1、第九章 计数原理、概率与统计 考点要求考点要求 1分类加法计数原理、分步乘法计数原理 (1)了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义 (2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题 2排列与组合 (1)理解排列、组合的概念 (2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式 (3)能解决简单的实际问题 3二项式定理 (1)能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理 (2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 4事件与概率 (1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别 (2)了解两个互斥事件的概率加法公式 5古典概型 (
2、1)理解古典概型及其概率计算公式 (2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率 6离散型随机变量及其分布列 (1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性 (2)了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用 (3)了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一 些简单的实际问题 (4)理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差， 并能解决一些实际问题 (5)利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 7随机抽样 (1)理解随机抽样的必
3、要性和重要性 (2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样方法 8用样本估计总体 (1)了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理 解它们各自的特点 (2)理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差 (3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释 (4)会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理 解用样本估计总体的思想 (5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题 9变量的相关性 (1)会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相
4、关关系 (2)了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程 10统计案例 了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题 (1)独立性检验：了解独立性检验(只要求 22 列联表)的基本思想、方法及其简单应用 (2)回归分析：了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用 91 两个计数原理、排列与组合两个计数原理、排列与组合 【教材梳理】 1分类加法计数原理 完成一件事，有 n 类不同方案，在第 1 类方案中有 m1种不同的方法，在第 2 类方案中有 m2种不同 的方法在第 n 类方案中有 mn种不同的方法那么完成这件事共有 N_种不同的方 法 2分步乘法计数
5、原理 完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m1种不同的方法，做第 2 步有 m2种不同的方法 做第 n 步有 mn种不同的方法那么完成这件事共有 N_种不同的方法 3两个计数原理的区别 分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关做一件事的不同方法的种数问题， 区别在于： 分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法_，用其中_都可 以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法_，只有 _才算做完这件事 4两个计数原理解决计数问题时的方法 最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析是需要分类还是需要分步 (1)分类要做到“_”分类后再分别对每一类进行
6、计数，最后用分类加法计数原 理求和，得到总数 (2)分步要做到“_”，即完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要 _，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的 方法数相乘，得到总数 5排列 (1)排列的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，按照_排成一列，叫做 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 (2)排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的_的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号_表示 (3)排列数公式：Am n_这里 n，mN *，并且_ (4)全排列：n 个不同元素全部取出的一个_，叫做
7、n 个元素的一个全排列An nn(n1)(n 2)321_，因此，排列数公式写成阶乘的形式为 Am n ，这里规定 0！ _ 6组合 (1)组合的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素_，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的一个组合 (2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的_的个数，叫做从 n 个不同元素中 取出 m 个元素的组合数，用符号_表示 (3)组合数公式：Cm nA m n Am m_这里 nN *，mN，并且 mn (4)组合数的两个性质 Cm n_； Cm n1_ 【常用结论】 7几个常用公式 Am n(nm1)A m1 n ； Am n
8、nA m1 n1； (n1)！n！n n！ ； kCk nnC k1 n1； Cm nC m1 n1C m1 n2C m1 m1 【自查自纠】 1m1m2mn 2m1m2mn 3相互独立 任何一种方法 互相依存 各个步骤都完成 4(1)不重不漏 (2)步骤完整 相互独立 5(1)一定的顺序 (2)所有不同排列 Am n (3)n(n1)(n2)(nm1) mn (4)排列 n！ n！ （nm）！ 1 6(1)合成一组 (2)所有不同组合 Cm n (3)n（n1）（n2）（nm1） m！ n！ m！（nm）！ (4)Cn m n Cm n C m1 n 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“
9、”，错误的画“” (1)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事 ( ) (2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完 成这件事 ( ) (3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列 ( ) (4)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序 ( ) (5)Am nn(n1)(n2)(nm) ( ) 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5) (教材改编)已知集合 M1，2，3，N4，5，6，7，从 M，N 这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角 坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是 ( ) A12 B8
10、 C6 D4 解：分两步：第一步先确定横坐标，有 3 种情况，第二步再确定纵坐 标，有 2 种情况，因此第一、二象限内不同点的个数是 326故选 C (2021 年新高考八省模拟演练)在 3 张卡片上分别写上 3 位同学的学号后，再 把卡片随机分给这 3 位同学，每人 1 张，则恰有 1 位学生分到写有自己学号卡片的 概率为( ) A1 6 B 1 3 C1 2 D 2 3 解：设三位同学分别为 A，B，C，他们的学号分别为 1，2，3， 则所求为 P 3 A3 3 3 6 1 2另解：用列举法易求得故选 C (2019湖南长沙雅礼中学高三月考)从 0，2 中选一个数字，从 1，3，5 中选两
11、 个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( ) A24 B18 C12 D6 解：个位从 1，3，5 中选，有 3 种情况，当十位取 0 时，百位从余下的两 个奇数中取，共有 326 个奇数；当十位不取 0 时，从余下的两个奇数中取 1 个与 2 作十位、百位，共有 32212 个奇数故所求为 12618故选 B (2018全国卷)从 2 位女生， 4 位男生中选 3 人参加科技比赛， 且至少 有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种(用数字填写答案) 解：根据题意，没有女生入选有 C3 44 种选法，从 6 名学生中任意选 3 人有 C 3 620 种选法， 故至少有 1 位女生入
12、选， 则不同的选法共有 20416 种或由直接法： C1 2C 2 4 C1 4C 2 216故填 16 考点一考点一 分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (1)满足 a，b1，0，1，2，且关于 x 的方程 ax22xb0 有实数解的有序数 对(a，b)的个数为_ 解：当 a0 时，b 的值可以是1，0，1，2，故(a，b)的个数为 4；当 a0 时，要 使方程 ax22xb0 有实数解，需使44ab0，即 ab1 若 a1，则 b 的值可以是1，0，1，2，(a，b)的个数为 4； 若 a1，则 b 的值可以是1，0，1，(a，b)的个数为 3； 若 a2
13、，则 b 的值可以是1，0，(a，b)的个数为 2 由分类加法计数原理可知，(a，b)的个数为 443213故填 13 (2)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法 有_种 解：每相邻的两层之间各有 2 种走法，共分 4 步由分步乘法计数原理， 共有 2416 种不同的走法故填 16 (3)“赵爽弦图”是中国古代数学的文化瑰宝，由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成 (如图所示)，简洁对称、和谐优美某数学文化研究会以弦图为蓝本设计会徽，其图案是用红、 黄 2 种颜色为弦图的 5 个区域着色(至少使用一种颜色)，则一共可以绘制备选的会徽图案个数为 _ 解：根据使用的色彩分类：
14、只用一种颜色，共有 C1 22 种情况； 使用两种颜色，可分 2 步：选一种颜色涂小正方形，有 C1 22 种选法，由于对称性，剩 下四个直角三角形的涂法有 5 种情形(四个直角三角形与小正方形不同色，有 1 种；四个直角三 角形有一个与小正方形同色，有 1 种；四个直角三角形有 2 个与小正方形同色，有相邻和相对 位置之分，共 2 种；四个直角三角形有 3 个与小正方形同色，有 1 种)，所以共有 C1 2510 种 情况 所以，一共可以绘制备选的会徽图案个数为 21012故填 12 【点拨】 解答计数应用问题的总体思路：根据完成事件所需的过程，对事件进 行整体分类，确定可分为几大类，整体分
15、类以后，再确定在每类中完成事件要分几 个步骤，这些问题都弄清楚了，就可以根据两个基本原理解决问题了此外，还要 掌握一些非常规计数方法，如：枚举法：将各种情况一一列举出来，它适用于种 数较少且计数对象不规律的情况；转换法：转换问题的角度或转换成其他已知问 题；间接法：若用直接法比较复杂，难以计数，则可考虑利用正难则反的策略， 先计算其反面情形，再用总数减去即得 (1)从集合1，2，3，10中任意选出三个不同的数， 使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为 ( ) A3 B4 C6 D8 解：以 1 为首项的等比数列为 1，2，4；1，3，9； 以 2 为首项的等比数列为 2，4，8； 以 4
16、 为首项的等比数列为 4，6，9； 把这 4 个数列的顺序颠倒，又得到另外的 4 个数列， 所以所求的数列共有 2(211)8(个)故选 D (2)(2019石家庄质检)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名 方法的种数为_；五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军 的可能性有_种 解：五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生考虑， 每个学生有 4 种报名方法，共有 451 024 种不同的报名方法五名学生 争夺四项比赛的冠军，可对 4 个冠军逐一考虑，每个冠军有 5 种获得的可 能性，共有 54625 种获得冠军的可能性故填 1 024；625 (3)
17、如图，用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色(4 种颜色全部使用)，要求每个区 域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为_ 解：1，2，4 两两相邻，5 仅与 4 相邻，故按区域 1 与 3 是否同色分类： 区域 1 与 3 同色：先涂区域 1 与 3 有 4 种方法，再涂区域 2，4，5(还有 3 种颜色)有 A3 3种方法 所以区域 1 与 3 同色时，共有 4A3 324 种方法 区域 1 与 3 不同色：第一步涂区域 1 与 3 有 A2 4种方法，第二步涂区域 2 有 2 种涂色方 法，第三步涂区域 4 只有 1 种方法，第四步涂区域 5 有 3 种方法 所以
18、共有 A2 421372 种方法 故由分类加法计数原理可知，不同的涂色种数为 247296故填 96 考点二考点二 排列、组合的基本问题排列、组合的基本问题 命题角度 1 排列的基本问题 有 3 名男生、4 名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数 (1)选其中 5 人排成一排； (2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人； (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻； (6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有 3 人； (7)全体排成一排，甲必须排在乙前面(可不相邻)； (8)全部排成一排，甲不排在左端，乙不
19、排在右端 解：(1)从 7 个人中选 5 个人排，排法总数有 A5 7765432 520 种 (2)分两步完成， 先选 3 人排在前排， 有 A3 7种方法，余下 4 人排在后排， 有 A 4 4种方法， 故共有 A 3 7A 4 4 5 040 种 另解：本题即为 7 人排成一排的全排列 (3)(优先法) 方法一：甲为特殊元素先排甲，有 5 种方法，其余 6 人有 A6 6种方法，故共有 5A 6 63 600 种 方法二：排头与排尾为特殊位置排头与排尾从除甲的其余 6 个人中选 2 个排列，有 A2 6种方法，中 间 5 个位置由余下 4 人和甲进行全排列，有 A5 5种方法，共有 A
20、2 6A 5 53 600 种 (4)(捆绑法)将女生看成一个整体， 与 3 名男生一起全排列， 有 A4 4种方法， 再将 4 名女生进行全排列， 也有 A4 4种方法，故共有 A 4 4A 4 4576 种 (5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有 A4 4种方法，再在女生之间及首尾空 出的 5 个空位中任选 3 个空位排男生，有 A3 5种方法，故共有 A 4 4A 3 51 440 种 (6)(捆绑法)把甲、乙及中间 3 人看作一个整体，第一步：先排甲乙两人，有 A2 2种方法；第二步：从余下 5 人中选 3 人排在甲乙中间，有 A3 5种；第三步：把这个整体与余
21、下 2 人进行全排列，有 A 3 3种方法故共有 A2 2A 3 5A 3 3720 种 (7)(消序法)7 人的全排列有 A7 7种，其中甲在乙前面与乙在甲前面各占1 2，故共有 A7 7 2 2 520 种 另解：7 个位置中任选 5 个排除甲、乙外的 5 人，余下的两个位置甲、乙的排法即定，故有 A5 72 520 种 (8)甲、乙为特殊元素，左、右两端为特殊位置 方法一(特殊元素法)：甲在最右端时，其他的可全排，有 A6 6种；甲不在最右端时，可从余下 5 个位置中 任选一个，有 A1 5种，而乙可排在除去最右端位置后剩余的 5 个中的任意一个上，有 A 1 5种，其余人全排列， 共有
22、 A1 5A 1 5A 5 5种由分类加法计数原理，共有 A 6 6A 1 5A 1 5A 5 53 720 种 方法二(特殊位置法)：先排最左端，除去甲外，有 A1 6种，余下 6 个位置全排，有 A 6 6种，但应剔除乙在最 右端时的排法 A1 5A 5 5种，因此共有 A 1 6A 6 6A 1 5A 5 53 720(种) 方法三(间接法)：7 个人全排，共 A7 7种，其中，不合条件的有甲在最左端时，有 A 6 6种，乙在最右端时， 有 A6 6种，其中都包含了甲在最左端，同时乙在最右端的情形，有 A 5 5种因此共有 A 7 72A 6 6A 5 53 720 种 【点拨】 有约束
23、条件的排列问题一般有以下几种基本类型与方法： 特殊元素优先考虑；对于相邻问题采用“捆绑法”，整体参与排序后， 再考虑“捆绑”部分的排序；对于不相邻问题，采用“插空”法，先排 其他元素，再将不相邻元素插入空档；对于定序问题，可先不考虑顺序 限制，排列后再除以定序元素的全排列数解题的基本思路通常有正向思 考和逆向思考两种正向思考时，通过分步、分类设法将问题分解；逆向 思考时，从问题的反面入手，然后“去伪存真” 【多选题】若 3 男 3 女排成一排，则下列说法正确的是 ( ) A共有 720 种不同的排法 B男生甲排在两端共有 120 种排法 C男生甲、乙相邻的排法种数为 120 D男女生相间的排法
24、种数为 72 解：3 男 3 女排成一排共有 A6 6720 种排法，A 正确；男生甲 排在两端共有 2A5 5240 种排法，B 错误；男生甲、乙相邻的排法种 数为 A2 2A 5 5240，C 错误；男女生相间的排法种数为 2A 3 3A 3 372，D 正确故选 AD 命题角度 2 组合的基本问题 课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女生各指 定一名队长现从中选 5 人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)只有 1 名女生； (2)两队长当选； (3)至少有 1 名队长当选； (4)至多有 2 名女生当选； (5)既要有队长，又要有女生当选 解：(
25、1)1 名女生，4 名男生，故共有 C1 5C 4 8350(种) (2)将两队长作为一类，其他 11 个作为一类，故共有 C2 2C 3 11165(种) (3)至少有 1 名队长当选含有两类：只有 1 名队长和 2 名队长故共有：C1 2C 4 11C 2 2C 3 11 825(种) 或采用间接法：C5 13C 5 11825(种) (4)至多有 2 名女生含有三类：有 2 名女生、只有 1 名女生、没有女生，故选法为：C2 5C 3 8 C1 5C 4 8C 5 8966(种) (5)分两类：第一类女队长当选：有 C4 12种选法； 第二类女队长不当选：有 C1 4C 3 7C 2 4
26、C 2 7C 3 4C 1 7C 4 4种选法 故选法共有： C4 12C 1 4C 3 7C 2 4C 2 7C 3 4C 1 7C 4 4790(种) 【点拨】 解组合问题时要注意：分类时不重不漏；注意间接 法的使用，在涉及“至多”“至少”等问题时，多考虑用间接法(排除 法)；应防止出现如下常见错误：如第 3 小题，先选 1 名队长，再从 剩下的人中选 4 人得 C1 2C 4 12825，请同学们自己找错因 【多选题】(2021届江苏扬州大桥中学高三期初调研)在某省新高考方案中，选择性考试科 目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理 6 门学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣， 首先在物
27、理、历史 2 门科目中选择 1 门，再从政治、地理、化学、生物 4 门科目中选择 2 门， 考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据某学生想在物理、化学、生物、政治、 历史、地理这 6 门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是( ) A若任意选科，选法种数为 C2 4 B若化学必选，选法种数为 C1 2C 1 3 C若政治和地理至少选一门，选法种数为 C1 2C 1 2C 1 3 D若物理必选，化学、生物至少选一门，选法种数为 C1 2C 1 21 解：若任意选科，选法种数为 C1 2C 2 4，A 错；若化学必选，选法种数 为 C1 2C 1 3，B 正确；若政治和地理至少选一门
28、，选法种数为 C 1 2(C 1 2C 1 21)， C 错；若物理必选，化学、生物至少选一门，选法种数为 C1 2C 1 21，D 正确故选 BD 考点三考点三 排列、组合的综合问排列、组合的综合问题题 命题角度 1 分堆与分配问题 按下列要求分配 6 本不同的书，各有多少种不同的分配方式？ (1)分成三份，1 份 1 本，1 份 2 本，1 份 3 本； (2)甲、乙、丙三人中，一人得 1 本，一人得 2 本，一人得 3 本； (3)平均分成三份，每份 2 本； (4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人 2 本； (5)分成三份，1 份 4 本，另外两份每份 1 本； (6)甲、乙、丙三人中，
29、一人得 4 本，另外两人每人得 1 本； (7)甲得 1 本，乙得 1 本，丙得 4 本 解：(1)无序不均匀分组问题 先选 1 本，有 C1 6种选法；再从余下的 5 本中选 2 本，有 C 2 5种选法；最后余下 3 本全选，有 C3 3种选法 故共有 C1 6C 2 5C 3 360(种) (2)有序不均匀分组问题 由于甲、 乙、 丙是不同的三人， 在(1)题基础上， 还应考虑再分配， 共有 C1 6C 2 5C 3 3A 3 3360(种) (3)无序均匀分组问题 先分三步，则应是 C2 6C 2 4C 2 2种方法，但是这里出现了重复不妨记六本书为 A，B，C，D， E，F，若第一步
30、取了 AB，第二步取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则 C2 6C 2 4C 2 2种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF， AB，CD)，共有 A3 3种情况，而这 A 3 3种情况仅是 AB，CD，EF 的顺序不同，因此只能作为一种 分法，故分配方式有C 2 6C 2 4C 2 2 A3 3 15(种) (4)有序均匀分组问题 在(3)的基础上再分配给 3 个人， 共有分配方式C 2 6C 2 4C 2 2 A3 3 A3 3C 2 6C 2 4C 2 290(种) (5)无序部分均匀分组问题
31、共有C 4 6C 1 2C 1 1 A2 2 15(种) (6)有序部分均匀分组问题 在(5)的基础上再分配给 3 个人， 共有分配方式C 2 6C 1 2C 1 1 A2 2 A3 390(种) (7)直接分配问题 甲选 1 本，有 C1 6种方法；乙从余下的 5 本中选 1 本，有 C 1 5种方法，余下 4 本留给丙，有 C4 4种方法，故共有分配方式 C 1 6C 1 5C 4 430(种) 【点拨】 平均分配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数的全排列分堆到 位相当于分堆后各堆再全排列，平均分堆不到指定位置，其分法数为： 平均分堆到指定位置 堆数的阶乘 对于分堆与分配问题应注意：
32、处理分配问题要注意先分堆 再分配；被分配的元素是不同的(如“名额”等则是相同元素，不适用)，位置也 应是不同的(如不同的“盒子”)；分堆时要注意是否均匀，如 6 分成(2，2，2)为 均匀分组，分成(1，2，3)为非均匀分组，分成(4，1，1)为部分均匀分组 【多选题】(2020年福建福州格致中学高二下期末)为响应政府部门疫情防控号召某红十 字会安排甲、乙、丙、丁 4 名志愿者分别奔赴 A，B，C 三地参加防控工作，下列选项正确的是 ( ) A若恰有一地无人去，则共有 42 种不同的安排方法 B共有 64 种不同的安排方法 C若甲、乙两人不能去 A 地，且每地均有人去，则共有 44 种不同的安
33、排方法 D若该红十字会又计划为这三地捐赠 20 辆救护车(救护车相同)，且每地至少安排一辆， 则共有 171 种不同的安排方法 解：对于 A，若恰有一地无人去，需要先在 3 地中选出 2 个地方，将 4 人安排到 这两个地方，有 C2 3(2 42)42 种安排方法，A 正确； 对于 B，安排甲、乙、丙、丁 4 名志愿者分别奔赴 A，B，C 三地参加防控工作， 每人有 3 种安排方法，则有 333381 种安排方法，B 错误； 对于 C，根据题意，需要将 4 人分为 3 组，若甲、乙在同一组，有 1 种分组方法， 则甲、乙所在的组不能去 A 地，有 2 种情况，剩余 2 组安排到其余 2 地，
34、有 A2 22 种 情况，此时有 224 种安排方法；若甲、乙不在同一组，有 C2 415 种分组方法， 若甲、乙两人不能去 A 地，只能安排没有甲、乙的 1 组去 A 地，甲、乙所在的两组安 排到 B，C 两地，有 A2 22 种情况，此时有 5210 种安排方法则一共有 410 14 种安排方法，C 错误； 对于 D，只需要将 20 辆救护车排成一排，在 19 个空位中插入挡板，就可以将 20 辆救护车分为 3 组， 依次对应 A， B， C 三地即可， 有 C2 19171 种安排方法， D 正确 故 选 AD 命题角度 2 数字排列问题 (2020甘肃靖远四中高二期中)用 0，1，2，
35、3，4，5 这六个数字： (1)能组成多少个无重复数字的四位奇数？ (2)能组成多少个无重复数字且比 1325 大的四位数？ 解：(1)先排个位数，有 C1 3种方法，然后排千位数，有 C 1 4种方法，剩下百位和十位任 意排，有 A2 4种方法，故所求为 C 1 4C 1 3A 2 4144 个 (2)分为三类，第一类是千位是 2，3，4，5 中任意一个，有 A1 4A 3 5个数；第二类是千位 是 1，且百位是 4，5 中的一个，有 A1 2A 2 4个数；第三类是千位是 1，且百位是 3 和十位是 4， 5 中的一个，有 A1 2A 1 3个数故所求为 A 1 4A 3 5A 1 2A
36、2 4A 1 2A 1 3270 个 【点拨】 对于有限制条件的数字排列问题， 先满足特殊元素或特殊位置 的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意隐含条件：0 不能在首位 (1)(2021届湖南师大附中第一次月考)设集合 A0，2，4， B1，3，6现分别从 A，B 中任取 2 个元素组成无重复数字的四位 数，其中不能被 5 整除的数共有( ) A64 个 B96 个 C144 个 D152 个 解： 所求的四位数中， 数字含 0 的数有 C1 2C 2 3C 1 2A 3 372 个， 数字不含 0 的数有 C 2 2C 2 3A 4 4 72 个，共有 7272144 个故选 C (2)(2
37、020天津和平区三模)用 1，2，3，4，5，6 组成六位数(没有重复数字)， 要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且 1 和 2 不相邻，这样的六位数的个 数是_(用数字作答) 解：任何相邻两个数字的奇偶性不同，且 1 和 2 相邻，可分三步： 第一步：先将 3，5 排列，共有 A2 2种排法； 第二步：再将 4，6 插空排列，共有 2A2 2种排法； 第三步：将 1，2 捆绑放到 3，5，4，6 形成的空中，共有 C1 5种排法 共有 A2 22A 2 2C 1 540 种排法 又任何相邻两个数字的奇偶性不同， 共有 2A3 3A 3 3 72 种排法， 所以所求为 724032故填 32