1、第八节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 命题分析预测 学科核心素养 从近五年的高考来看，离散型随机变量的均 值与方差、正态分布的应用是命题的热点， 一般为解答题，难度中档偏上 通过离散型随机变量的均值与方差、正态分 布，主要考查数据分析与数学运算及数学建 模核心素养 授课提示：对应学生用书第 228 页 知识点一 均值与方差 1均值 （1）一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为： X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则称 EXx1p1x2p2xipixnpn为随机变量 X 的均值或数学期望， 它反映了离散型随 机变量取值的平均水平 （2）若 YaXb，其中 a，b
2、为常数，则 Y 也是随机变量，且 E（aXb）aEXb （3）若 X 服从两点分布，则 EXp； 若 XB（n，p） ，则 EXnp 2方差 （1）设离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则（xiEX）2描述了 xi（i1，2，n）相对于均值 EX 的偏离程度而 DX n i1 （xiEX） 2p i为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度，称 DX 为随 机变量 X 的方差，并称其算术平方根 DX为随机变量 X 的标准差 （2）D（aXb）a2DX （3）若 X 服从两点分布，则 DXp（1p） （4）若
3、XB（n，p） ，则 DXnp（1p） 温馨提醒 二级结论 1若 x1，x2相互独立，则 E（x1 x2）Ex1 Ex2 2均值与方差的关系：DXEX2E2X 3超几何分布的均值：若 X 服从参数为 N，M，n 的超几何分布，则 EXnM N 必明易错 1理解均值 EX 易失误，均值 EX 是一个实数，由 X 的分布列唯一确定，即 X 作为随机变量 是可变的，而 EX 是不变的，它描述 X 值的取值平均状态 2注意 E（aXb）aEXb，D（aXb）a2DX 易错 1已知随机变量 X 的取值为 0，1，2，若 P（X0）1 5，EX1，则 DX（ ） A2 5 B4 5 C2 3 D4 3 解
4、析：设 P（X1）p，则 P（X2）1p1 5 4 5p 由 EX1，得 01 51p2 4 5p 1，得 p 3 5，则 DX（01） 21 5（11） 23 5 （21）21 5 2 5 答案：A 2已知 X 的分布列为 X 1 0 1 P 1 2 1 3 1 6 设 Y2X3，则 EY_ 解析：EX1 2 1 6 1 3， EYE（2X3）2EX32 33 7 3 答案：7 3 3在一次招聘中，主考官要求应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题，并独立完成所 抽取的 3 道题乙能正确完成每道题的概率为2 3，且每道题完成与否互不影响记乙能答对的 题数为 Y，则 Y 的数学期望为_
5、 解析：由题意知 Y 的可能取值为 0，1，2，3，且 YB 3，2 3 ，则 EY32 32 答案：2 知识点二 正态分布 （1）正态曲线的特点 曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交； 曲线是单峰的，它关于直线 x 对称； 曲线在 x 处达到峰值 1 2； 曲线与 x 轴之间的面积为 1； 当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿 x 轴平移； 当 一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中； 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散 （2）正态分布的三个常用数据 P（X）0682 6； P（2X2）0954 4； P（32）0023，则 P（2
6、2）（ ） A0954 B0977 C0488 D0477 解析：P（22）12P（2）1002320954 答案：A 2已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 N（0，32） ，从中随机取一件，其 长度误差落在区间（3，6）内的概率为（ ） （附：若随机变量 服从正态分布 N（，2） ，则 P（）6826%，P（2 2）9544%） A456% B1359% C2718% D3174% 解析：由已知 0，3，所以 P（36）1 2P（66）P（32c1） P （X2c1）P（Xc3） ， 所以 2c1c332，所以 c4 3 答案：4 3 授课提示：对应学生用书第 229 页 题型
7、一 离散型随机变量的均值与方差 例 （2021 重庆模拟）某企业对新扩建的厂区进行绿化，移栽了银杏、垂柳两种大树各 2 株假定银杏移栽的成活率为3 4，垂柳移栽的成活率为 2 3，且各株大树是否成活互不影响 （1）求两种大树各成活 1 株的概率； （2）设 为两种大树成活的株数之和，求随机变量 的分布列及数学期望 解析 （1）记“银杏大树成活 1 株”为事件 A，“垂柳大树成活 1 株”为事件 B，则“两种 大树各成活 1 株”为事件 AB 由题可知 P（A）C123 4 1 4 3 8， P（B）C122 3 1 3 4 9， 由于事件 A 与 B 相互独立， 所以 P（AB）P（A） P（
8、B）1 6 （2）由题意知 的所有可能取值为 0，1，2，3，4 P（0） 1 4 2 1 3 2 1 144； P（1）C123 4 1 4 1 3 2 C122 3 1 3 1 4 2 5 72； P（2）1 6 3 4 2 1 3 2 1 4 2 2 3 2 37 144； P（3）C123 4 1 4 2 3 2 C122 3 1 3 3 4 2 5 12； P（4） 3 4 2 2 3 2 1 4 所以 的分布列为 0 1 2 3 4 P 1 144 5 72 37 144 5 12 1 4 E1 5 722 37 1443 5 124 1 4 17 6 1求离散型随机变量的均值与方
9、差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布 列，正确运用均值、方差公式进行计算 2注意 E（aXb）aEXb，D（aXb）a2DX 的应用 对点训练 (2021 西安八中模拟)为了预防春季流感，市防疫部门提供了编号为 1，2，3，4 的四种疫苗供 市民选择注射，每个人均能从中任选一个编号的疫苗接种，现有甲，乙，丙三人接种疫苗 (1)求三人注射的疫苗编号互不相同的概率； (2)设三人中选择的疫苗编号最大数为 X，求 X 的分布列及数学期望 解析：(1)由题意可知，总的基本事件为 4364， 三人注射的疫苗批号互不相同的基本事件数为 A3424， 所以所求的概率为 P24 64 3 8；
10、 (2)由题意知随机变量 X 的可能取值为 1，2，3，4； 计算 P(X1)C 3 3 43 1 64， P(X2)C 3 3C 2 3C 1 3 43 7 64， P(X3)C 3 32 C 2 32 2 C1 3 43 19 64， P(X4)C 3 33 C 2 33 2 C1 3 43 37 64， 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 1 64 7 64 19 64 37 64 数学期望为 EX1 1 642 7 643 19 644 37 64 55 16 题型二 正态分布 例 （2021 合肥市高三二检）为了解 A 市高三学生的数学复习备考情况，该市教研机构组 织了一次
11、检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生的数学成绩绘制了如图所示的频率分布 直方图 （1） 根据频率分布直方图，试估计该市参加此次检测考试的理科学生的数学平均成绩 0； （精 确到个位） （2）研究发现，本次检测考试的理科数学成绩 X 近似服从正态分布 N（，2） ，其中 0， 193 按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的学生约占 46%，据此估计在本 次检测考试中达到升一本的理科数学成绩是多少分？（精确到个位） 已知 A 市高三理科学生约有 10 000 名，某理科学生在此次检测考试中数学成绩为 107 分， 则该学生在全市的排名大约是多少？ 错误错误! ! 解析 （1）由题意
12、估计该市此次检测考试中理科学生的数学平均成绩 065005 75008850129501510502411501812501135005 1450031032103（分） （2）记在本次检测考试中达到升一本的理科数学成绩为 x1分， 根据题意，P（xx1）1 x10 1 x1103 19.3 046， 即 x1103 19.3 054 由 （0705 4）054 得，x1103 19.3 0705 4x11166117， 所以在本次检测考试中达到升一本的理科数学成绩约为 117 分 P（x107）1 107103 19.3 1（0207 3）10583 20416 8， 所以 10 00004
13、16 84 168， 所以理科数学成绩为 107 分的该学生在全市的排名大约是第 4 168 名 正态分布下的概率计算常见的两类问题 （1）利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直 线 x 对称，及曲线与 x 轴之间的面积为 1 （2）利用 3 原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的 ， 进行对比联 系，确定它们属于（，） ， （2，2） ， （3，3）中的哪一个 题组突破 1 已知随机变量 X 服从正态分布 N （3， 1） ， 且 P （X4） 0 158 7， 则 P （2X4） （ ） A0682 6 B0341 3 C0460 3
14、D0920 7 解析：因为随机变量 X 服从正态分布 N（3，1） ，且 P（x4）0158 7，所以 P（X2） 0158 7，所以 P（2X0， 试卷满分 150 分） ， 统计结果显示， 数学考试成绩在 70 分到 110 分之间的人数约为总人数的3 5， 则此次月考中数学考试成绩不低于 110 分的学生约有 人 解析：因为成绩服从正态分布 XN（90，a2） ， 所以其正态分布曲线关于直线 x90 对称 又因为成绩在 70 分到 110 分之间的人数约为总人数的3 5， 由对称性知成绩在 110 分以上的人数约为总人数的1 2 13 5 1 5， 所以此次数学考试成绩不低 于 110
15、分的学生约有1 5900180（人） 答案：180 题型三 均值方差的实际应用 例 某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元） ，如图所示： （1）现从去年的消费金额超过 3 200 元的消费者中随机抽取 2 人，求至少有 1 位消费者去年 的消费金额在（3 200，4 000内的概率； （2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表： 会员等级 消费金额 普通会员 2 000 银卡会员 2 700 金卡会员 3 200 预计去年消费金额在 （0， 1 600内的消费者今年都将会申请办理普通会员， 消费金额在 （1 600， 3 200内的消费者都将会申请办理银卡
16、会员，消费金额在（3 200，4 800内的消费者都将会申 请办理金卡会员，消费者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消费金额，该健身机 构在今年年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案： 方案 1：按分层抽样从普通会员、银卡会员、金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖 励：普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励 600 元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元 方案 2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有 3 个白球、2 个红球（球只 有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球，若摸到
17、红球的总数为 2，则 可获得 200 元奖励金； 若摸到红球的总数为 3， 则可获得 300 元奖励金； 其他情况不给予奖励， 规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏；每位金卡 会员均可参加 3 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立） 请你预测哪一种返利活动方案该健身机构的投资较少？并说明理由 解析 （1）去年的消费金额超过 3 200 元的消费者有 12 人，随机抽取 2 人，设消费金额在 （3 200，4 000的范围内的人数为 X，可能取值为 0，1，2P（X1）1P（X0）1 C24 C212 10 11， 所以至少有 1 位消费者去年的消费金额在
18、（3 200，4 000的范围内的概率为10 11 （2）方案 1：按分层抽样从普通会员、银卡会员、金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”， 则“幸运之星”中的普通会员、银卡会员、金卡会员的人数分别为 28 100257， 60 1002515， 12 100253 按照方案 1 奖励的总金额 1750015600380014 900（元） 方案 2：设 表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则 的可能取值为 0，200，300 摸到红球的概率 PC 1 2 C15 2 5， 所以 P（0）C03 2 5 0 3 5 3 C13 2 5 3 5 2 81 125， P（200）C23 2 5
19、2 3 5 36 125， P（300）C33 2 5 3 8 125 的分布列为 0 200 300 P 81 125 36 125 8 125 数学期望 E0 81 125200 36 125300 8 125768（元） ， 按照方案 2 奖励的总金额 2（28260312）76814 1312（元） ， 由 12知，方案 2 投资较少 利用均值、方差进行决策的两个方略 （1）当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断 （2）若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散 程度或者稳定程度，进而进行决策 对点训练 （2021 佛山模拟）某
20、公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从 6 道备选题中一次性 随机抽取 3 道题，按照题目要求独立完成规定：至少正确完成其中 2 道题的便可通过已 知 6 道备选题中应聘者甲有 4 道题能正确完成，2 道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概 率都是2 3，且每题正确完成与否互不影响 （1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； （2）请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？ 解析： （1）设甲正确完成面试的题数为 ，则 的可能取值为 1，2，3 P（1）C 1 4C 2 2 C36 1 5； P（2）C 2 4C 1 2 C36 3 5； P（3）C 3 4C 0 2 C
21、36 1 5 应聘者甲正确完成题数 的分布列为 1 2 3 P 1 5 3 5 1 5 E11 52 3 53 1 52 设乙正确完成面试的题数为 ，则 的可能取值为 0，1，2，3 P（0）C03 12 3 3 1 27； P（1）C13 2 3 1 12 3 2 2 9； P（2）C23 2 3 2 12 3 4 9； P（3）C33 2 3 3 8 27 应聘者乙正确完成题数 的分布列为 0 1 2 3 P 1 27 2 9 4 9 8 27 E0 1 271 2 92 4 93 8 272 （或因为 B 3，2 3 ，所以 E32 32） （2）因为 D（12）21 5（22） 23
22、5（32） 21 5 2 5，D3 2 3 1 3 2 3 所以 DD 综上所述，从做对题数的数学期望来看，两人水平相当；从做对题数的方差来看，甲较稳定； 从至少完成 2 道题的概率来看，甲面试通过的可能性大 离散型随机变量的期望与方差应用中的核心素养 逻辑推理期望与方差的创新交汇应用问题 离散型随机变量的期望多在解答题中考查除独立考查外，还与正态分布，统计等交汇考查 例 （2019 高考全国卷）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药 更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对 于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后
23、，再安排下一 轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治 愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且 施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白 鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、乙两种 药的治愈率分别记为 和 ，一轮试验中甲药的得分记为 X （1）求 X 的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，pi（i0，1，8）表示“甲药的累计得分为 i 时， 最终认为甲药比乙药更有效”的概率， 则 p00， p81， p
24、iapi1bpicpi1（i1， 2， ， 7） ，其中 aP（X1） ，bP（X0） ，cP（X1） 假设 05，08 证明：pi1pi（i0，1，2，7）为等比数列； 求 p4，并根据 p4的值解释这种试验方案的合理性 解析 （1）X 的所有可能取值为1，0，1 P（X1）（1），P（X0）（1） （1） ，P（X1）（1） 所以 X 的分布列为 X 1 0 1 P （1） （1） （1） （1） （2）证明：由（1）得 a04，b05，c01， 因此 pi04pi105pi01pi1， 故 01（pi1pi）04（pipi1） ， 即 pi1pi4（pipi1） 又因为 p1p0p10，
25、所以pi1pi（i0，1，2，7）是公比为 4，首项为 p1的等比数 列 由可得 p8p8p7p7p6p1p0p0 （p8p7）（p7p6）（p1p0） 4 81 3 p1 由于 p81，故 p1 3 481， 所以 p4（p4p3）（p3p2）（p2p1）（p1p0）4 41 3 p1 1 257 p4表示最终认为甲药更有效的概率由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 05，乙药治愈 率为 0 8 时， 认为甲药更有效的概率为 p4 1 2570 003 9， 此时得出错误结论的概率非常小， 说明这种试验方案合理 对点训练 已知 A1，A2，A3，A10等 10 所高校举行自主招生考试，某同学参
26、加每所高校的考试获得 通过的概率均为 p（0p1） （1）如果该同学 10 所高校的考试都参加，恰有 m（1m10）所通过的概率为 f（p） ，当 p 为何值时，f（p）取得最大值； （2）若 p1 2，该同学参加每所高校考试所需的费用均为 a 元，该同学决定按 A1，A2，A3， A10顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，否则，继续参加 其他高校的考试，求该同学参加考试所需费用 的分布列及数学期望 解析： （1）因为该同学通过各校考试的概率均为 p，所以该同学恰好通过 m（1m10）所高 校自主招生考试的概率为 f（p）Cm 10p m（1p）10m，f（p）Cm
27、 10mp m1（1p）10m（10 m）pm（1p）9 mCm 10p m1（1p）9mm（1p）（10m）pCm 10p m1（1p）9m （m10p） ，当 0p0，f（p）单调递增；当 m 10p1 时，f（p）0，f（p） 单调递减，所以当 pm 10时，f（p）取得最大值 （2）设该同学共参加了 i 次考试的概率为 Pi（1i10，iZ） 因为 Pi 1 2i，1i9， 1 29，i10， iZ， 所以该同学参加考试所需费用 的分布列如下： a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a P 1 2 1 22 1 23 1 24 1 25 1 26 1 27 1 28 1 29 1 29 所以 E 1 21 1 222 1 299 1 2910 a，令 S 1 21 1 222 1 299， 则 1 2S 1 221 1 232 1 298 1 2109， 由得 1 2S 1 2 1 22 1 29 1 2109，所以 S1 1 2 1 22 1 28 1 299，所以 E 11 2 1 22 1 28 1 299 1 2910 a 11 2 1 29 a 1 1 210 11 2 a2 1 1 210 a1 023 512 a（元）