1、第六节 空间向量及其运算 命题分析预测 学科核心素养 从近五年的高考考查情况来看，空间向量及其运算是每年命 题的热点，独立考查较少，多与空间角、距离的计算综合考 查，难度中等 本节通过空间向量的运算考查 考生的直观想象与数学运算核 心素养 授课提示：对应学生用书第 155 页 知识点一 空间向量的有关概念、定理 1空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 平行于同一平面的向量 2空间向量中的有关定理 （1）共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b（b0） ，ab存
2、在 R，使 ab （2）共面向量定理：若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面存在唯一的有序 实数对（x，y）使 pxayb （3）空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个 唯一的有序实数组x，y，z使得 pxaybzc，其中a，b，c叫做空间的一个基底 3两个向量的数量积 （1）非零向量 a，b 的数量积 a b|a|b|cosa，b （2）空间向量数量积的运算律 结合律： （a） b（a b） ；交换律：a bb a；分配律：a （bc）aba c 温馨提醒 1三点共线：在平面中 A，B，C 三点共线OA xOB yOC （其
3、中 xy1） ，O 为平面内任 意一点 2四点共面：在空间中 P，A，B，C 四点共面OP xOA yOB zOC （其中 xyz1） ， O 为空间中任意一点 1如图，平行六面体 ABCD- A1B1C1D1中，AC 与 BD 的交点为点 M，设AB a，AD b，AA1 c，则下列向量中与C1M 相等的向量是（ ） A1 2a 1 2bc B1 2a 1 2bc C1 2a 1 2bc D1 2a 1 2bc 解析：C1M C1C CM C1C 1 2（CB CD ）A1A 1 2DA 1 2BA 1 2a 1 2bc 答案：C 2若 a 与 b 不共线，且 mab，nab，pa，则（ ）
4、 Am，n，p 共线 Bm 与 p 共线 Cn 与 p 共线 Dm，n，p 共面 解析：由于（ab）（ab）2a，即 mn2p，即 p1 2 m 1 2n，又 m 与 n 不共线，所 以 m，n，p 共面 答案：D 3正四面体 ABCD 的棱长为 2，E，F 分别为 BC，AD 的中点，则 EF 的长为_ 解析：|EF |2EF2 （EC CD DF ）2 EC 2CD2DF22（EC CD EC DF CD DF ） 1222122（12cos 120 021cos 120 ）2， 所以|EF | 2，所以 EF 的长为 2 答案： 2 知识点二 空间向量的坐标表示 设 a（a1，a2，a3
5、） ，b（b1，b2，b3） 向量表示 坐标表示 数量积 ab a1b1a2b2a3b3 共线 ab（b0） a1b1，a2b2，a3b3 垂直 a b0 （a0，b0） a1b1a2b2a3b30 模 |a| a2 1a 2 2a 2 3 夹角 a，b （a0，b0） cosa，b a1b1a2b2a3b3 a21a22a23 b21b22b23 温馨提醒 设 a（a1，a2，a3） ，b（b1，b2，b3） ，则 ab（b0） a1b1， a2b2， a3b3. 这一形式不能随便写 成a1 b1 a2 b2 a3 b3只有在 b 与三个坐标轴都不平行时，才能这样写，这是因为：若 b 与坐标
6、平面 xOy 平行，则 b30，这样a3 b3就无意义了 1 （易错题）在空间直角坐标系中，已知 A（1，2，3） ，B（2，1，6） ，C（3，2，1） ，D （4，3，0） ，则直线 AB 与 CD 的位置关系是（ ） A垂直 B平行 C异面 D相交但不垂直 解析：由题意得，AB （3，3，3） ，CD （1，1，1） ，所以AB 3CD ，所以AB 与CD 共线，又 AB 与 CD 没有公共点，所以 ABCD 答案：B 2如图所示，在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，O 是底面正方形 ABCD 的中心，M 是 D1D 的中 点，N 是 A1B1的中点，则直线 ON，AM 的位置关系
7、是_ 解析：以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系（图 略） ，设 DA2，则 A（2，0，0） ，M（0，0，1） ，O（1，1，0） ，N（2，1，2） ，所以AM （2，0，1） ，ON （1，0，2） ，AM ON 2020，所以 AMON 答案：垂直 授课提示：对应学生用书第 156 页 题型一 空间向量的线性运算 1已知三棱锥 O- ABC，点 M，N 分别为 AB，OC 的中点，且OA a，OB b，OC c，用 a， b，c 表示MN ，则MN 等于（ ） A1 2（bca） B1 2（abc） C1 2（abc） D1 2（ca
8、b） 解析：MN MA AO ON 1 2（cab） 答案：D 2如图所示，在平行六面体 ABCD- A1B1C1D1中，设AA1 a，AB b，AD c，M，N，P 分别 是 AA1，BC，C1D1的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量： （1）AP ； （2）A1N ； （3）MP NC1 _ 解析： （1）因为 P 是 C1D1的中点， 所以AP AA 1 A1D1 D1P aAD 1 2D1C1 ac1 2AB ac1 2b （2）因为 N 是 BC 的中点， 所以A1N A1A AB BNab1 2BC ab1 2AD ab1 2c （3）因为 M 是 AA1的中点， 所以MP M
9、A AP 1 2A1A AP 1 2a ac1 2 b 1 2a 1 2bc， 又NC1 NC CC1 1 2BC AA 1 1 2AD AA1 1 2ca， 所以MP NC1 1 2a 1 2bc a1 2 c 3 2a 1 2b 3 2c 答案： （1）ac1 2b （2）ab 1 2c （3） 3 2a 1 2b 3 2c 用已知向量表示某一向量的三个关键点 （1）用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键 （2）要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于 由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量 （3）在立体几何中，三角形法则、
10、平行四边形法则仍然成立 题型二 共线、共面向量定理的应用 1已知 a（1，0，2） ，b（6，21，2） ，若 ab，则 与 的值可以是（ ） A2，1 2 B1 3， 1 2 C3，2 D2，2 解析：因为 ab，所以 bka，即（6，21，2）k（1，0，2） ，所以 6k（1）， 210， 22k， 解得 2， 1 2 或 3， 1 2. 答案：A 2已知 a（2，1，3） ，b（1，2，3） ，c（7，6，） ，若 a，b，c 三向量共面，则 （ ） A9 B9 C3 D3 解析： 由题意知 cxayb， 即 （7， 6， ） x （2， 1， 3） y （1， 2， 3） ， 所以
11、2xy7， x2y6， 3x3y， 解得 9 答案：B 3已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，若OP xOA yOB zOC （x，y，zR） ， 则“x2，y3，z2”是“P，A，B，C 四点共面”的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：当 x2，y3，z2 时，即OP 2OA 3OB 2OC 则AP AO 2OA 3（AB AO ） 2（AC AO ） ，即AP 3AB2AC，根据共面向量定理知，P，A，B，C 四点共面；反之， 当 P，A，B，C 四点共面时，根据共面向量定理，设AP mABnAC（m，nR） ，即OP OA
12、m（OB OA ）n（OC OA ） ，即OP （1mn）OA mOB nOC ，即 x1mn，y m，zn，这组数显然不止 2，3，2，故“x2，y3，z2”是“P，A，B，C 四点共 面”的充分不必要条件 答案：B 应用共线（面）向量定理、证明点共线（面）的方法比较 三点（P，A，B）共线 空间四点（M，P，A，B）共面 PA PB MP xMA yMB 对空间任一点 O，OP OA tAB 对空间任一点 O，OP OM xMA yMB 对空间任一点 O， OP xOA （1x） OB 对空间任一点 O， OP xOM yOA （1xy） OB 题型三 空间向量数量积的应用 例 如图所示，
13、已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E，F，G 分别是 AB，AD，CD 的中点，计算： （1）EF BA； （2）EF DC ； （3）EG 的长； （4）异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值 解析 设AB a，ACb，AD c 则|a|b|c|1， a，bb，cc，a60 ， EF 1 2BD 1 2c 1 2a， BA a，DC bc （1）EF BA 1 2c 1 2a （a） 1 2a 21 2a c 1 4 （2）EF DC 1 2（ca） （bc） 1 2（b ca bc 2a c） 1 4 （3）EG EB BCCG 1 2aba 1 2c 1 2b
14、 1 2a 1 2b 1 2c |EG |21 4a 21 4b 21 4c 21 2a b 1 2b c 1 2ca 1 2， 则|EG | 2 2 （4）AG 1 2b 1 2c CE CAAEb1 2a， cosAG ，CE AG CE |AG |CE| 2 3， 由于异面直线所成角的范围是（0 ，90 ， 所以异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值为2 3 1求解与空间图形中的有关向量数量积问题时，应先在图形中选定一组模和夹角已知的基向 量，用基向量表示待求数量积中的向量，结合向量数量积的运算律求解 2若待求向量是坐标形式，求数量积时，可直接利用空间向量的数量积的坐标公式求解 对点训
15、练 如图所示， 已知在平行六面体 ABCD- ABCD中， AB4， AD3， AA5， BAD90 ， BAA DAA60 （1）求 AC的长； （2）求AC 与AC 的夹角的余弦值 解析： （1）因为AC AB AD AA ， 所以|AC |2（AB AD AA ）2 |AB |2|AD |2|AA |22（AB AD AB AA AD AA ） 4232522（01075）85 所以|AC | 85 （2）设AC 与AC 的夹角为 ，因为四边形 ABCD 是矩形， 所以|AC | 32425 所以由余弦定理可得 cos |AC |2|AC |2|CC |2 2|AC | |AC| 852
16、525 2 855 85 10 空间向量运算中的核心素养 数学运算向量法在空间几何体中的应用 例 如图 1，四边形 ABCD 与四边形 ADEF 分别为正方形与等腰梯形，ADEF，AF 2， AD4，EF2，沿 AD 将四边形 ADEF 折起，使得平面 ADEF平面 ABCD，如图 2，动点 M 在线段 EF 上，N，G 分别为 AB，BC 的中点，设异面直线 MN 与 AG 所成的角为 ，则 cos 的最大值为（ ） A 30 10 B 10 5 C 10 10 D 5 5 解析 过点 F 作 FOAD， 垂足为 O 因为平面 ADEF平面 ABCD， 平面 ABCD平面 ADEF AD，所
17、以 FO平面 ABCD以 O 为坐标原点，OD，OF 所在直线分别为 y，z 轴建立空间 直角坐标系，如图所示，因为 AF 2，AD4，EF2，四边形 ADEF 为等腰梯形，所以 AO 1，FO1，设 M（0，y，1） ，0y2，易知 O（0，0，0） ，A（0，1，0） ，N（2，1， 0） ， G （4， 1， 0） ， MN （2， 1y， 1） ， AG （4， 2， 0） ， 则|MN | 22（1y）2（1）2 5（1y）2，|AG |2 5，cos 62y 2 5 5（1y）2 3y 5 5（1y）2设 3y t，则有 1t3，cos t 5 5（4t）2 1 5 t t28t21 1 5 1 18 t 21 t2 1 5 1 21 1 t 4 21 2 5 21 1 5 1 21 1 3 4 21 2 5 21 30 10 ，则当 t3，即 y0，即点 M 与 F 重合时，cos 取得最大值，为 30 10 答案 A 空间几何中的夹角问题，常转化为向量的夹角问题，利用公式 cosa，b a b |a|b|求解 对点训练 如图所示，已知 PA平面 ABC，ABC120 ，PAABBC6，则 PC 等于_ 解析：因为PC PAABBC， 所以|PC |2|PA|2|AB|2|BC|22AB BC 363636236cos 60 144 所以|PC |12 答案：12