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2022届高考北师大版数学(理)一轮复习学案:选修4-5 不等式选讲

1、选修 45 不等式选讲 命题分析预测 学科核心素养 从近五年的考查情况来看,选修 45 是高考 的必考点,主要考查绝对值不等式的求解、 恒成立问题、存在性问题以及不等式的证明, 多以解答题的形式呈现,难度中等 本节通过绝对值不等式的解法和不等式的证 明考查考生对分类讨论思想和数形结合思想 的应用,提升数学运算核心素养 授课提示:对应学生用书第 258 页 知识点一 绝对值不等式 1绝对值三角不等式 定理 1:如果 a,b 是实数,则|ab|a|b|,当且仅当 ab0 时,等号成立 定理 2:如果 a,b,c 是实数,那么|ac|ab|bc|,当且仅当(ab) (bc)0 时, 等号成立 2绝对

2、值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a 的解集 不等式 a0 a0 a0 |x|a x|axa x|xa 或 x0)型不等式的解法: |axb|ccaxbc; |axb|caxbc 或 axbc (3)|xa|xb|c,|xa|xb|c(c0)型不等式的解法: 利用绝对值不等式的几何意义求解 利用零点分段法求解 构造函数,利用函数的图像求解 1函数 y|x4|x6|的最小值为( ) A2 B4 C6 D10 解析:由|x4|x6|的几何意义可知|x4|x6|2 答案:A 2不等式|x1|x5|2 的解集是_ 解析: 当 x1 时, 原不等式可化为 1x (5x) 2, 所以42, 不等

3、式恒成立, 所以 x1; 当 1x5 时,原不等式可化为 x1(5x)2,所以 x4,所以 1x4; 当 x5 时,原不等式可化为 x1(x5)2,该不等式不成立 综上,原不等式的解集为x|x4 答案:x|x0,那么ab 2 ab,当且仅当 ab 时,等号成立,即两个正数的算术平 均不小于(即大于或等于)它们的几何平均 定理 3:如果 a,b,cR,那么abc 3 3abc,当且仅当 abc 时,等号成立 2比较法 (1)比差法的依据是:ab0ab步骤是:“作差变形判断差的符号”变形是手 段,变形的目的是判断差的符号 (2)比商法:若 B0,欲证 AB,只需证A B1 3综合法与分析法 (1)

4、综合法:一般地,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推 理、论证而得出命题成立 (2)分析法:从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件 或一个明显成立的事实(定义,公理或已证明的定理,性质等) ,从而得出要证的命题成立 1已知 a,bR,且 ab2,则1 a 1 b的最小值为( ) A1 B2 C4 D8 解析:a,bR,且 ab2, (ab) 1 a 1 b 2b a a b 22 b a a b4, 1 a 1 b 4 ab2,即 1 a 1 b的最小值为 2(当且仅当 ab1 时,等号成立) 答案:B 2已知 ab0,M2a3b3,N2a

5、b2a2b,则 M,N 的大小关系为_ 解析:2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2) (2ab)(ab) (ab) (2ab) 因为 ab0所以 ab0,ab0,2ab0,从而(ab) (ab) (2a b)0,故 2a3b32ab2a2b 答案:MN 授课提示:对应学生用书第 259 页 题型一 绝对值不等式的解法 例 (2020 高考全国卷)已知函数 f(x)|3x1|2|x1| (1)画出 yf(x)的图像; (2)求不等式 f(x)f(x1)的解集 解析 (1)由题设知 f(x) x3,x 1 3, 5x1,1 3x1, x3,x1. 画出 yf(x)的

6、图像如图(1)所示 图(1) (2)函数 yf(x)的图像向左平移 1 个单位长度后得到函数 yf(x1)的图像,如图(2) 所示 图(2) 易得 yf(x)的图像与 yf(x1)的图像的交点坐标为 7 6, 11 6 由图像可知,当且仅 当 x7 6时,yf(x)的图像在 yf(x1)的图像上方 故不等式 f(x)f(x1)的解集为 ,7 6 绝对值不等式的常见三种解法 (1)零点分段讨论法 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分段讨论法脱去绝对值符号,将其转化 为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组) ,一般步骤如下: 令每个绝对值符号里的代数式为零,并求出相应的根; 将这些根按

7、从小到大排序,它们把实数集分为若干个区间; 在所分的各区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值符号,求所得的各不等式在相应区间上 的解集; 这些解集的并集就是原不等式的解集 (2)利用绝对值的几何意义 由于|xa|xb|与|xa|xb|分别表示数轴上与 x 对应的点到与 a, b 对应的点的距离之和 与距离之差,因此对形如|xa|xb|c(c0)或|xa|xb|c(c0)的不等式,利 用绝对值的几何意义求解更直观 (3)数形结合法 在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图像,利用函数图像求解 对点训练 (2021 衡水中学摸底)已知函数 f(x)|2x1|2|x3| (1)求不等式 f(x)

8、7x 的解集; (2)若关于 x 的方程 f(x)|m|存在实数解,求实数 m 的取值范围 解析: (1)不等式 f(x)7x,即|2x6|2x1|7x, 可化为 x3, 2x62x17x, 解得 x1,即原不等式的解集为x|1 (2)f(x)|2x6|2x1|(2x6)(2x1)|7, 关于 x 的方程 f(x)|m|存在实数解,即|m|7 有解,解得 m7 或 m7 实数 m 的取值范围为m|m7 或 m7 题型二 不等式的证明 不等式的证明是考查热点,归纳起来常见的命题角度有: (1)比较法证明不等式; (2) 综合法证明不等式; (3)分析法证明不等式; (4)放缩法证明绝对值不等式

9、考法(一) 比较法证明不等式 例 1 (2021 西宁模拟)已知函数 f(x)|2x1|x2|,集合 Ax|f(x)3 (1)求 A; (2)若 s,tA,求证: 1t s t1 s 解析 (1)不等式 f(x)3 等价于|2x1|x2|3 (*) 设函数 g(x)|2x1|x2|3,则 g(x) 3x4,x2, x,1 2x2, 3x2,x1 2, 其图像如图所示从图像可知,当且仅当 x 2 3,0 时,g(x) 0 所以不等式(*)的解集为 x 2 3x0 所以 A x 2 3x0 (2)证明:因为 s,tA,由(1)知 s,t 2 3,0 , 所以 s21,t21 因为 1t s 2 t

10、1 s 2 1t 2 s2t 21 s2 1 s2(1t 2) (s21)0, 所以 1t s 2 t1 s 2 , 所以 1t s t1 s 比较法证明不等式的方法与步骤 (1)作差比较法:作差、变形、判号、下结论 (2)作商比较法:作商、变形、判断、下结论 提醒 (1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时,一般使用作差比较法 (2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时,一般使用作商比较法 考法(二) 综合分析法证明不等式 例 2 (2021 长沙长郡中学调研)已知函数 f(x)|x2| (1)解不等式 f(x)4|x1|; (2)已知 ab2(a0,b0) ,求证: x5 2

11、 f(x)4 a 1 b 解析 (1)f(x)4|x1|,即|x2|x1|4, 则 x4,得 x4,无解; x1, x2x14,得 x 1 2 所以原不等式的解集为 x|x 1 2 (2)证明: x5 2 f(x) x5 2 |x2|9 2, 4 a 1 b 1 2(ab) 4 a 1 b 1 2 414b a a b 1 2(54) 9 2, 所以 x5 2 f(x)4 a 1 b 综合法与分析法常常结合起来使用,称为综合分析法,其实质是既充分利用已知条件,又时 刻瞄准解题目标,即不仅要搞清已知什么,还要明确要干什么,通常用分析法找到解题思路, 用综合法书写证题过程 考法(三) 放缩法证明不

12、等式 例 3 若 a,bR,求证: |ab| 1|ab| |a| 1|a| |b| 1|b| 证明 当|ab|0 时,不等式显然成立 当|ab|0 时, 由 0|ab|a|b| 1 |ab| 1 |a|b|, 所以 |ab| 1|ab| 1 1 |ab|1 1 1 1 |a|b| |a|b| 1|a|b| |a| 1|a|b| |b| 1|a|b| |a| 1|a| |b| 1|b| 综上,原不等式成立 “放”和“缩”的常用技巧 在不等式的证明中,“放”和“缩”是常用的推证技巧常见的放缩变换有: (1)变换分式的分子和分母,如 1 k2 1 k(k1) , 1 k 2 k k1上面不等式中 k

13、N ,k1 (2)利用函数的单调性 (3)真分数性质“若 0a0,则a b am bm” 提醒 在用放缩法证明不等式时,“放”和“缩”均需把握一个度 题组突破 1设 n 是正整数,求证:1 2 1 n1 1 n2 1 2nn(k1,2,n) , 得 1 2n 1 nk 1 n 当 k1 时, 1 2n 1 n1 1 n; 当 k2 时, 1 2n 1 n2 1 n; 当 kn 时, 1 2n 1 nn 1 n, 所以1 2 n 2n 1 n1 1 n2 1 2n n n1 所以原不等式成立 2 (2021 福州八中质检)已知函数 f(x)|x1| (1)解不等式 f(x)f(x4)8; (2)

14、若|a|1,|b|a|f b a 解析: (1)依题意,原不等式等价于|x1|x3|8 当 x1 时,则 2x28,解得 x3 不等式 f(x)f(x4)8 的解集为x|x3 或 x5 (2)证明:要证 f(ab)|a|f b a , 只需证|ab1|ba|, 只需证(ab1)2(ba)2 |a|1,|b|1,知 a21,b20 故(ab1)2(ba)2成立 从而原不等式成立 绝对值不等式应用中的核心素养 直观想象、数学运算不等式成立问题的应用 例 (2021 玉溪模拟)已知函数 f(x)|x1|2x1| (1)解不等式 f(x)x3; (2)若 g(x)|3x2m|3x2|,对任意 x1R,

15、存在 x2R,使得 f(x1)g(x2)成立, 求实数 m 的取值范围 解析 (1)原不等式等价于 x1, 3xx3或 11 2, 3xx3, 得1 2x 3 2, 故原不等式的解集为 x|1 2x 3 2 (2)由 f(x)|x1|2x1| 3x,x1, x2,11 2, 可知当 x1 2时,f(x)最小,无最大值,且 f(x)minf 1 2 3 2 设 Ay|yf(x),By|yg(x), 则 A y|y3 2 , 因为 g(x)|3x2m|3x2|(3x2m)(3x2)|2m2|, 所以 By|y|2m2| 由题意知 AB,所以|2m2|3 2, 所以 m 1 4, 7 4 故实数 m

16、 的取值范围为 m|1 4m 7 4 处理绝对值不等式的成立问题,一是抓住等价转化思想,二是充分利用数形结合思想 对点训练 已知函数 f(x)|x1|x2| (1)解不等式 f(x)3; (2)若存在实数 x,使 f(x)m2m1 成立,求实数 m 的取值范围 解析: (1)当 x2 时,f(x)2x3,不等式 f(x)3 等价于 2x33, x2, 解得 x3; 当 1x2 时,f(x)1,此时不等式 f(x)3 无解; 当 x1 时,f(x)32x,不等式 f(x)3 等价于 32x3, x1, 解得 x0 综上,不等式 f(x)3 的解集为(,03,) (2)法一:由(1)可知,f(x) 32x,x1, 1,1x2, 2x3,x2, 作出函数 f(x)的大致图像如图所示, 由图可知 f(x)min1 因为存在实数 x,使 f(x)m2m1 成立, 所以 1m2m1,即 0m2m,解得 m0 或 m1, 所以实数 m 的取值范围是(,01,) 法二:由于|x1|x2|(x1)(x2)|1,所以 f(x)min1 因为存在实数 x,使 f(x)m2m1 成立, 所以 1m2m1,即 0m2m,解得 m0 或 m1, 所以实数 m 的取值范围是(,01,)