1、第九节 圆锥曲线的综合问题 命题分析预测 学科核心素养 直线与圆锥曲线的综合应用问题（特别是一些经典问题， 如：定值与定点、最值与取值范围、探索性问题）一直是 高考热点问题常常与向量、圆等知识交汇在一起命题， 多以解答题形式出现，难度较大 本节通过圆锥曲线的综合应用 考查数学运算、逻辑推理等核心 素养 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系 授课提示：对应学生用书第 191 页 知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 AxByC0（A，B 不同时为 0）代入圆锥曲线 C 的方程 F（x，y）0，消去 y（或消去 x）得到一个关于变量
2、x（或变量 y） 的一元二次方程， 即 AxByC0， F（x，y）0. 消去 y，得 ax2bxc0 （1）当 a0 时，设一元二次方程 ax2bxc0 的判别式为 ，则 0直线与圆锥曲线 C 相交； 0直线与圆锥曲线 C 相切； 0直线与圆锥曲线 C 相离 （2）当 a0，b0 时， 即得到一个一次方程， 则直线 l 与圆锥曲线 C 相交， 且只有一个交点， 此时，若 C 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若 C 为抛物线，则直 线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合 温馨提醒 1直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双
3、曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点 2直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一 点 1直线 ykxk1 与椭圆x 2 9 y2 41 的位置关系为（ ） A相交 B相切 C相离 D不确定 解析：直线 ykxk1k（x1）1 恒过定点（1，1） 又点（1，1）在椭圆内部，故直 线与椭圆相交 答案：A 2过点（0，1）作直线，使它与抛物线 y24x 仅有一个公共点，这样的直线有（ ） A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 解析：过（0，1）与抛物线 y24x 相切的直线有 2 条，过（0，1）与对称轴平行的直线有一 条，这三条直线与抛物线都只有一个公
4、共点 答案：C 3 （易错题）直线 yb ax3 与双曲线 x2 a2 y2 b21 的交点个数是（ ） A1 B2 C1 或 2 D0 解析：因为直线 yb ax3 与双曲线的渐近线 y b ax 平行，所以它与双曲线只有 1 个交点 答案：A 知识点二 弦长公式 设斜率为 k（k0）的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A，B 两点，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 |AB| 1k2|x1x2| 1k2 （x1x2）24x1x2 11 k2 |y1y2| 11 k2 （y1y2） 24y 1y2 1 （2021 张掖市高三诊断） 过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线
5、交于 A， B 两点， 若 A， B 两点的横坐标之和为10 3 ，则|AB|（ ） A13 3 B14 3 C5 D16 3 解析：过抛物线的焦点的弦长公式为|AB|px1x2p2，|AB|210 3 16 3 答案：D 2已知椭圆的方程是 x22y240，则以 M（1，1）为中点的弦所在直线方程是_ 解析：设过 M（1，1）点的方程为 ykxb，则有 kb1，即 b1k，即 ykx（1k） ， 联立方程组 x22y240， ykx（1k），则有 （12k 2） x2 （4k4k2） x （2k24k2） 0， 所以x1x2 2 1 2 4k24k 12k2 1，解得 k1 2，故 b 3
6、2，所以 y 1 2x 3 2，即 x2y30 答案：x2y30 授课提示：对应学生用书第 192 页 题型一 直线与圆锥曲线的位置关系的判断 1若直线 ykx2 与抛物线 y2x 有一个公共点，则实数 k 的值为（ ） A1 8 B0 C1 8或 0 D8 或 0 解析：由 ykx2， y2x 得 ky2y20，若 k0，直线与抛物线有一个交点，则 y2， 若 k0，则18k0，k1 8， 综上可知 k0 或1 8 答案：C 2已知直线 ykxt 与圆 x2（y1）21 相切且与抛物线 C：x24y 交于不同的两点 M， N，则实数 t 的取值范围是（ ） A （，3）（0，） B （，2）
7、（0，） C （3，0） D （2，0） 解析：因为直线与圆相切，所以 |t1| 1k21，即 k 2t22t将直线方程代入抛物线方程并整理 得 x24kx4t0，于是 16k216t16（t22t）16t0，解得 t0 或 t3 答案：A 3若直线 ykx2 与双曲线 x2y26 的右支交于不同的两点，则 k 的取值范围是（ ） A 15 3 ， 15 3 B 0， 15 3 C 15 3 ，0 D 15 3 ，1 解析：由 ykx2， x2y26 得（1k2）x24kx100设直线与双曲线右支交于不同的两点 A（x1， y1） ，B（x2，y2） ， 则 1k20， 16k24（1k2）（
8、10）0， x1x2 4k 1k20， x1x2 10 1k20， 解得 15 3 k1，即 k 的取值范围是 15 3 ，1 答案：D 直线与圆锥曲线位置关系的判定方法 代数法 即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x，y 的方程组，消去 y（或 x）得一 元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标 几何法 即画出直线与圆锥曲线的图像，根据图像判断公共点个数 题型二 直线与圆锥曲线位置关系的基本应用 直线与圆锥曲线的位置关系的基本应用多涉及弦长与面积问题、中点弦问题等 考法（一） 弦长与方程问题 例 1 （2021 贵阳摸底）已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21（ab0
9、）的离心率为 2 2 ，F1，F2分别是 椭圆 C 的左、右焦点，椭圆 C 的焦点 F1到双曲线x 2 2y 21 的渐近线的距离为 3 3 （1）求椭圆 C 的方程； （2）直线 l：ykxm（k0）与椭圆 C 交于 A，B 两点，以线段 AB 为直径的圆经过点 F2， 且原点 O 到直线 l 的距离为2 5 5 ，求直线 l 的方程 解析 （1）椭圆 C：x 2 a2 y2 b21（ab0）的离心率为 2 2 ，c a 2 2 又双曲线x 2 2y 21 的其中一条渐近线方程为 x 2y0，椭圆 C 的焦点 F 1（c，0） ， |c| 12 3 3 ，解得 c1， a 2，b1， 椭圆
10、C 的标准方程为x 2 2y 21 （2）由（1）知 F2（1，0） ，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由原点 O 到直线 l：ykxm（k0）的距离为2 5 5 ， 得 |m| 1k2 2 5 5 ， 即 m24 5（1k 2） 将 ykxm 代入x 2 2y 21，得（12k2）x24kmx2m220， 16k2m24（12k2） （2m22）8（2k2m21）0， x1x2 4km 12k2，x1x2 2m22 12k2 又以线段 AB 为直径的圆经过点 F2，F2A F2B 0， 即（x11） （x21）y1y20， （x11） （x21）（kx1m） （kx2m）0，
11、即（1k2）x1x2（km1） （x1x2）m210， （1k2） 2m22 12k2（km1） 4km 12k2m 210， 化简得 3m24km10 由，得 11m410m210，m21 又 k0， m1， k1 2， 满足 8（2k2m21）0 直线 l 的方程为 y1 2x1 求解弦长的常用方法 （1）联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解 （2）联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于 x（或 y）的一元二次方程，利用根与系数的关 系得到（x1x2）2， （y1y2）2，代入弦长公式 （3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长 考法（二） 中点弦问题
12、 例 2 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21（ab0）的离心率为 1 2，AB 为 椭圆的一条弦，直线 ykx（k0）经过弦 AB 的中点 M，与椭圆 C 交于 P，Q 两点，设直线 AB 的斜率为 k1，点 P 的坐标为 1，3 2 （1）求椭圆 C 的方程； （2）求证：k1k 为定值 解析 （1）由题意知 1 a2 9 4b21， c a 1 2， a2b2c2， 解得 a2， b 3， c1， 故椭圆 C 的方程为x 2 4 y2 31 （2）证明：设 M（x0，y0） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由于 A，B 为椭圆 C 上的点，所以
13、x 2 1 4 y21 31， x22 4 y22 31，两式相减得 （x1x2）（x1x2） 4 （y1y2）（y1y2） 3 ， 所以 k1y1y2 x1x2 3（x1x2） 4（y1y2） 3x0 4y0 又 ky0 x0，故 k1k 3 4，为定值 1“点差法”的四步骤 处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法” ，步骤如下： 2“点差法”的常见结论 设 AB 为圆锥曲线的弦，点 P 为弦 AB 的中点： （1）椭圆x 2 a2 y2 b21（ab0）中的中点弦问题：kAB kOP b2 a2； （2）双曲线x 2 a2 y2 b21（a0，b0）中的中点弦问题：kAB
14、kOP b2 a2； （3）抛物线 y22px（p0）中的中点弦问题：kAB p y0（y0为中点 P 的纵坐标） 题组突破 1 （2021 衡阳模拟）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过 F 的直线与 C 交于 A，B 两点， 且线段 AB 中点的纵坐标为 2，O 为坐标原点，则AOB 的面积为（ ） A2 2 B 2 C2 D4 解析：法一：设直线 AB 的方程为 xty1，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，线段 AB 的中点为 M， 由 xty1， y24x 消去 x 得 y24ty40， y1y24t， y1 y24. 由 yMy1y2 2 2t2，得 t1， SAOB1
15、2|OF|y1y2| 1 2 （y1y2）24y1y22 2 法二：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 由 y2 14x1， y224x2 得 kABy1y2 x1x2 4 y1y21， 从而直线 AB 的方程为 yx1，由抛物线定义可得|AB|x1x22y1y248， 而点 O 到直线 AB 的距离 d 1 2 2 2 ， 从而 SAOB1 2|AB|d2 2 答案：A 2 （2021 石家庄摸底）已知点 E 在 y 轴上，点 F 是抛物线 y22px（p0）的焦点，直线 EF 与抛物线交于 M，N 两点，若点 M 为线段 EF 的中点，且|NF|12，则 p_ 解析：如图，由题意知
16、F p 2，0 M 为 EF 的中点， 点 M 的横坐标为p 4 设直线 EF 的方程为 yk xp 2 ，k0 由 yk xp 2 ， y22px， 得 k2x2（k2p2p）xk 2p2 4 0 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 则 x1x2k 2p2p k2 ， x1x2p 2 4 ， x1p 4，x2p 当 xp 时，y22p2，N（p， 2p） |NF|2 pp 2 2 （ 2p）2， 144p 2 4 2p2，p264，p0，p8 答案：8 3已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21（a0，b0） ，过点 P（3，6）的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点， 且 A
17、B 的中点 N（12，15） ，则双曲线 C 的离心率为_ 解析：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由 AB 的中点为 N（12，15） ，得 x1x224，y1y230， 由 x21 a2 y21 b21， x22 a2 y22 b21 两式相减得 （x1x2）（x1x2） a2 （y1y2）（y1y2） b2 ， 则y1y2 x1x2 b2（x1x2） a2（y1y2） 4b2 5a2 因为直线 AB 的斜率 k156 1231， 所以4b 2 5a21，则 b2 a2 5 4， 所以双曲线的离心率 ec a 1b 2 a2 3 2 答案：3 2 直线与圆锥曲线位置关系中的核心素
18、养 数学运算在研究位置关系中应用 数学运算是得到数学结果的重要手段在该部分主要表现为理解运算对象直线和圆锥曲 线方程构成的方程组的运算，通过探究运算思路、选择运算过程，得到与位置关系相关的结 论 例 已知椭圆 r：x 2 a2 y2 b21（ab0）的右焦点为 F（1，0） ，且离心率为 1 2，三角形 ABC 的三个顶点都在椭圆 r 上设它的三条边 AB，BC，AC 的中点分别为 D，E，M，且三条边所 在直线的斜率分别为 k1，k2，k3，且 k1，k2，k3均不为 0O 为坐标原点，若直线 OD，OE， OM 的斜率之和为 1，则 1 k1 1 k2 1 k3（ ） A4 3 B3 C1
19、8 13 D3 2 解析 因为椭圆 r：x 2 a2 y2 b21（ab0）的右焦点为 F（1，0） ，且离心率为 1 2，且 a 2b2 c2， 所以可求得椭圆的标准方程为x 2 4 y2 31 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3） ，D（s1，t1） ，E（s2，t2） ，M（s3，t3） ， 因为 A，B 在椭圆上， 所以x 2 1 4 y21 31， x22 4 y22 31， 两式相减得 k1y1y2 x1x2 3 4 x1x2 y1y2 3 4 s1 t1， 即 1 k1 4t1 3s1， 同理可得1 k2 4t2 3s2， 1 k3 4t3 3s3， 所以
20、1 k1 1 k2 1 k3 4 3 t1 s1 t2 s2 t3 s3 ， 因为直线 OD，OE，OM 的斜率之和为 1， 所以1 k1 1 k2 1 k3 4 31 4 3 答案 A 该题考查了直线和圆锥曲线中的中点弦问题以及直线斜率的求解，还考查了数学运算核心素 养根据题意中点的提示，可选用点差法利用中点坐标表示弦所在直线的斜率，从而起 到简化计算流程的效果由此可见，数学运算也要根据具体的要求和情景选择适宜的运算方 法，避免烦琐的计算过程，提高自己的数学素养 对点训练 已知双曲线x 2 a2 y2 b21（a0，b0）的离心率为 5 2 ，A，B 是双曲线上关于原点对称的两点， M 是双
21、曲线上异于 A，B 的动点，直线 MA，MB 的斜率分别为 k1，k2，若 k11，2，则 k2 的取值范围为（ ） A 1 8， 1 4 B 1 4， 1 2 C 1 4， 1 8 D 1 2， 1 4 解析：设 A（x1，y1） ，M（x，y） ，则 B（x1，y1） 因为 A，M 均在双曲线上，所以x 2 1 a2 y21 b2 1， x2 a2 y2 b21， 所以 x21x2 a2 y 2 1y 2 b2 ，即y 2y2 1 x2x21 b2 a2因为双曲线的离心率 e c a 5 2 ， 所以a 2b2 a2 1b 2 a2 5 4，所以 b2 a2 1 4，所以 k1 k2 y1y x1x y1y x1x y2y21 x2x21 b2 a2 1 4，所以 k2 1 4k1， 因为 k11，2，所以 k2 1 8， 1 4 答案：A