距 (2)离心率 2(2)x 2 a2 y2 b21(ab0) (5)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b，0)，B2(b，0) (7)F1(c，0)，F2(c，0) (9)ec a(0e1) 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“” (1) 平 面 内 到 点 F1( 4 ， 0) ， F2(4 ， 0)
5、距 离 之 和 等 于 常 数 的 点 的 轨 迹 是 椭 圆 ( ) (2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F2构成PF1F2的周长为 2a2c(其中 a 为椭圆的长半 轴长，c 为椭圆的半焦距)( ) (3)x 2 a2 y2 b21(ab)表示焦点在 y 轴上的椭圆( ) (4)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆 ( ) (5)x 2 a2 y2 b21(ab0)与 y2 a2 x2 b21(ab0)的焦距相等 ( ) 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5) 若方程 x2 5m y2 m31 表示椭圆，则 m 的取值范围是 ( ) A(3，5) B(5，3) C(3，1)(1
6、，5) D(5，1)(1，3) 解：由方程表示椭圆知 5m0， m30， 5mm3， 解得3m5 且 m1故选 C 【多选题】若椭圆的方程为 x2 10a y2 a21，且此椭圆的焦距为 4，则实数 a 的 值可能为 ( ) A3 B4 C6 D8 解：对椭圆的焦点位置进行讨论由椭圆的焦距为 4 得 c2，当 2a6 时，椭圆的焦点在 x 轴上，则 10a(a2)4，解得 a4；当 6a0)的焦点为 F1，F2，上顶点 为 A，若F1AF2 3，则 m ( ) A1 B 2 C 3 D2 解：依题意，a m21，bm，c a2b21，如图所示，因为F1AF2 3， 所以F1AF2为等边三角形，
7、则|AF1|F1F2|，即m212，m 3故选 C 已知点 P 是椭圆x 2 5 y 2 4 1 上 y 轴右侧的一点，且以点 P 及焦点 F1， F2为顶点的三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为_ 解：设 P(x，y)，由题意知 c2a2b2541，所以 c1，则 F1(1，0)，F2(1， 0)由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1，所以 y 1，将 y 1 代入x 2 5 y 2 4 1，得 x 15 2 ， 又 x0， 所以 x 15 2 ， 所以点 P 的坐标为 15 2 ，1 或 15 2 ，1故填 15 2 ，1 或 15 2 ，1 考点一考点一 椭圆的定义及标准方程椭圆的
8、定义及标准方程 命题角度 1 椭圆的定义 已知ABC 的两个顶点分别为 A(4，0)，B(4，0)，ABC 的周长为 18， 则点 C 的轨迹方程为( ) A x2 25 y2 9 1(y0) B y2 25 x2 9 1(y0) C x2 16 y2 9 1(y0) D y2 16 x2 9 1(y0) 解：由题意得|CA|CB|108， 所以点 C 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆， 设其标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，则 a5，c4，从而 b 29， 又 A，B，C 三点不共线，所以点 C 不在 x 轴上， 故点 C 的轨迹方程为 x2 25 y2 9 1(y0)故选 A
9、 【点拨】 椭圆即点集 PM|MF1|MF2|2a，在运用椭圆的定义时， 要注意“|F1F2|2a”这个条件 (2020年湖北四地六校高二上10月联考)已知椭圆 x2 25 y2 9 1 的左、 右焦 点分别为 F1， F2， 点 P 在椭圆上， 则|PF1|PF2|的最大值是 ( ) A9 B16 C25 D27 解：由题意 a5，|PF1|PF2|2a10， |PF1|PF2| |PF1|PF2| 2 2 10 2 2 25，当且仅当|PF1|PF2|5 时 等号成立故选 C 命题角度 2 椭圆的标准方程 (1)已知椭圆的焦点在 x 轴上，长、短半轴长之和为 10，焦距为 4 5，则 椭圆
10、的方程为 ( ) A x2 36 y2 161 B x2 16 y2 361 Cx 2 6 y 2 4 1 Dy 2 6 x 2 4 1 解：设椭圆的方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 依题意得 c2 5，ab10，又 a2b2c2， 解得 a6，b4 则椭圆的方程为 x2 36 y2 161故选 A (2)过点( 3， 5)，且与椭圆 y2 25 x2 9 1 有相同焦点的椭圆的标 准方程为_ 解法一：依题意，设所求椭圆方程为 y2 25k x2 9k1(k9)，将点( 3， 5) 代入可得（ 5） 2 25k （ 3） 2 9k 1，解得 k5(k21 舍去)，所以所求椭圆的标准
11、方 程为 y2 20 x2 4 1 解法二：椭圆 y2 25 x2 9 1 的焦点为(0，4)，(0，4)，即 c4 由椭圆的定义知，2a（ 30）2（ 54）2（ 30）2（ 54）2，解 得 a2 5 由 c2a2b2可得 b24 所以所求椭圆的标准方程为 y2 20 x2 4 1故填 y2 20 x2 4 1 【点拨】 求椭圆方程的基本方法是待定系数法， 先定形， 再定量， 即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于 a，b 的方程组，如 果焦点位置不确定，可设椭圆方程为 mx2ny21(m0，n0，m n)，求出 m，n 的值即可 (1)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的
12、焦点分别为 F1，F2，点 A，B 在椭圆上，ABF1F2于 F2，|AB|4，|F1F2|2 3，则椭圆方程为 ( ) Ax 2 3 y21 Bx 2 3 y 2 2 1 Cx 2 9 y 2 6 1 D x2 12 y2 9 1 解：由题意可得 c 3，2b 2 a 4， 结合 c2a2b2，解得 a3，b 6， 所以所求椭圆方程为x 2 9 y 2 6 1 另解： 由题意知ABF1为等边三角形， 且边长为 4， |AF1|AF2|4262a， 所以 a3，又 c 3，所以 b a2c2 6，从而得椭圆方程故选 C (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点(3 2， 5 2
13、)，( 3， 5)， 则椭圆的方程为_ 解：依题意，设椭圆方程为 mx2ny21(m，n0，mn) 由 （3 2） 2m（5 2） 2n1， 3m5n1， 解得 m1 6，n 1 10 所以椭圆的方程为 y2 10 x2 6 1故填 y2 10 x2 6 1 命题角度 3 椭圆的焦点三角形 【多选题】(2020年潍纺高二期末)已知 P 是椭圆 E： x2 8 y 2 4 1 上一点，F1， F2为 其 左 、 右 焦 点 ， 且 F1PF2的 面 积 为 3 ， 则 下 列 说 法 正 确 的 是 ( ) AP 点纵坐标为 3 BF1PF2 2 CF1PF2的周长为 4( 21) DF1PF2
14、的内切圆半径为3 2( 21) 解：由已知 a2 2，b2，c2，不妨设 P(m，n)，m0，n0，则 SF1PF21 2 2cn3，所以 n3 2，故 A 错误； 当点 P 为椭圆的上、下顶点时，F1PF2最大，此时由 bc2 知，F1PF2 2，故 B 错误； 由椭圆定义，F1PF2的周长为 2a2c4 24，故 C 正确； 设F1PF2的内切圆半径为 r，则1 2r(4 24)3，所以 r 3 2( 21) 故 D 正 确故选 CD 【点拨】 椭圆的焦点三角形是描述椭圆上的点到焦点的 距离、焦距之间的相互制约关系的一个载体由于其位置、 边的特殊性决定了它易于同椭圆的定义、长轴长、离心率等
15、 几何量发生联系，内容丰富多彩其相关性质见本节【常用 结论】 已知 F1，F2是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一 点，且F1PF260若PF1F2的面积为 3 3，则 b_ 解：|PF1|PF2|2a，又F1PF260， 所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60|F1F2|2， 即(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4c2， 所以 3|PF1|PF2|4a24c24b2， 所以|PF1|PF2|4 3b 2， 又因为 SPF1F21 2|PF1|PF2| sin60 1 2 4 3b 2 3 2 3 3 b23 3， 所
16、以 b3或 直接由公式得 3 3b2tan30b3故填 3 考点二考点二 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质 命题角度 1 椭圆的离心率 (1)(2019安徽宣城二模)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左顶点为 M，上顶点为 N，右 焦点为 F，若NM NF 0，则椭圆的离心率为 ( ) A 3 2 B 21 2 C 31 2 D 51 2 解：由题意知，M(a，0)，N(0，b)，F(c，0)，所以NM (a， b)，NF (c，b)因为NM NF 0，所以acb20，即 b2 ac又 b2a2c2， 所以 a2c2ac， 所以 e2e10， 解得 e 51 2 或 e 51
17、2 (舍去)所以椭圆的离心率为 51 2 故选 D (2)已知 F1，F2为椭圆 C： x2 a2 y2 4 1(a2)的左、右焦点，若椭圆 C 上存在四个 不同点 P 满足PF1F2的面积为 4 3，则椭圆 C 的离心率的取值范围为 ( ) A(0，1 2) B( 1 2，1) C(0， 3 2 ) D( 3 2 ，1) 解：设 P(x0，y0)，SPF1F21 2|F1F2|y0|c|y0|4 3，则|y0| 4 3 c 4 3 a24， 若存在四个不同点 P 满足 SPF1F24 3，则 0|y0|2，即 0 4 3 a242，解得 a4， e a24 a 1 4 a2( 3 2 ，1)
18、故选 D 【点拨】 求椭圆的离心率关键在于构造关于 a，b，c 的方程，通过 b2 a2c2代入消去 b 得关于 a，c 的齐次式，再转化为关于 e 的方程；求椭圆 离心率的取值范围，则往往要借助椭圆的几何性质及平面几何的知识构造不 等式 (1)(2019届内蒙古高三一模)以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交 于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭 圆的离心率为 ( ) A 3 2 B 31 C 2 2 D 3 2 解：设椭圆的两个焦点为 F1，F2，圆与椭圆交于 A，B，C，D 四个不同的点， 设|F1F2|2c，则|DF1|c，|DF2| 3c 由椭
19、圆定义，得 2a|DF1|DF2| 3cc， 所以离心率 ec a 2 31 31故选 B (2)正方形 ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)上，若椭圆的焦 点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A 51 2 ，1 B 0， 51 2 C 31 2 ，1 D 0， 31 2 解：设正方形的边长为 2m， 因为椭圆的焦点在正方形的内部，所以 mc， 又正方形 ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2 a2 y2 b21 上， 所以m 2 a2 m 2 b2 1c 2 a2 c2 b2e 2 e2 1e2， 即 e43e210，e23 5 2 51 2 2 ，
20、所以 0ec 解得故选 B 命题角度 2 与椭圆有关的最值(范围)问题 (1)已知 F 是椭圆x 2 9 y 2 5 1 的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点， 则|PA|PF|的最大值为，最小值为 解：由题意知 a3，b 5，c2，F(2，0) 设椭圆右焦点为 F， 则|PF|PF|6， 所以|PA|PF|PA|PF|6当 P， A，F三点共线时，|PA|PF|取到最大值|AF| 2，或者最小值|AF| 2 所以|PA|PF|的最大值为 6 2，最小值为 6 2故填 6 2；6 2 (2)(2019届四川省绵阳市高三二诊)已知点 P 是椭圆 C： x2 9 y21 上的一个动
21、点，点 Q 是圆 E：x2(y4)23 上的一个动点，则|PQ|的最大值是_ 解：由圆 E：x2(y4)23 可得圆心为 E(0，4)，又点 Q 在圆 E 上，所以|PQ|EP|EQ| |EP| 3(当且仅当直线 PQ 过点 E 时取等号) 设 P(x1，y1)是椭圆 C 上的任意一点，则x 2 1 9 y2 11，即 x 2 199y 2 1，所以|EP| 2x2 1(y14) 2 99y2 1(y14) 28(y 11 2) 227 因为 y11，1，所以当 y11 2时，|EP| 2 取得最大值 27，即|PQ|3 3 34 3， 所以|PQ|的最大值为 4 3故填 4 3 (3)(20
22、20新高考全国卷改编)已知椭圆 C： x2 16 y2 121，M(2，3)，点 A 为其 左顶点，点 N 为椭圆上一点，则AMN 的面积的最大值为_ 解：易知 A(4，0)，|AM| （24）2323 5，kAM1 2，直线 AM 的方程为 x2y4 0， 设N(4cos， 2 3sin)， 则点N到AM的距离d|4cos4 3sin4| 5 8sin 6 4 5 ， 当 5 3 时，dmax 12 5，此时 Smax 1 2 12 53 518故填 18 另解：也可设出与 AM 平行的直线与椭圆相切，求出两平行线最远距离，即可求出AMN 面积的最大值 【点拨】 椭圆中距离的最值问题一般有三
23、种解法： 利用椭圆的定义 结合平面几何知识求解(适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率 e)； 根据椭圆标准方程的特点， 把距离问题转化为二次函数求最值的问题(适 用于定点在椭圆的对称轴上)；用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为 三角函数最值问题求解，应重视这种方法，2020 新高考卷(海南)解析几 何大题用此法更为简洁 (1)(20202021学年石家庄高二上期末)设 P 是椭圆 x2 25 y2 9 1 上一点， M，N 分别是两圆(x4)2y21 和(x4)2y21 上的点，则|PM|PN|的最小值、 最大值分别为( ) A9，12 B8，11 C10，12 D8，12 解：因为两圆圆
24、心 F1(4，0)，F2(4，0)恰好是椭圆 x2 25 y2 9 1 的两焦点， 所以|PF1|PF2|10，两圆的半径 r1，所以(|PM|PN|)min|PF1|PF2| 2r1028(|PM|PN|)max|PF1|PF2|2r10212故选 D (2)设在椭圆x 2 4 y21 上有两个动点 P，Q，E(1，0)为定点，EPEQ，则EP QP 的 最小值为_ 解：由题意得EP QP EP (EP EQ )EP 2EP EQ EP 2 设椭圆上一点 P(x，y)，则EP (x1，y)， 所以EP 2(x1)2y2(x1)2(1x2 4 )3 4(x 4 3) 22 3，又2x2，所 以
25、当 x4 3时，EP 2 取得最小值为2 3故填 2 3 (3)在椭圆 x2 18 y2 8 1 上到直线 2x3y150 的距离最短的点的坐标为 _ 解：设所求点坐标为 A(3 2cos，2 2sin)，R，由点到直线的距离公式得 d|6 2cos6 2sin15| 22（3）2 12sin 4 15 13 ，当 2k3 4 ，kZ 时， d 取到最小值3 13 13 ，此时 A 点坐标为(3，2)故填(3，2) 考点三考点三 直线与椭圆直线与椭圆 命题角度 1 位置关系判断 已知直线 ykx1 和椭圆 x22y21 有公共点，则 k 的取值范围是( ) A k|k 2 2 B k| 2 2
26、 k2)，则椭圆的方程为x 2 a2 y2 a241 由 x 2 a2 y2 a241， x 3y40， 可得(4a212)y28 3(a24)y(16a2)(a24)0 因为直线与椭圆只有一个交点，则 0， 即 192(a24)216(a23)(16a2)(a24)0 解得 a0 或 a2 或 a 7， 又 a2，所以 a 7，所以长轴长 2a2 7故选 C 命题角度 2 弦长问题 (20202021学年江苏徐州歌风中学高二学情调研)斜率为1的直线l与椭圆x 2 4 y2 1 相交于 A，B 两点，则|AB|的最大值为 ( ) A4 5 5 B4 10 5 C8 10 5 D8 5 5 解：
27、设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线的方程为 yxm， 由 yxm， x2 4 y21，消去 y 得 5x 28mx4(m21)0， 由 64m280(m21)0 得|m|0 这一前提 (2020届四川省内江市高三三模)过坐标原点 O 且斜率为 k(k0)的直线 l 与椭圆x 2 4 y21 交于 M，N 两点若点 A 1，1 2 ，则MAN 面积的最大值为( ) A 2 B2 2 C 2 2 D1 解：直线 l 的方程为 ykx，代入椭圆方程得 1 4k 2 x21，解得 x 2 14k2， 设 M(xM，yM)，N(xN，yN)，则 |MN|（xNxM）2（yN
28、yM）2 1k2|xMxN 1k2 2 14k2 2 14k2 4 1k2 14k2， 点 A 1，1 2 到直线 l 的距离为 d k1 2 1k2， 当 k0 时， SAMN1 2d| | MN 2 k1 2 14k2 12k 14k2 1 4 4k1 k 2， 当且仅当 k1 2时等号成立 故 选 A 思想方法微专题 方程思想在解决椭圆中点弦问题中的应用 【多选题】(20202021学年湖南三湘名校高二上期中)已知椭圆 C： x2 4 y 2 8 1 内一点 M(1，2)， 直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且 M 为线段 AB 的中点，则下列结论正确的是 ( ) A椭圆的焦点坐
29、标为(2，0)，(2，0) B椭圆 C 的长轴长为 2 2 C直线 l 的方程为 xy30 D|AB|4 3 3 解：由椭圆方程x 2 4 y 2 8 1 可得焦点在 y 轴上，且 a2 2，b2，c2，所以焦点 坐标为(0，2)，(0，2)，故 A 错误； 椭圆 C 的长轴长为 2a4 2，故 B 错误； 易知直线 l 的斜率存在，设斜率为 k，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x 2 1 4 y 2 1 8 1， x2 2 4 y 2 2 8 1， 两式相减得（x1x2）（x1x2） 4 （y1y2）（y1y2） 8 0， 所以2（x1x2） 4 4（y1y2） 8 0，解得 ky
30、1y2 x1x21， 则直线 l 的方程为 y2(x1)，即 xy30，故 C 正确； 联立直线 l 与椭圆 C 的方程得 xy30， x2 4 y 2 8 1， 整理得 3x26x10， 所以 x1x22，x1x21 3， 所以|AB| 1（1）22241 3 4 3 3 ，故 D 正确故选 CD 【点拨】 方程思想是通过分析问题中变量间的相等关系，建立或构造方程(方 程组)，通过解方程(方程组)，或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题易于解 决，其关键是建立方程处理中点弦问题常用的求解方法：点差法：即设出弦的 两端点坐标后，代入椭圆方程，并将两式相减，式中含有 x1x2，y1y2，y1y
31、2 x1x2三 个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率； 根与系数的关系：即联立直线与椭圆方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根 与系数的关系求解 已知一直线与椭圆 4x29y236 相交于 A，B 两点，弦 AB 的 中点坐标为 M(1，1)，则直线 AB 的方程为_ 解法一：根据题意，易知直线 AB 的斜率存在，设通过点 M(1，1)的直线 AB 的 方程为 yk(x1)1， 代入椭圆方程， 整理得(9k24)x218k(1k)x9(1k)236 0 设 A，B 的横坐标分别为 x1，x2， 则x1x2 2 9k（1k） 9k24 1，解之得 k4 9 故直
32、线 AB 的方程为 y4 9(x1)1，即 4x9y130 解法二：设 A(x1，y1) 因为 AB 中点为 M(1，1)，所以 B 点坐标是(2x1，2y1) 将 A，B 点的坐标代入方程 4x29y236，得 4x2 19y 2 1360， 及 4(2x1)29(2y1)236， 化简为 4x2 19y 2 116x136y1160 ，得 16x136y1520，化简为 4x19y1130 同理可推出 4(2x1)9(2y1)130 因为 A(x1，y1)与 B(2x1，2y1)都满足方程 4x9y130，所以 4x9y13 0 即为所求 解法三：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是弦的两个端点，代入椭圆方程，得 4x2 19y 2 136， 4x2 29y 2 236， ，得 4(x1x2)(x1x2)9(y1y2)(y1y2)0 因为 M(1，1)为弦的中点，所以 x1x22，y1y22 所以 4(x1x2)9(y1y2)0所以 kABy1y2 x1x2 4 9 故 AB 方程为 y14 9(x1)，即 4x9y130 故填 4x9y130