1、 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 命题分析预测 学科核心素养 从近五年的考查情况来看，本节主要考查分类加法计数原理和 分步乘法计数原理的应用，一般以小题的形式单独考查或以古 典概型为载体进行考查，有时也与概率相交汇以解答题的形式 呈现 本节主要考查考生的逻辑 推理核心素养 授课提示：对应学生用书第 203 页 知识点一 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同的方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种 不同的方法，那么完成这件事共有 Nmn 种不同的方法 温馨提醒 分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是 独立
2、的 1从 0，1，2，3，4，5 这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的 种数有( ) A30 B20 C10 D6 解析：从 0，1，2，3，4，5 这六个数字中，任取两个不同数字相加和为偶数可分为两类， 取出的两数都是偶数， 共有 3 种方法；取出的两数都是奇数，共有 3 种方法，故由分类加法计数原理得共有 N3 36(种) 答案：D 2(易错题)a，b，c，d，e 共 5 个人，从中选 1 名组长 1 名副组长，但 a 不能当副组长，不同 选法的种数是( ) A20 B16 C10 D6 解析：当 a 当组长时，则共有 144 种选法；当 a 不当组长时，又因为 a
3、也不能当副组长， 则共有 4312 种选法因此共有 41216 种选法 答案：B 知识点二 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么 完成这件事共有 Nmn 种不同的方法 温馨提醒 分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这 件事，步与步之间是相关联的 1已知某公园有 4 个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为( ) A16 B13 C12 D10 解析：将 4 个门编号为 1，2，3，4，从 1 号门进入后，有 3 种出门的方式，共 3 种走法，从 2，3，4 号门进入
4、，同样各有 3 种走法，共有不同走法 4312(种) 答案：C 2某班新年联欢会原定的 6 个节目已排成节目单，开演前又增加了 3 个新节目，如果将这 3 个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为_ 解析：3 个新节目一个一个插入节目单中，分别有 7，8，9 种方法，所以不同的插法种数为 789504 答案：504 3 (易错题)如图，从 A 城到 B 城有 3 条路；从 B 城到 D 城有 4 条路；从 A 城到 C 城有 4 条 路，从 C 城到 D 城有 5 条路，则某旅客从 A 城到 D 城共有_条不同的路线 解析：不同路线共有 344532(条) 答案：32 授课提示：对应学生用书
5、第 204 页 题型一 分类加法计数原理 1从集合1，2，3，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比 数列的个数为（ ） A3 B4 C6 D8 解析：以 1 为首项的等比数列为 1，2，4；1，3，9； 以 2 为首项的等比数列为 2，4，8； 以 4 为首项的等比数列为 4，6，9； 把这四个数列顺序颠倒，又得到 4 个数列， 所求的数列共有 2（211）8（个） 答案：D 2在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为_ 解析：个位数字为 2 时，有 1 种选法；个位数字为 3 时，有 2 种选法；个位数字为 4 时，有 3 种选法；个位数字为 9 时，有
6、 8 种选法，根据分类加法计数原理，满足条件的两位数的 个数为 123836 答案：36 3如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1a3，则称这样的三位数为凸数（如 120， 343，275 等） ，那么所有凸数的个数为_ 解析： 若 a22， 则百位数字只能选 1， 个位数字可选 1 或 0， “凸数”为 120 与 121， 共 2 个 若 a23，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有 236（个） 若 a2 4，满足条件的“凸数”有 3412（个），若 a29，满足条件的“凸数”有 89 72（个） 所以所有凸数共有 26122030425672240（个） 答案
7、：240 使用分类加法计数原理时两个注意点 （1）根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏 （2）分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复 题型二 分步乘法计数原理 1 （2021 新余模拟）7 人站成两排队列，前排 3 人，后排 4 人，现将甲、乙、丙三人加入队 列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（ ） A120 B240 C360 D480 解析：第一步，从甲、乙、丙三人中选一个加到前排，有 3 种方法；第二步，前排 3 人形成 了 4 个空，任选一个空加一人，有 4 种方法；第三步，后排 4 人形成了 5
8、个空，任选一个空 加一人，有 5 种方法，此时形成了 6 个空，任选一个空加一人，有 6 种方法；根据分步乘法 计数原理可得不同的加入方法种数为 3456360 答案：C 2 （2021 石家庄模拟） 教学大楼共有五层， 每层均有两个楼梯， 由一层到五层的走法有 （ ） A10 种 B25种 C52种 D24种 解析：每相邻的两层之间各有 2 种走法，共分 4 步 由分步乘法计数原理，共有 24种不同的走法 答案：D 3 （2020 高考全国卷）4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小 区，每个小区至少安排 1 名同学，则不同的安排方法共有 种 解析：将 4 名同学
9、分成人数为 2，1，1 的 3 组有 C246 种分法，再将 3 组同学分到 3 个小区 共有 A336 种分法，由分步乘法计数原理可得不同的安排方法共有 6636 种 答案：36 利用分步乘法计数原理解题时三个注意点 （1）要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的 （2）各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事 （3）对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定 题型三 两个计数原理的综合应用 例 （1） （2021 重庆模拟）某地行政区域如图，请你用 4 种不同的颜色为每个区域涂色， 要求相邻区域不同色，共有 种不同的涂色方法 （用具体数字作答） （2）如图所示
10、，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形 有 个 （用数字作答） 解析 （1）假设按 abcde 顺序涂色对于 a 有 4 种涂色的方法，对于 b 有 3 种涂 色方法，对于 c 有 2 种涂色方法，对于 e：若 c 与 d 颜色相同，则有 2 种涂色方法，若 c 与 d 颜色不相同，则只有 1 种涂色方法故共有 432（21）72 种不同的涂色方法 （2）把与正八边形有公共边的三角形分为两类： 第一类，有一条公共边的三角形共有 8432（个） 第二类，有两条公共边的三角形共有 8 个 由分类加法计数原理知，共有 32840（个） 答案 （1）72 （2）40 应用
11、两个计数原理的难点在于明确分类和分步分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标 准是关键；分步要做到“步骤完整”，步步相连能将事件完成，较复杂的问题可借助图表完 成 题组突破 1已知两条异面直线 a，b 上分别有 5 个点和 8 个点，则这 13 个点可以确定不同的平面个数 为（ ） A40 B16 C13 D10 解析：分两类情况讨论：第 1 类，直线 a 分别与直线 b 上的 8 个点可以确定 8 个不同的平面； 第 2 类，直线 b 分别与直线 a 上的 5 个点可以确定 5 个不同的平面根据分类加法计数原理 知，共可以确定 8513 个不同的平面 答案：C 2用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标
12、号为 1，2，9 的 9 个小正方形（如图） ，使得任意 相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为 1，5，9 的小正方形涂相同的颜 色，则符合条件的所有涂法共有 种 解析：把区域分为三部分：第一部分 1，5，9，有 3 种涂法，第二部分 4，7，8，当 5，7 同 色时，4，8 各有 2 种涂法，共 4 种涂法，当 5，7 异色时，7 有 2 种涂法，4，8 均只有 1 种涂 法，故第二部分共 426（种）涂法；第三部分与第二部分一样，共 6 种涂法由分步乘法 计数原理，可得共有 366108 种涂法 答案：108 计数原理应用中的核心素养 逻辑推理两个计数原理的创新应用 例 若
13、 m，n 均为非负整数，在做 mn 的加法时各位均不进位（例如：1343 8023 936） ， 则称（m，n）为“简单的”有序对，则 mn 称为有序对（m，n）的值，那么值为 1 942 的“简 单的”有序对的个数是_ 解析 第 1 步，110，101，共 2 种组合方式； 第 2 步，909，918，927，936，990，共 10 种组合方式； 第 3 步，404，413，422，431，440，共 5 种组合方式； 第 4 步，202，211，220，共 3 种组合方式 根据分步乘法计数原理，值为 1 942 的“简单的”有序对的个数为 21053300 答案 300 解决两个计数原理的创新应用问题的关键是要抓住题中给的新定义信息分步或分类进行推 理 对点训练 定义集合 A 与 B 的运算 A*B 如下：A*B（x，y）|xA，yB若 Aa，b，c，Ba， c，d，e，则集合 A*B 中的元素个数为（ ） A34 B43 C12 D以上都不对 解析：A*B 中的元素是由 A 中取一个元素来确定 x，B 中取一个元素来确定 y，由分步乘法计 数原理可知 A*B 中有 3412 个元素 答案：C