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2022届高考北师大版数学(理)一轮复习学案:9.4 随机事件的概率

1、第四节 随机事件的概率 命题分析预测 学科核心素养 本节主要考查利用频率估计概率,计算随机事件的概率,常 涉及对立事件、互斥事件,一般以选择题或填空题的形式出 现,有时也会与分布列、期望、方差和统计等知识进行交汇 命题 本节通过对频率、概率及其性 质考查考生的数据分析、数学 运算核心素养 授课提示:对应学生用书第 212 页 知识点一 事件的关系与运算 1事件的分类 确定 事件 必然事件 在条件 S 下,一定会发生的事件叫做相对于条件 S 的必然事件 不可能事 件 在条件 S 下,一定不会发生的事件叫做相对于条件 S 的不可能事件 随机事件 在条件 S 下,可能发生也可能不发生的事件叫做相对于

2、条件 S 的随机 事件 2事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件 A 发生,则事件 B 一定发生,这时称事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B) BA (或 AB) 相等关系 若 BA 且 AB AB 并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生,称 此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件) AB (或 AB) 交事件 (积事件) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生,则 称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件) AB (或 AB) 互斥事件 若 AB 为不可能事件,则称事件 A 与事件 B 互斥 AB

3、对立事件 若 AB 为不可能事件, AB 为必然事件, 那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件 AB; P(AB) P(A)P(B)1 温馨提醒 互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要 求二者必须有一个发生,因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事 件 1一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( ) A至多有一次中靶 B两次都中靶 C只有一次中靶 D两次都不中靶 解析:两次中“至少有一次中靶”即“一次中靶或两次中靶”,与该事件不能同时发生的是 “两次都不中靶” 答案:D 2 (2021 济南模拟)将一个骰子抛掷

4、一次,设事件 A 表示向上的一面出现的点数不超过 3, 事件 B 表示向上的一面出现的点数不小于 4,事件 C 表示向上的一面出现奇数点,则( ) AA 与 B 是对立事件 BA 与 B 是互斥而非对立事件 CB 与 C 是互斥而非对立事件 DB 与 C 是对立事件 解析:由题意知,事件 A 包含的基本事件为向上的点数为 1,2,3,事件 B 包含的基本事件为 向上的点数为 4,5,6,事件 C 包含的点数为 1,3,5,A 与 B 是对立事件 答案:A 知识点二 频率与概率 1频率与概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出现

5、的次数 nA为事件 A 出现的频数,称事件 A 出现的比例 fn(A)nA n 为事件 A 出现的频率 (2)对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某 个常数上,把这个常数记作 P(A) ,称为事件 A 的概率,简称为 A 的概率 2概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围:0P(A)1 (2)必然事件的概率 P(E)1 (3)不可能事件的概率 P(F)0 (4)互斥事件概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P(AB)P(A)P(B) 若事件 B 与事件 A 互为对立事件,则 P(A)1P(B) 温馨提醒 概率加法公式的推广 当一个

6、事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时,要用到概率加法公式的推广,即 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An) 1随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况, 某公司随机对 4 500 名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答) ,统计结 果如表: 满意情况 不满意 比较满意 满意 非常满意 人数 200 n 2 100 1 000 根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率 是( ) A 7 15 B2 5 C11 15 D13 15 解析:由题意,n4 5002002 1001 0001 200,

7、所以对网上购物“比较满意”或“满 意”的人数为 1 2002 1003 300,所以所求概率为3 300 4 500 11 15 答案:C 2一个盒子里装有标号为 1,2,3,4 的 4 张卡片,随机地抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上 的数字之和为奇数的概率是_ 解析:抽取两张卡片的基本事件有: (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,3) , (2,4) , (3,4) , 共 6 种,和为奇数的事件有: (1,2) , (1,4) , (2,3) , (3,4) ,共 4 种 所以所求概率为4 6 2 3 答案:2 3 3掷一个骰子的试验,事件 A 表示“小于 5 的偶数

8、点出现”,事件 B 表示“小于 5 的点数出 现” ,则一次试验中,事件 AB 发生的概率为_ 解析:掷一个骰子的试验有 6 种可能结果,依题意 P(A)2 6 1 3,P(B) 4 6 2 3,所以 P(B ) 1P(B)12 3 1 3,显然 A 与B 互斥,从而 P(AB )P(A)P(B )1 3 1 3 2 3 答案:2 3 授课提示:对应学生用书第 213 页 题型一 事件的关系及概率公式的应用 1 (2020 新高考全国卷)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有 96%的学生喜欢足球或 游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数 占该校学

9、生总数的比例是( ) A62% B56% C46% D42% 解析:用 Venn 图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图,设既喜欢足 球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为 x,则(60%x)(82%x)x96%, 解得 x46% 答案:C 2 (2021 湖北十市联考)从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对 立的两个事件是( ) A “至少有一个黑球”与“都是黑球” B“至少有一个黑球”与“都是红球” C“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” 解析:A 中的两个事件是包含关系,不是互斥事件;B 中的两

10、个事件是对立事件;C 中的两个 事件都包含“一个黑球一个红球”的事件, 不是互斥关系; D 中的两个事件是互斥而不对立的 关系 答案:D 3 (2020 高考天津卷)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为1 2和 1 3假定两球是否落入盒子 互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ;甲、乙两球至少有一个落入盒子的 概率为_ 解析:甲、乙两球落入盒子的概率分别为1 2, 1 3,且两球是否落入盒子互不影响,所以甲、乙 都落入盒子的概率为1 2 1 3 1 6,甲、乙两球都不落入盒子的概率为 11 2 11 3 1 3, 所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为2 3 答案:1 6 2 3 1判断互

11、斥、对立事件的两种方法 (1)定义法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事 件,若有且仅有一个发生,则这两事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件 (2)集合法 若各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥 事件 A 的对立事件A 所含的结果组成的集合, 是全集中由事件 A 所含的结果组成的集合的补 集 2求复杂的互斥事件的概率的方法 (1)直接法 (2)间接法(正难则反) 题型二 随机事件的频率与概率 例 (2021 咸阳检测)交强险是车主须为机动车购买的险种若普通 6 座以下私家车投保 交强险第一年的费用(基本保费)是 a 元,在下一

12、年续保时,实行费率浮动制,其保费与上 一年度车辆发生道路交通事故情况相联系,具体浮动情况如下表: 类型 浮动因素 浮动比率 A1 上一年度未发生有责任的道路交通事故 下浮 10% A2 上两年度未发生有责任的道路交通事故 下浮 20% A3 上三年度未发生有责任的道路交通事故 下浮 30% A4 上一年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 0% A5 上一年度发生两次及以上有责任不涉及死亡的道路交通事故 上浮 10% A6 上一年度发生有责任涉及死亡的道路交通事故 上浮 30% 据统计,某地使用某一品牌 6 座以下的车大约有 5 000 辆,随机抽取了 100 辆车龄满三年的该 品牌同型号

13、私家车的下一年续保情况,统计得到如下表格: 类型 A1 A2 A3 A4 A5 A6 数量 50 15 10 m 3 2 以这 100 辆该品牌汽车的投保类型的频率视为概率,按照我国机动车交通事故责任强制保 险条例汽车交强险价格为 a950 元 (1) 求 m 的值, 并估计该地本年度使用这一品牌 6 座以下汽车交强险费大于 950 元的车辆数; (2)试估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的交强险保费不超过 950 元的概率 解析 (1)m1005015103220估计该地本年度使用这一品牌 6 座以下汽车 交强险费大于 950 元的车辆数为 5 00032 100 250 (2)保费不超

14、过 950 元的类型为 A1,A2,A3,A4,所求概率为50151020 100 095 随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐渐趋近于 某一个常数,这个常数就是概率 对点训练 电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表: 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 04 02 015 025 02 01 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值 (1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;

15、(2)随机选取 1 部电影,估计这部电影没有获得好评的概率; (3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变 化假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加 01,哪 类电影的好评率减少 01,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最 大?(只需写出结论) 解析: (1)由题意知,样本中电影的总部数是 140503002008005102 000, 获得好评的第四类电影的部数是 20002550, 故所求概率为 50 2 0000025 (2)由题意知,样本中获得好评的电影部数是 14004500230001520002

16、5800025100156104550 16051372, 故所求概率估计为 1 372 2 0000814 (3)增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率 概率性质应用中的核心素养 数学运算概率性质的应用问题 例 若随机事件 A,B 互斥,A,B 发生的概率均不等于 0,且 P(A)2a,P(B)4a 5,则实数 a 的取值范围是( ) A 5 4,2 B 5 4, 3 2 C 5 4, 3 2 D 5 4, 4 3 解析 由题意可得 0P(A)1, 0P(B)1, P(A)P(B)1, 即 02a1, 04a51, 3a31, 解得5 4a 4 3 答案 D 本题易漏 0P(A)1,0P(B)1,从而导致错误 对点训练 若 A,B 互为对立事件,其概率分别为 P(A)4 x,P(B) 1 y,则 xy 的最小值为_ 解析:由题意,x0,y0,4 x 1 y1,则 xy(xy) 4 x 1 y 5 4y x x y 52 4y x x y 9,当且仅当 x2y 时等号成立,故 xy 的最小值为 9 答案:9