1、选修 45 不等式选讲 命题分析预测 学科核心素养 从近五年的考查情况来看，选修 45 是高考 的必考点，主要考查绝对值不等式的求解、 恒成立问题、存在性问题以及不等式的证明， 多以解答题的形式呈现，难度中等 本节通过绝对值不等式的解法和不等式的证 明考查考生对分类讨论思想和数形结合思想 的应用，提升数学运算核心素养 授课提示：对应学生用书第 258 页 知识点一 绝对值不等式 1绝对值三角不等式 定理 1：如果 a，b 是实数，则|ab|a|b|，当且仅当 ab0 时，等号成立 定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当（ab） （bc）0 时， 等号成立 2绝对
2、值不等式的解法 （1）含绝对值的不等式|x|a 的解集 不等式 a0 a0 a0 |x|a x|axa x|xa 或 x0）型不等式的解法： |axb|ccaxbc； |axb|caxbc 或 axbc （3）|xa|xb|c，|xa|xb|c（c0）型不等式的解法： 利用绝对值不等式的几何意义求解 利用零点分段法求解 构造函数，利用函数的图像求解 1函数 y|x4|x6|的最小值为（ ） A2 B4 C6 D10 解析：由|x4|x6|的几何意义可知|x4|x6|2 答案：A 2不等式|x1|x5|2 的解集是_ 解析： 当 x1 时， 原不等式可化为 1x （5x） 2， 所以42， 不等
3、式恒成立， 所以 x1； 当 1x5 时，原不等式可化为 x1（5x）2，所以 x4，所以 1x4； 当 x5 时，原不等式可化为 x1（x5）2，该不等式不成立 综上，原不等式的解集为x|x4 答案：x|x0，那么ab 2 ab，当且仅当 ab 时，等号成立，即两个正数的算术平 均不小于（即大于或等于）它们的几何平均 定理 3：如果 a，b，cR，那么abc 3 3abc，当且仅当 abc 时，等号成立 2比较法 （1）比差法的依据是：ab0ab步骤是：“作差变形判断差的符号”变形是手 段，变形的目的是判断差的符号 （2）比商法：若 B0，欲证 AB，只需证A B1 3综合法与分析法 （1）
4、综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推 理、论证而得出命题成立 （2）分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件 或一个明显成立的事实（定义，公理或已证明的定理，性质等） ，从而得出要证的命题成立 1已知 a，bR，且 ab2，则1 a 1 b的最小值为（ ） A1 B2 C4 D8 解析：a，bR，且 ab2， （ab） 1 a 1 b 2b a a b 22 b a a b4， 1 a 1 b 4 ab2，即 1 a 1 b的最小值为 2（当且仅当 ab1 时，等号成立） 答案：B 2已知 ab0，M2a3b3，N2a
5、b2a2b，则 M，N 的大小关系为_ 解析：2a3b3（2ab2a2b）2a（a2b2）b（a2b2）（a2b2） （2ab）（ab） （ab） （2ab） 因为 ab0所以 ab0，ab0，2ab0，从而（ab） （ab） （2a b）0，故 2a3b32ab2a2b 答案：MN 授课提示：对应学生用书第 259 页 题型一 绝对值不等式的解法 例 （2020 高考全国卷）已知函数 f（x）|3x1|2|x1| （1）画出 yf（x）的图像； （2）求不等式 f（x）f（x1）的解集 解析 （1）由题设知 f（x） x3，x 1 3， 5x1，1 3x1， x3，x1. 画出 yf（x）的
6、图像如图（1）所示 图（1） （2）函数 yf（x）的图像向左平移 1 个单位长度后得到函数 yf（x1）的图像，如图（2） 所示 图（2） 易得 yf（x）的图像与 yf（x1）的图像的交点坐标为 7 6， 11 6 由图像可知，当且仅 当 x7 6时，yf（x）的图像在 yf（x1）的图像上方 故不等式 f（x）f（x1）的解集为 ，7 6 绝对值不等式的常见三种解法 （1）零点分段讨论法 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段讨论法脱去绝对值符号，将其转化 为与之等价的不含绝对值符号的不等式（组） ，一般步骤如下： 令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根； 将这些根按
7、从小到大排序，它们把实数集分为若干个区间； 在所分的各区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，求所得的各不等式在相应区间上 的解集； 这些解集的并集就是原不等式的解集 （2）利用绝对值的几何意义 由于|xa|xb|与|xa|xb|分别表示数轴上与 x 对应的点到与 a， b 对应的点的距离之和 与距离之差，因此对形如|xa|xb|c（c0）或|xa|xb|c（c0）的不等式，利 用绝对值的几何意义求解更直观 （3）数形结合法 在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图像，利用函数图像求解 对点训练 （2021 衡水中学摸底）已知函数 f（x）|2x1|2|x3| （1）求不等式 f（x）
8、7x 的解集； （2）若关于 x 的方程 f（x）|m|存在实数解，求实数 m 的取值范围 解析： （1）不等式 f（x）7x，即|2x6|2x1|7x， 可化为 x3， 2x62x17x， 解得 x1，即原不等式的解集为x|1 （2）f（x）|2x6|2x1|（2x6）（2x1）|7， 关于 x 的方程 f（x）|m|存在实数解，即|m|7 有解，解得 m7 或 m7 实数 m 的取值范围为m|m7 或 m7 题型二 不等式的证明 不等式的证明是考查热点，归纳起来常见的命题角度有： （1）比较法证明不等式； （2） 综合法证明不等式； （3）分析法证明不等式； （4）放缩法证明绝对值不等式
9、考法（一） 比较法证明不等式 例 1 （2021 西宁模拟）已知函数 f（x）|2x1|x2|，集合 Ax|f（x）3 （1）求 A； （2）若 s，tA，求证： 1t s t1 s 解析 （1）不等式 f（x）3 等价于|2x1|x2|3 （*） 设函数 g（x）|2x1|x2|3，则 g（x） 3x4，x2， x，1 2x2， 3x2，x1 2， 其图像如图所示从图像可知，当且仅当 x 2 3，0 时，g（x） 0 所以不等式（*）的解集为 x 2 3x0 所以 A x 2 3x0 （2）证明：因为 s，tA，由（1）知 s，t 2 3，0 ， 所以 s21，t21 因为 1t s 2 t
10、1 s 2 1t 2 s2t 21 s2 1 s2（1t 2） （s21）0， 所以 1t s 2 t1 s 2 ， 所以 1t s t1 s 比较法证明不等式的方法与步骤 （1）作差比较法：作差、变形、判号、下结论 （2）作商比较法：作商、变形、判断、下结论 提醒 （1）当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法 （2）当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法 考法（二） 综合分析法证明不等式 例 2 （2021 长沙长郡中学调研）已知函数 f（x）|x2| （1）解不等式 f（x）4|x1|； （2）已知 ab2（a0，b0） ，求证： x5 2
11、 f（x）4 a 1 b 解析 （1）f（x）4|x1|，即|x2|x1|4， 则 x4，得 x4，无解； x1， x2x14，得 x 1 2 所以原不等式的解集为 x|x 1 2 （2）证明： x5 2 f（x） x5 2 |x2|9 2， 4 a 1 b 1 2（ab） 4 a 1 b 1 2 414b a a b 1 2（54） 9 2， 所以 x5 2 f（x）4 a 1 b 综合法与分析法常常结合起来使用，称为综合分析法，其实质是既充分利用已知条件，又时 刻瞄准解题目标，即不仅要搞清已知什么，还要明确要干什么，通常用分析法找到解题思路， 用综合法书写证题过程 考法（三） 放缩法证明不
12、等式 例 3 若 a，bR，求证： |ab| 1|ab| |a| 1|a| |b| 1|b| 证明 当|ab|0 时，不等式显然成立 当|ab|0 时， 由 0|ab|a|b| 1 |ab| 1 |a|b|， 所以 |ab| 1|ab| 1 1 |ab|1 1 1 1 |a|b| |a|b| 1|a|b| |a| 1|a|b| |b| 1|a|b| |a| 1|a| |b| 1|b| 综上，原不等式成立 “放”和“缩”的常用技巧 在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧常见的放缩变换有： （1）变换分式的分子和分母，如 1 k2 1 k（k1） ， 1 k 2 k k1上面不等式中 k
13、N ，k1 （2）利用函数的单调性 （3）真分数性质“若 0a0，则a b am bm” 提醒 在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度 题组突破 1设 n 是正整数，求证：1 2 1 n1 1 n2 1 2nn（k1，2，n） ， 得 1 2n 1 nk 1 n 当 k1 时， 1 2n 1 n1 1 n； 当 k2 时， 1 2n 1 n2 1 n； 当 kn 时， 1 2n 1 nn 1 n， 所以1 2 n 2n 1 n1 1 n2 1 2n n n1 所以原不等式成立 2 （2021 福州八中质检）已知函数 f（x）|x1| （1）解不等式 f（x）f（x4）8； （2）
14、若|a|1，|b|a|f b a 解析： （1）依题意，原不等式等价于|x1|x3|8 当 x1 时，则 2x28，解得 x3 不等式 f（x）f（x4）8 的解集为x|x3 或 x5 （2）证明：要证 f（ab）|a|f b a ， 只需证|ab1|ba|， 只需证（ab1）2（ba）2 |a|1，|b|1，知 a21，b20 故（ab1）2（ba）2成立 从而原不等式成立 绝对值不等式应用中的核心素养 直观想象、数学运算不等式成立问题的应用 例 （2021 玉溪模拟）已知函数 f（x）|x1|2x1| （1）解不等式 f（x）x3； （2）若 g（x）|3x2m|3x2|，对任意 x1R，
15、存在 x2R，使得 f（x1）g（x2）成立， 求实数 m 的取值范围 解析 （1）原不等式等价于 x1， 3xx3或 11 2， 3xx3， 得1 2x 3 2， 故原不等式的解集为 x|1 2x 3 2 （2）由 f（x）|x1|2x1| 3x，x1， x2，11 2， 可知当 x1 2时，f（x）最小，无最大值，且 f（x）minf 1 2 3 2 设 Ay|yf（x），By|yg（x）， 则 A y|y3 2 ， 因为 g（x）|3x2m|3x2|（3x2m）（3x2）|2m2|， 所以 By|y|2m2| 由题意知 AB，所以|2m2|3 2， 所以 m 1 4， 7 4 故实数 m
16、 的取值范围为 m|1 4m 7 4 处理绝对值不等式的成立问题，一是抓住等价转化思想，二是充分利用数形结合思想 对点训练 已知函数 f（x）|x1|x2| （1）解不等式 f（x）3； （2）若存在实数 x，使 f（x）m2m1 成立，求实数 m 的取值范围 解析： （1）当 x2 时，f（x）2x3，不等式 f（x）3 等价于 2x33， x2， 解得 x3； 当 1x2 时，f（x）1，此时不等式 f（x）3 无解； 当 x1 时，f（x）32x，不等式 f（x）3 等价于 32x3， x1， 解得 x0 综上，不等式 f（x）3 的解集为（，03，） （2）法一：由（1）可知，f（x） 32x，x1， 1，1x2， 2x3，x2， 作出函数 f（x）的大致图像如图所示， 由图可知 f（x）min1 因为存在实数 x，使 f（x）m2m1 成立， 所以 1m2m1，即 0m2m，解得 m0 或 m1， 所以实数 m 的取值范围是（，01，） 法二：由于|x1|x2|（x1）（x2）|1，所以 f（x）min1 因为存在实数 x，使 f（x）m2m1 成立， 所以 1m2m1，即 0m2m，解得 m0 或 m1， 所以实数 m 的取值范围是（，01，）