1、第四节 随机事件的概率 命题分析预测 学科核心素养 本节主要考查利用频率估计概率，计算随机事件的概率，常 涉及对立事件、互斥事件，一般以选择题或填空题的形式出 现，有时也会与分布列、期望、方差和统计等知识进行交汇 命题 本节通过对频率、概率及其性 质考查考生的数据分析、数学 运算核心素养 授课提示：对应学生用书第 212 页 知识点一 事件的关系与运算 1事件的分类 确定 事件 必然事件 在条件 S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件 S 的必然事件 不可能事 件 在条件 S 下，一定不会发生的事件叫做相对于条件 S 的不可能事件 随机事件 在条件 S 下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于
2、条件 S 的随机 事件 2事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事件 B 包含事件 A（或称事件 A 包含于事件 B） BA （或 AB） 相等关系 若 BA 且 AB AB 并事件 （和事件） 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生，称 此事件为事件 A 与事件 B 的并事件（或和事件） AB （或 AB） 交事件 （积事件） 若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生，则 称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件（或积事件） AB （或 AB） 互斥事件 若 AB 为不可能事件，则称事件 A 与事件 B 互斥 AB
3、对立事件 若 AB 为不可能事件， AB 为必然事件， 那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件 AB； P（AB） P（A）P（B）1 温馨提醒 互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要 求二者必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事 件 1一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ） A至多有一次中靶 B两次都中靶 C只有一次中靶 D两次都不中靶 解析：两次中“至少有一次中靶”即“一次中靶或两次中靶”，与该事件不能同时发生的是 “两次都不中靶” 答案：D 2 （2021 济南模拟）将一个骰子抛掷
4、一次，设事件 A 表示向上的一面出现的点数不超过 3， 事件 B 表示向上的一面出现的点数不小于 4，事件 C 表示向上的一面出现奇数点，则（ ） AA 与 B 是对立事件 BA 与 B 是互斥而非对立事件 CB 与 C 是互斥而非对立事件 DB 与 C 是对立事件 解析：由题意知，事件 A 包含的基本事件为向上的点数为 1，2，3，事件 B 包含的基本事件为 向上的点数为 4，5，6，事件 C 包含的点数为 1，3，5，A 与 B 是对立事件 答案：A 知识点二 频率与概率 1频率与概率 （1）在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现
5、的次数 nA为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn（A）nA n 为事件 A 出现的频率 （2）对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率 fn（A）稳定在某 个常数上，把这个常数记作 P（A） ，称为事件 A 的概率，简称为 A 的概率 2概率的几个基本性质 （1）概率的取值范围：0P（A）1 （2）必然事件的概率 P（E）1 （3）不可能事件的概率 P（F）0 （4）互斥事件概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P（AB）P（A）P（B） 若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P（A）1P（B） 温馨提醒 概率加法公式的推广 当一个
6、事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即 P（A1A2An）P（A1）P（A2）P（An） 1随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况， 某公司随机对 4 500 名网上购物消费者进行了调查（每名消费者限选一种情况回答） ，统计结 果如表： 满意情况 不满意 比较满意 满意 非常满意 人数 200 n 2 100 1 000 根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率 是（ ） A 7 15 B2 5 C11 15 D13 15 解析：由题意，n4 5002002 1001 0001 200，
7、所以对网上购物“比较满意”或“满 意”的人数为 1 2002 1003 300，所以所求概率为3 300 4 500 11 15 答案：C 2一个盒子里装有标号为 1，2，3，4 的 4 张卡片，随机地抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上 的数字之和为奇数的概率是_ 解析：抽取两张卡片的基本事件有： （1，2） ， （1，3） ， （1，4） ， （2，3） ， （2，4） ， （3，4） ， 共 6 种，和为奇数的事件有： （1，2） ， （1，4） ， （2，3） ， （3，4） ，共 4 种 所以所求概率为4 6 2 3 答案：2 3 3掷一个骰子的试验，事件 A 表示“小于 5 的偶数
8、点出现”，事件 B 表示“小于 5 的点数出 现” ，则一次试验中，事件 AB 发生的概率为_ 解析：掷一个骰子的试验有 6 种可能结果，依题意 P（A）2 6 1 3，P（B） 4 6 2 3，所以 P（B ） 1P（B）12 3 1 3，显然 A 与B 互斥，从而 P（AB ）P（A）P（B ）1 3 1 3 2 3 答案：2 3 授课提示：对应学生用书第 213 页 题型一 事件的关系及概率公式的应用 1 （2020 新高考全国卷）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96%的学生喜欢足球或 游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数 占该校学
9、生总数的比例是（ ） A62% B56% C46% D42% 解析：用 Venn 图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，设既喜欢足 球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为 x，则（60%x）（82%x）x96%， 解得 x46% 答案：C 2 （2021 湖北十市联考）从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对 立的两个事件是（ ） A “至少有一个黑球”与“都是黑球” B“至少有一个黑球”与“都是红球” C“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” 解析：A 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B 中的两
10、个事件是对立事件；C 中的两个 事件都包含“一个黑球一个红球”的事件， 不是互斥关系； D 中的两个事件是互斥而不对立的 关系 答案：D 3 （2020 高考天津卷）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为1 2和 1 3假定两球是否落入盒子 互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的 概率为_ 解析：甲、乙两球落入盒子的概率分别为1 2， 1 3，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙 都落入盒子的概率为1 2 1 3 1 6，甲、乙两球都不落入盒子的概率为 11 2 11 3 1 3， 所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为2 3 答案：1 6 2 3 1判断互
11、斥、对立事件的两种方法 （1）定义法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事 件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件 （2）集合法 若各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥 事件 A 的对立事件A 所含的结果组成的集合， 是全集中由事件 A 所含的结果组成的集合的补 集 2求复杂的互斥事件的概率的方法 （1）直接法 （2）间接法（正难则反） 题型二 随机事件的频率与概率 例 （2021 咸阳检测）交强险是车主须为机动车购买的险种若普通 6 座以下私家车投保 交强险第一年的费用（基本保费）是 a 元，在下一
12、年续保时，实行费率浮动制，其保费与上 一年度车辆发生道路交通事故情况相联系，具体浮动情况如下表： 类型 浮动因素 浮动比率 A1 上一年度未发生有责任的道路交通事故 下浮 10% A2 上两年度未发生有责任的道路交通事故 下浮 20% A3 上三年度未发生有责任的道路交通事故 下浮 30% A4 上一年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 0% A5 上一年度发生两次及以上有责任不涉及死亡的道路交通事故 上浮 10% A6 上一年度发生有责任涉及死亡的道路交通事故 上浮 30% 据统计，某地使用某一品牌 6 座以下的车大约有 5 000 辆，随机抽取了 100 辆车龄满三年的该 品牌同型号
13、私家车的下一年续保情况，统计得到如下表格： 类型 A1 A2 A3 A4 A5 A6 数量 50 15 10 m 3 2 以这 100 辆该品牌汽车的投保类型的频率视为概率，按照我国机动车交通事故责任强制保 险条例汽车交强险价格为 a950 元 （1） 求 m 的值， 并估计该地本年度使用这一品牌 6 座以下汽车交强险费大于 950 元的车辆数； （2）试估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的交强险保费不超过 950 元的概率 解析 （1）m1005015103220估计该地本年度使用这一品牌 6 座以下汽车 交强险费大于 950 元的车辆数为 5 00032 100 250 （2）保费不超
14、过 950 元的类型为 A1，A2，A3，A4，所求概率为50151020 100 095 随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于 某一个常数，这个常数就是概率 对点训练 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 04 02 015 025 02 01 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值 （1）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
15、（2）随机选取 1 部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； （3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变 化假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加 01，哪 类电影的好评率减少 01，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最 大？（只需写出结论） 解析： （1）由题意知，样本中电影的总部数是 140503002008005102 000， 获得好评的第四类电影的部数是 20002550， 故所求概率为 50 2 0000025 （2）由题意知，样本中获得好评的电影部数是 14004500230001520002
16、5800025100156104550 16051372， 故所求概率估计为 1 372 2 0000814 （3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率 概率性质应用中的核心素养 数学运算概率性质的应用问题 例 若随机事件 A，B 互斥，A，B 发生的概率均不等于 0，且 P（A）2a，P（B）4a 5，则实数 a 的取值范围是（ ） A 5 4，2 B 5 4， 3 2 C 5 4， 3 2 D 5 4， 4 3 解析 由题意可得 0P（A）1， 0P（B）1， P（A）P（B）1， 即 02a1， 04a51， 3a31， 解得5 4a 4 3 答案 D 本题易漏 0P（A）1，0P（B）1，从而导致错误 对点训练 若 A，B 互为对立事件，其概率分别为 P（A）4 x，P（B） 1 y，则 xy 的最小值为_ 解析：由题意，x0，y0，4 x 1 y1，则 xy（xy） 4 x 1 y 5 4y x x y 52 4y x x y 9，当且仅当 x2y 时等号成立，故 xy 的最小值为 9 答案：9