1、第三节 二项式定理 命题分析预测 学科核心素养 本节是高考的重点，主要考查二项展开式的通项、二 项式系数、特定项的系数、系数和问题、最值问题、 参数问题等，一般以选择题和填空题的形式出现，难 度中等 本节主要考查学生的数学运算核心 素养和转化与化归思想的应用 授课提示：对应学生用书第 209 页 知识点一 二项式定理 1二项式定理 （1）定理：公式（ab）nC0nanC1nan 1bCk na nkbkCn nb n（nN*）叫做二项式定 理 （2）通项：Tk1Cknan kbk为展开式的第 k1 项 2二项式系数与项的系数 （1）二项式系数：二项展开式中各项的系数 Ckn（k0，1，n ）叫
2、做二项式系数 （2）项的系数：项的系数是该项中非字母因数部分，包含符号等，与二项式系数是两个不同 的概念 温馨提醒 1二项式的通项易误认为是第 k 项，实质上是第 k1 项 2易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非 字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指 Ckn（k0，1，n） 1 1 x x 10 的展开式中 x2的系数等于（ ） A45 B20 C30 D90 解析：因为展开式的通项为 Tr1（1）rCr10 x r 2x（10r）（1）rCr 10 x103 2r，令10 3 2r 2，得 r8，所以展开式中 x2的系数为（1）8C81045
3、答案：A 2若 x1 x n 展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为 解析：二项式系数之和 2n64，所以 n6，Tk1Ck6 x6 k 1 x k Ck6x6 2k，当 62k0，即当 k 3 时为常数项，T4C3620 答案：20 知识点二 二项式系数的性质 1二项式系数的性质 性质 内容 对称性 与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即 Cm nC nm n 增减性 当 kn1 2 时，二项式系数逐渐增大； 当 kn1 2 时，二项式系数逐渐减小 最大值 当 n 是偶数时，中间一项 第n 21项 的二项式系数最大，最大值为 C n 2n； 当 n 是奇数时，中间两项 第n1
4、2 1项和第n1 2 1项 的二项式系数相 等，且同时取得最大值，最大值为 C n1 2 n或 C n1 2 n 2各二项式系数的和 （ab）n的展开式的各个二项式系数的和等于 2n，即 C0nC1nC2nCknCnn2n 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 C1nC3nC5n C0nC2nC4n2n 1 1 （2021 福州模拟）设 n 为正整数， x 2 x3 n 的展开式中仅有第 5 项的二项式系数最大，则展 开式中的常数项为（ ） A112 B112 C60 D60 解析：依题意得，n8，所以展开式的通项 Tr1Cr8x8 r 2 x3 r Cr8x8
5、4r（2）r，令 84r 0，解得 r2，所以展开式中的常数项为 T3C28（2）2112 答案：B 2已知（12x）n展开式中，奇数项的二项式系数之和为 64，则（12x）n（1x）的展开 式中含 x2项的系数为（ ） A71 B70 C21 D49 解析：因为奇数项的二项式系数之和为 2n 1，所以 2n164，n7，因此（12x）n（1x） 的展开式中含 x2项的系数为 C27（2）2C17（2）70 答案：B 3若（x1）4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则 a0a2a4的值为_ 解析：令 x1，则 a0a1a2a3a40，令 x1，则 a0a1a2a3a416，两式相加 除以 2
6、 得 a0a2a48 答案：8 授课提示：对应学生用书第 210 页 题型一 二项展开式中的特定项或系数 1 （2021 重庆巴蜀中学二诊）二项式 1 xx 2 10 的展开式中的常数项是（ ） A45 B10 C45 D65 解析：由二项式定理得 Tr1Cr10 1 x 10r （x2）rCr10（1）rx5r 2 5，令5r 2 50 得 r2， 所以常数项为 C210（1）245 答案：C 2若二项式 2xa x 7 的展开式中 1 x3的系数是 84，则实数 a（ ） A2 B54 C1 D 2 4 解析：展开式中含1 x3的项是 T6C 5 7（2x） 2 a x 5 C5722a5
7、x 3，故有 C5 72 2a584，解得 a1 答案：C 3 （2020 高考天津卷）在 x 2 x2 5 的展开式中，x2的系数是_ 解析：因为 x2 x2 5 的展开式的通项公式为 Tr1Cr5x5 r 2 x2 r Cr5 2r x5 3r（r0，1，2，3，4， 5） ，令 53r2，解得 r1所以 x2的系数为 C15210 答案：10 4 （2020 高考全国卷） x22 x 6 的展开式中常数项是 （用数字作答） 解析： x22 x 6 的展开式的通项为 Tr1Cr6（x2） 6r 2 x r Cr62rx12 3r，令 123r0，解得 r4， 得常数项为 C4624240
8、答案：240 与二项展开式有关问题的解题策略 （1）求展开式中的特定项，可依据条件写出第 r1 项，再由特定项的特点求出 r 值即可 （2）已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第 r1 项， 由特定项得出 r 值，最后求出其参数 （3）对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去 求解或看成几个因式的乘积，再利用组合数公式求解 题型二 二项式系数的和与各项的系数和问题 例 1 在 x 3 x n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为 641，则 x3的系数为 （ ） A15 B45 C135 D405 解析 由题意知4 n 2
9、n64，得 n6，展开式的通项为 Tr1C r 6x 6r 3 x r 3rCr6x63r 2 ，令 63r 2 3，得 r2，则 x3的系数为 32C26135 答案 C 例 2 若（1x）9a0a1xa2x2a9x9，则|a1|a2|a3|a9|（ ） A1 B513 C512 D511 解析 令 x0，得 a01，令 x1，得|a1|a2|a3|a9|1（1）91291 511 答案 D 赋值法的应用 二项式定理给出的是一个恒等式，对于 x，y 的一切值都成立因此，可将 x，y 设定为一些特 殊的值在使用赋值法时，令 x，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，1 或 0”， 有时也
10、取其他值如： （1）形如（axb）n， （ax2bxc）m（a，bR）的式子，求其展开式的各项系数之和，只 需令 x1 即可 （2）形如（axby）n（a，bR）的式子，求其展开式各项系数之和，只需令 xy1 即可 题组突破 1 x 1 3 x n 的展开式中各项系数之和大于 8， 但小于 32， 则展开式中系数最大的项是 （ ） A63x B 4 x C4x6x D 4 x或 4x 6 x 解析：令 x1，可得 x 1 3 x n 的展开式中各项系数之和为 2n，即 82n32，解得 n4，故 第 3 项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是 C24（ x）2 1 3 x 2 63x 答案：
11、A 2若（1x） （12x）8a0a1xa9x9，xR，则 a1 2a2 22a9 29的值为（ ） A29 B291 C39 D391 解析： （1x） （12x）8a0a1xa2x2a9x9，令 x0，得 a01；令 x2，得 a0a1 2 a2 22a9 2939，所以 a1 2a2 22a9 29391 答案：D 二项式定理应用中的核心素养 数学运算几个多项式的展开式问题 1几个多项式的和的展开式问题 例 1 （2020 高考浙江卷）二项展开式（12x）5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则 a4 ；a1a3a5_ 解析 由题意，得 a4C452451680 当 x1 时，
12、（12）5a0a1a2a3a4a535243， 当 x1 时， （12）5a0a1a2a3a4a51 得，2（a1a3a5）243（1）244， 可得 a1a3a5122 答案 80 122 对于几个多项式和的展开式中的特定项（系数）问题，只需依据二项展开式的通项公式，从 每一个多项式中分别得到特定的项，再求和即可 2几个多项式的积的展开式问题 例 2 （2021 唐山摸底） xy 2 x （xy）5的展开式中 x3y3的系数为（ ） A5 B10 C15 D20 解析 （xy）5展开式的通项公式为 Tr1Cr5x5 ryr（rN 且 r5） ， 所以 xy 2 x 的各项与（xy）5展开式的
13、通项的乘积可表示为： xTr1xCr5x5 ryrCr 5x 6ryr和y 2 x Tr1y 2 x Cr5x5 ryrCr 5x 4ryr2， 在 xTr1Cr5x6 ryr 中，令 r3，可得：xT4C35x3y3，该项中 x3y3的系数为 10， 在y 2 xTr1C r 5x 4ryr2中，令 r1，可得：y 2 x T2C15x3y3，该项中 x3y3的系数为 5， 所以 x3y3的系数为 10515 答案 C 求解形如（ab）m（cd）n的展开式问题的思路 （1）若 m，n 中有一个比较小，可考虑把它展开，如（ab）2 （cd）n（a22abb2） （cd）n，然后分别求解 （2）
14、观察（ab） （cd）是否可以合并，如（1x）5 （1x）7（1x） （1x）5（1 x）2（1x2）5（1x）2 （3）分别得到（ab）m， （cd）n的通项，综合考虑 3三项展开式的特定项问题 例 3 （x2xy）5的展开式中 x5y2的系数为（ ） A10 B20 C30 D60 解析 （x2xy）5的展开式的通项为 Tr1Cr5（x2x）5 r yr，令 r2，则 T 3C 2 5（x 2x） 3y2，又（x2x）3的展开式的通项为 T k1C k 3（x 2）3k xkCk 3x 6k，令 6k5，则 k1，所 以（x2xy）5的展开式中，x5y2的系数为 C25C1330 答案 C
15、 三项展开式中的特定项（系数）问题的处理方法 （1）通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用二项展开式中的特定项（系数）问题的 处理方法求解 （2）将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的 所有可能情形 题组突破 1 （2020 高考全国卷） xy 2 x （xy）5的展开式中 x3y3的系数为（ ） A5 B10 C15 D20 解析：法一： xy 2 x （xy）5 xy 2 x （x55x4y10 x3y210 x2y35xy4y5） ，x3y3的系 数为 10515 法二：当 xy 2 x 中取 x 时，x3y3的系数为 C35， 当 xy 2 x 中取y 2 x 时，x3y3的系数为 C15， x3y3的系数为 C35C1510515 答案：C 2 （xy2）6的展开式中 y4的系数为（ ） A40 B60 C40 D60 解析：法一：因为（xy2）6（x2）y6，所以展开式中含 y4的项为 C46（x2）2（ y）415x2y460 xy460y4，所以展开式中 y4的系数为 60 法二：由于（xy2）6的展开式中 y4项不含 x，所以（xy2）6的展开式中 y4项就是（2 y）6的展开式中 y4项，即 C4622（y）460y4，所以（xy2）6的展开式中 y4的系数为 60 答案：B