1、第六节 离散型随机变量及其分布列 命题分析预测 学科核心素养 本节常以实际问题为背景，考查离散型随机 变量的分布列，主要以解答题的形式呈现， 解题时要熟悉相关公式的应用 本节通过实际问题中离散型随机变量的分布 列，考查考生的数据分析、数学运算核心素 养 授课提示：对应学生用书第 220 页 知识点一 离散型随机变量 1离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离 散型随机变量 2离散型随机变量的分布列及性质 （1）一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，xi，xn，X 取每一个值 xi（i1，2，n）的概率 P（Xxi）p
2、i，则表 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 称为离散型随机变量 X 的概率分布列 （2）离散型随机变量的分布列的性质： pi0（i1，2，n） ；p1p2pn1 1袋中有 3 个白球、5 个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是（ ） A至少取到 1 个白球 B至多取到 1 个白球 C取到白球的个数 D取到的球的个数 解析：选项 A，B 表述的都是随机事件，选项 D 是确定的值 2，并不随机；选项 C 是随机变 量，可能取值为 0，1，2 答案：C 2袋中装有 10 个红球、5 个黑球每次随机抽取 1 个球后，若取得黑球，则另换 1 个红球放 回袋中，直到取得红球为止若
3、抽取的次数为 X，则表示“放回 5 个红球”事件的是（ ） AX4 BX5 CX6 DX5 解析：事件“放回 5 个红球”表示前 5 次摸到黑球，且第 6 次摸到红球，所以 X6 答案：C 3设随机变量 X 的分布列如下： X 1 2 3 4 5 P 1 12 1 6 1 3 1 6 p 则 p_ 解析：由分布列的性质知， 1 12 1 6 1 3 1 6p1， 所以 p13 4 1 4 答案：1 4 知识点二 离散型随机变量的分布列 1两点分布 像 X 0 1 P 1p p 这样的分布列叫做两点分布列 如果随机变量 X 的分布列为两点分布列，就称 X 服从两点分布，而称 pP（X1）为成功概
4、 率 2超几何分布列 一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则事件Xk发生 的概率为 P（Xk）C k MC nk NM CnN ，k0，1，2，m，其中 mminM，n，且 nN，MN， n，M，NN，称分布列为超几何分布列如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称 随机变量 X 服从超几何分布 X 0 1 m P C0MCn 0 NM CnN C1MCn 1 NM CnN Cm MC nm NM CnN 温馨提醒 利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负 数 1一盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个新
5、的、3 个旧的，从盒中任取 3 个球来用，用完后装回盒 中，此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量，则 P（X4）_ 解析：X4表示从盒中取了 2 个旧球，1 个新球，故 P（X4）C 2 3C 1 9 C312 27 220 答案： 27 220 2设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数，则 P（X 0）_ 解析：由已知得 X 的所有可能取值为 0，1，且 P（X1）2P（X0） ，由 P（X1）P（X 0）1，得 P（X0）1 3 答案：1 3 3设随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 1 3 m 1 4 1 6 则 P（|X3|1）_
6、 解析：由1 3m 1 4 1 61，解得 m 1 4， P（|X3|1）P（X2）P（X4） 1 4 1 6 5 12 答案： 5 12 授课提示：对应学生用书第 221 页 题型一 离散型随机变量分布列的性质 1设 X 是一个离散型随机变量，其分布列为 X 1 0 1 P 1 3 23q q2 则 q 的值为（ ） A1 B3 2 33 6 C3 2 33 6 D3 2 33 6 解析：由分布列的性质知 23q0， q20， 1 323qq 21， 解得 q3 2 33 6 答案：C 2设随机变量 X 的概率分布列如下表所示： X 0 1 2 P a 1 3 1 6 若 F（x）P（Xx）
7、 ，则当 x 的取值范围是1，2）时，F（x）等于（ ） A1 3 B1 6 C1 2 D5 6 解析：由分布列的性质，得 a1 3 1 61，所以 a 1 2而 x1，2） ，所以 F（x）P（Xx） 1 2 1 3 5 6 答案：D 3离散型随机变量 X 的概率分布规律为 P（Xn） a n（n1）（n1，2，3，4） ，其中 a 是常数，则 P 1 2X 5 2 的值为_ 解析：由 1 12 1 23 1 34 1 45 a1，知4 5a1，得 a 5 4 故 P 1 2X 5 2 P（X1）P（X2）1 2 5 4 1 6 5 4 5 6 答案：5 6 离散型随机变量的分布列的性质的应
8、用 （1）利用“总概率之和为 1”可以求相关参数的取值范围或值； （2）利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某 些特定事件的概率； （3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确 题型二 超几何分布 例 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来自甲 协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名 从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛 （1）设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”， 求事件 A 发生的概率； （2）设 X 为选出的
9、 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列 解析 （1）由已知，有 P（A）C 2 2C 2 3C 2 3C 2 3 C48 6 35 所以事件 A 发生的概率为 6 35 （2）随机变量 X 的所有可能取值为 1，2，3，4 P（Xk）C k 5C 4k 3 C48 （k1，2，3，4） 故 P（X1）C 1 5C 3 3 C48 1 14， P（X2）C 2 5C 2 3 C48 3 7， P（X3）C 3 5C 1 3 C48 3 7， P（X4）C 4 5C 0 3 C48 1 14， 所以随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 1 14 3 7 3 7 1 14 1
10、超几何分布的两个特点 （1）超几何分布是不放回抽样问题 （2）随机变量为抽到的某类个体的个数 2超几何分布的应用条件 （1）两类不同的物品（或人、事） （2）已知各类对象的个数 （3）从中抽取若干个个体 对点训练 （2021 济宁模拟）PM25 是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于 25 微米 的颗粒物，也称为可入肺颗粒物根据现行国家标准 GB30952012，PM25 日均值在 35 微 克/立方米以下空气质量为一级；在 35 微克/立方米75 微克/立方米之间空气质量为二级；在 75 微克/立方米以上空气质量为超标 从某自然保护区 2020 年全年每天的 PM2 5 监测数据中
11、随机地抽取 10 天的数据作为样本，监测值频数如下表所示： PM25 日 均值（微克 /立方米） 25，35） 35，45） 45，55） 55，65） 65，75） 75，85 频数 3 1 1 1 1 3 （1）从这 10 天的 PM25 日均值监测数据中，随机抽出 3 天，求恰有 1 天空气质量达到一级 的概率； （2）从这 10 天的数据中任取 3 天的数据，记 X 表示抽到 PM25 监测数据超标的天数，求 X 的分布列 解析： （1）记“从 10 天的 PM25 日均值监测数据中，随机抽出 3 天，恰有 1 天空气质量达 到一级”为事件 A， 则 P（A）C 1 3 C 2 7 C
12、310 21 40 （2）依据条件，X 服从超几何分布，且随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3，则 P（Xk）C k 3 C 3k 7 C310 （k0，1，2，3） ， P（X0）C 0 3C 3 7 C310 7 24，P（X1） C13C27 C310 21 40， P（X2）C 2 3C 1 7 C310 7 40，P（X3） C33C07 C310 1 120， 因此 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 7 24 21 40 7 40 1 120 题型三 离散型随机变量的分布列 例 （2021 安阳模拟）某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调 查：先销售
13、该产品 50 天，统计发现每天的销售量 x 分布在50，100）内，且销售量 x 的分布 频率 f（x） n 100.5，10nx10（n1），n为偶数， n 20a，10nx10（n1），n为奇数. （1）求 a 的值并估计销售量的平均数； （2）若销售量大于或等于 70，则称该日畅销，其余为滞销在畅销日中用分层抽样的方法随 机抽取 8 天，再从这 8 天中随机抽取 3 天进行统计，设这 3 天来自 X 个组，求随机变量 X 的 分布列（将频率视为概率） 解析 （1）由题意知 10n50， 10（n1）100， 解得 5n9，n 可取 5，6，7，8，9， 结合 f（x） n 100.5，1
14、0nx10（n1），n为偶数， n 20a，10nx10（n1），n为奇数， 得 6 100.5 8 100.5 5 20a 7 20a 9 20a 1，则 a015 可知销售量分别在50，60） ，60，70） ，70，80） ，80，90） ，90，100）内的频率分别是 01， 01，02，03，03， 所以销售量的平均数为 5501650175028503950381 （2）销售量分布在70，80） ，80，90） ，90，100）内的频率之比为 233，所以在各组抽 取的天数分别为 2，3，3 X 的所有可能取值为 1，2，3， P（X1） 2 C38 2 56 1 28， P（X3
15、）233 C38 18 56 9 28， P（X2）1 1 28 9 28 9 14 X 的分布列为 X 1 2 3 P 1 28 9 14 9 28 求离散型随机变量 X 的分布列的步骤 （1）理解 X 的意义，写出 X 可能取的全部值 （2）求 X 取每个值的概率 （3）写出 X 的分布列求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率， 在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识 对点训练 （2021 成都模拟）甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从 6 道备 选题中一次性抽取 3 道题独立作答，然后由乙回答剩余 3 道题，每人答对其中 2 道题就停止 答
16、题，即闯关成功已知在 6 道被选题中，甲能答对其中的 4 道题，乙答对每道题的概率都 是2 3 （1）求甲、乙至少有一人闯关成功的概率； （2）设甲答对题目的个数为，求的分布列 解析： （1）设甲、乙闯关成功分别为事件 A，B， 则 P（A ）C 1 4C 2 2 C36 4 20 1 5， P（B ） 12 3 3 C23 12 3 2 2 3 1 1 27 2 9 7 27， 则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是 1P（A B ）1P（A ）P（B ）11 5 7 27 128 135 （2）由题知 的可能取值是 1，2 P（1）C 1 4C 2 2 C36 1 5，P（2） C24C12C
17、34 C36 4 5， 则 的分布列为 1 2 P 1 5 4 5 离散型随机变量性质应用中的核心素养 数学运算离散型随机变量分布列性质的交汇应用 例 已知随机变量 的分布列如下表： 1 0 1 P a b c 其中 a，b，c 成等差数列，则 P（|1）的值与公差 d 的取值范围分别是（ ） A2 3 1 3， 1 3 B2 3 1 3， 2 3 C2 3 1 3， 2 3 D1 3 1 3， 1 3 解析 a，b，c 成等差数列，2bac 又 abc1，b1 3，P（|1）ac 2 3 则 a1 3d，c 1 3d，根据分布列的性质，得 0 1 3d 2 3，0 1 3d 2 3， 1 3d 1 3 答案 A 利用离散型随机变量分布列性质与等差中项交汇去求解，注意本题易忽视 a0，c0 对点训练 已知随机变量 X 的概率分布列如下表： X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P 2 3 2 32 2 33 2 34 2 35 2 36 2 37 2 38 2 39 m 则 P（X10）（ ） A 2 39 B 2 310 C 1 39 D 2 310 解析：由离散型随机变量分布列的性质可知 2 3 2 32 2 33 2 39m1，m1 2 3 2 32 2 33 2 39 12 1 3 1 1 3 9 11 3 1 3 9 1 39，P（X10） 1 39 答案：C