1、第五节 椭圆 命题分析预测 学科核心素养 从近五年的考查情况来看，椭圆的定义、标准方程、几何性质以 及直线与椭圆的位置关系一直是高考的命题热点，直线与椭圆的 位置关系常与向量、圆、三角形等知识综合考查，多以解答题的 形式出现，难度中等偏上 本节主要考查考生的数学 运算、直观想象核心素养 及考生对数形结合思想、 转化与化归思想的应用 授课提示：对应学生用书第 177 页 知识点一 椭圆的定义 平面内到两定点 F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆两定点 F1， F2叫做椭圆的焦点 集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a0，c0，且 a，c 为常数
2、 （1）当 2a|F1F2|时，P 点的轨迹是椭圆 （2）当 2a|F1F2|时，P 点的轨迹是线段 （3）当 2a|F1F2|这一条件，当 2a|F1F2|时，其轨迹为线段 F1F2，当 2ab0） 1设椭圆的两个焦点分别为 F1，F2，过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若F1PF2为等 腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A 2 2 B 21 2 C2 2 D 21 解析：由题意可知，|PF2|2c，|PF1|2 2c 因为|PF1|PF2|2a，2c2 2c2a， 解得c a 21 答案：D 2 （易错题）若直线 x2y20 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为 （
3、 ） Ax 2 5y 21 Bx 2 4 y2 51 Cx 2 5y 21 或x 2 4 y2 51 D以上答案都不对 解析：直线与坐标轴的交点为（0，1） ， （2，0） ， 由题意知当焦点在 x 轴上时，c2，b1， a25，所求椭圆的标准方程为x 2 5y 21 当焦点在 y 轴上时，b2，c1， a25，所求椭圆标准方程为y 2 5 x2 41 答案：C 3椭圆 x2 10m y2 m21 的焦距为 4，则 m_ 解析：当焦点在 x 轴上时，10mm20，10m（m2）4，所以 m4当焦点在 y 轴上时，m210m0，m2（10m）4，所以 m8所以 m4 或 8 答案：4 或 8 授
4、课提示：对应学生用书第 178 页 题型一 椭圆的定义与标准方程 1已知ABC 的顶点 B，C 在椭圆x 2 3y 21 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一 个焦点在 BC 边上，则ABC 的周长是（ ） A2 3 B6 C4 3 D12 解析：由椭圆的方程得 a 3设椭圆的另一个焦点为 F，则由椭圆的定义得|BA|BF|CA| |CF|2a，所以ABC 的周长为|BA|BC|CA|BA|BF|CF|CA|（|BA|BF|） （|CF|CA|）2a2a4a4 3 答案：C 2设 P 是椭圆x 2 25 y2 91 上一点，M，N 分别是两圆： （x4） 2y21 和（x4）2y21
5、 上的点，则|PM|PN|的最小值，最大值分别为（ ） A9，12 B8，11 C8，12 D10，12 解析：如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF1|PF2|10，易知 |PM|PN|（|PM|MF1|）（|PN|NF2|）2，则其最小值为|PF1|PF2|28，最大值 为|PF1|PF2|212 答案：C 3 椭圆以 x 轴和 y 轴为对称轴， 经过点 （2， 0） ， 长轴长是短轴长的 2 倍， 则椭圆的方程为 （ ） Ax 2 4y 21 By 2 16 x2 41 Cx 2 4y 21 或y 2 16 x2 41 Dx 2 4y 21 或y 2 4x 21
6、解析：由于椭圆长轴长是短轴长的 2 倍，即有 a2b，又椭圆经过点（2，0） ，则若焦点在 x 轴上，则 a2，b1，椭圆方程为x 2 4y 21；若焦点在 y 轴上，则 a4，b2，椭圆方程为 y2 16 x2 41 答案：C 1椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是 当 P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点 F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义 可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1| |PF2|，通过整体代入可求其面积等 2求椭圆方程的常用方法 （1）定义法，定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义 （2）待定系
7、数法，待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数 a，b当 不知焦点在哪一个坐标轴上时， 一般可设所求椭圆的方程为 mx2ny21 （m0， n0， mn） ， 再用待定系数法求出 m，n 的值即可 题型二 椭圆的几何性质 例 （1）已知 F1，F2分别为椭圆x 2 a2 y2 b21（ab0）的左，右焦点，点 P 是椭圆上位于 第一象限的点， 延长 PF2交椭圆于点 Q， 若 PF1PQ， 且|PF1|PQ|， 则椭圆的离心率为 （ ） A2 2 B 3 2 C 21 D 6 3 解析 设|PF1|PQ|m（m0） ，则|PF2|2am，|QF2|2m2a，|QF1|4a2m由
8、题 意知PQF1为等腰直角三角形，所以|QF1| 2|PF1|，故 m4a2 2a因为|PF1|2|PF2|2 |F1F2|24c2，所以（4a2 2a）22a（4a2 2a）24c2，整理得 4（c a） 23624 2， 即c a 96 2 6 3 答案 D （2）已知椭圆 mx24y21 的离心率为 2 2 ，则实数 m 等于（ ） A2 B2 或8 3 C2 或 6 D2 或 8 解析 显然 m0 且 m4，当 0m4 时，椭圆长轴在 x 轴上，则 1 m 1 4 1 m 2 2 ，解得 m 2；当 m4 时，椭圆长轴在 y 轴上，则 1 4 1 m 1 4 2 2 ，解得 m8 答案
9、 D 求椭圆离心率的三种方法 （1）直接求出 a，c 的值，利用离心率公式直接求解 （2）列出含有 a，b，c 的齐次方程（或不等式） ，借助于 b2a2c2消去 b，转化为含有 e 的 方程（或不等式）求解 （3）数形结合，根据图形观察，通过取特殊值或特殊位置求出离心率 题组突破 1（2021 洛阳模拟） 已知椭圆 x2 11m y2 m31 的长轴在 y 轴上， 且焦距为 4， 则 m 等于 （ ） A5 B6 C9 D10 解析：由椭圆 x2 11m y2 m31 的长轴在 y 轴上，焦距为 4，可得 m311m2，解得 m 9 答案：C 2已知椭圆x 2 a2 y2 b21（ab0）的
10、一个焦点是圆 x 2y26x80 的圆心，且短轴长为 8， 则椭圆的左顶点为（ ） A （3，0） B （4，0） C （10，0） D （5，0） 解析：圆的标准方程为（x3）2y21，圆心坐标是（3，0） ，c3又 b4，a b2c25椭圆的焦点在 x 轴上，椭圆的左顶点为（5，0） 答案：D 题型三 直线与椭圆的位置关系 例 已知椭圆x 2 a2 y2 b21（ab0）的离心率 e 3 2 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面 积为 4 （1）求椭圆的方程； （2）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A，B，已知点 A 的坐标为（a，0） ，若|AB|4 2 5 ， 求直线 l 的倾斜角
11、解析 （1）由 ec a 3 2 得 3a24c2， 再由 a2b2c2得 a2b，又1 22a2b4，则 ab2，解方程组 a2b， ab2，得 a2，b1，所 以椭圆的方程为x 2 4y 21 （2）由（1）得 A（2，0） ，设点 B 的坐标为（x1，y1） ，由题意知直线 l 的斜率存在，故设 直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 yk（x2） 于是 A、B 两点的坐标满足方程组 yk（x2）， x2 4y 21， 由方程组消去 y 并整理得 （14k2）x216k2x16k240，因为 x2 是方程的一个根，则 2x116k 24 14k2 ，所以 x128k 2 14k2，
12、 从而 y1k（x12） 4k 14k2 |AB| 228k 2 14k2 2 4k 14k2 2 4 1k 2 14k2 ，由|AB|4 2 5 ，得4 1k 2 14k2 4 2 5 ，整理得 32k4 9k2230，即（k21） （32k223）0，所以 k 1，所以直线 l 的倾斜角为 4或 3 4 1解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消 元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点 差法”解决往往会更简单 2 设直线与椭圆的交点坐标为 A （x1， y1） ， B （x2， y2） ， 则|AB| （1k2
13、）（x1x2）24x1x2 1 1 k2 （y1y2）24y1y2（k 为直线斜率） 对点训练 已知椭圆的两焦点为 F1（ 3，0） ，F2（ 3，0） ，离心率 e 3 2 （1）求此椭圆的方程； （2）设直线 l：yxm，若 l 与此椭圆相交于 P，Q 两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求 m 的值 解析： （1）设椭圆的方程为x 2 a2 y2 b21（ab0） ， 则 c 3，c a 3 2 ，所以 a2，b1， 所以所求椭圆的方程为x 2 4y 21 （2）由 x 2 4y 21， yxm 消去 y， 得 5x28mx4（m21）0，由 0，得 m25 （*） 设 P（x1，y1）
14、，Q（x2，y2） ， 则 x1x28m 5 ，x1x24（m 21） 5 ，y1y2x1x2， |PQ|2 8m 5 2 16（m 21） 5 2 解得 m 30 4 ，满足（*） ， 所以 m 30 4 椭圆几何性质中的核心素养 数学运算、直观想象椭圆离心率的范围问题 椭圆的离心率问题是高考命题的热点，离心率范围问题是高考难点，多为选择题、填空题的 压轴小题，能力要求较高 例 （1） （2021 青岛模拟）已知 F1，F2分别是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21（ab0）的左、右焦点， 若椭圆 C 上存在点 P，使得线段 PF1的中垂线恰好经过焦点 F2，则椭圆 C 离心率的取值范围 是
15、（ ） A 2 3，1 B 1 3， 2 2 C 1 3，1 D 0，1 3 解析 （几何法）如图所示， 线段 PF1的中垂线经过 F2， PF2F1F22c，即椭圆上存在一点 P，使得 PF22c ac2cac ec a 1 3，1 答案 C （2）过椭圆 C：x 2 a2 y2 b21（ab0）的右焦点作 x 轴的垂线，交 C 于 A，B 两点，直线 l 过 C 的左焦点和上顶点若以 AB 为直径的圆与 l 存在公共点，则 C 的离心率的取值范围是 _ 解析 由题设知， 直线 l： x c y b1， 即 bxcybc0， 以 AB 为直径的圆的圆心为 （c， 0） ， 根据题意， 将 x
16、c 代入椭圆 C 的方程， 得 y b2 a ， 即圆的半径 rb 2 a 又圆与直线 l 有公共点， 所以 2bc b2c2 b2 a ，化简得 2cb，平方整理得 a25c2，所以 ec a 5 5 又 0e1，所以 0 e 5 5 答案 0， 5 5 求椭圆离心率范围的两种方法 方法 解读 适合题型 几何 法 利用椭圆的几何性质，设 P（x0，y0）为椭圆x 2 a2 y2 b21 （ab0）上一点，则|x0|a，ac|PF1|ac 等，建 题设条件有明显的几何 关系 立不等关系， 或者根据几何图形的临界情况建立不等关系 直接 法 根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系， 直 接
17、转化为含有 a，b，c 的不等关系式 题设条件直接有不等关 系 对点训练 已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21（ab0）的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3x4y0 交椭圆 E 于 A，B 两点若|AF|BF|4，点 M 到直线 l 的距离不小于4 5，则椭圆 E 的离心率 的取值范围是（ ） A 0， 3 2 B 0，3 4 C 3 2 ，1 D 3 4，1 解析： 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得 A， B 两点到椭圆左、 右焦点的距离和为 4a2 （|AF| |BF|）8，所以 a2又 d |304b| 32（4）2 4 5，所以 1b2，所以 e c a 1b 2 a2 1b 2 4 因为 1b2，所以 0e 3 2 答案：A