1、 概率统计中的数学建模与数据分析 授课提示：对应学生用书第 251 页 概率统计中的创新性问题是高考的命题重点，不仅注重模块知识内的综合，也注重模块知识 间的综合，更多地体现对数学建模与数据分析核心素养的考查命题的重点有： （1）考查数学建模核心素养，以实际生活中的环保、民生、科技等为背景，考查函数、数列 等模型的建立，其中求解这些实际问题的最优化是近年高考命题的热点 （2）考查数据分析核心素养，常考查对数据的搜集与归类，并利用不同的特征值对研究对象 做出理性的判断 （一）概率与数列交汇问题 例 1 （2021 湖北武汉质量监测）武汉又称江城，是湖北省省会，它不仅有着深厚的历史积 淀与丰富的民
2、俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，黄鹤楼与东湖便是其中的两个为 合理配置旅游资源，现对已参观黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记 1 分， 若继续游玩东湖记 2 分，每位游客选择是否参观东湖的概率均为1 2，游客之间选择意愿相互独 立 （1）从游客中随机抽取 3 人，记这 3 人的总得分为随机变量 X，求 X 的分布列与数学期望； （2） （）若从游客中随机抽取 m（mN）人，记这 m 人的总分恰为 m 分的概率为 Am，求 数列Am的前 10 项和； （）在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的人的累计得分恰为 n 分的概 率为 Bn，探讨 Bn与 Bn1（n2）之
3、间的关系，并求数列Bn的通项公式 解析 （1）X 的所有可能取值为 3，4，5，6 P（X3） 1 2 3 1 8，P（X4）C 2 3 1 2 3 3 8，P（X5）C 2 3 1 2 3 3 8，P（X6） 1 2 3 1 8 所以 X 的分布列为 X 3 4 5 6 P 1 8 3 8 3 8 1 8 所以 EX31 84 3 85 3 86 1 8 9 2 （2） （）总分恰为 m 分的概率 Am 1 2 m ， 所以数列Am是首项为1 2，公比为 1 2的等比数列 其前 10 项和 S10 1 2 1 1 210 11 2 1 023 1 024 （）因为已调查过的人的累计得分恰为
4、n 分的概率为 Bn，得不到 n 分的情况只有先得（n 1）分，再得 2 分，概率为1 2Bn1（n2） 所以 1Bn1 2Bn1（n2） ，即 Bn 1 2Bn11（n2） ， 所以 Bn2 3 1 2 Bn12 3 （n2） ， 所以 Bn2 3 B12 3 1 2 n1 ，易知 B11 2， 所以 Bn2 3 1 6 1 2 n1 2 3 1 3 1 2 n 2 3 （1）n 32n 破解此题的关键：一是认真审题，判断随机变量的所有可能取值，并注意相互独立事件的概 率与互斥事件的概率的区别，求出随机变量取各个值时的概率，从而列出随机变量的分布列； 二是将概率的参数表达式与数列的递推式相结
5、合，可得数列的通项公式，此种解法新颖独特 （二）函数与期望相交汇应用 例 2 （2021 重庆一中模拟）某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，制作一个蛋糕成本 3 元，且以 8 元的价格出售， 若当天卖不完， 剩下的无偿捐献给饲料加工厂 根据以往 100 天的资料统计， 得到如下需求量表 该蛋糕店一天制作了这款蛋糕 X （XN） 个， 以 x （单位： 个， 100 x150， xN）表示当天的市场需求量，T（单位：元）表示当天出售这款蛋糕获得的利润 需求量 /个 100，110） 110，120） 120，130） 130，140） 140，150 天数 15 25 30 20 10 （1）当 x13
6、5 时，若 X130 时该蛋糕店获得的利润为 T1，X140 时该蛋糕店获得的利润 为 T2，试比较 T1和 T2的大小 （2）当 X130 时，根据上表，从利润 T 不少于 570 元的天数中，按需求量用分层抽样的方 法抽取 6 天 （）求此时利润 T 关于市场需求量 x 的函数解析式，并求这 6 天中利润为 650 元的天数； （）再从这 6 天中抽取 3 天做进一步分析，设这 3 天中利润为 650 元的天数为 ，求随机变 量 的分布列及数学期望 解析 （1）当 X130 时，T1130（83）650（元） ； 当 X140 时，T2135535660（元） 所以 T2T1 （2） （）
7、当 X130 时， 利润 T 8x390，100 x130， 650，130 x150， 令 T570，得 120 x150， 所以利润 T 不少于 570 元的共有 60 天，其中有 30 天的利润为 650 元 故按需求量用分层抽样的方法抽取的 6 天中利润为 650 元的天数为 61 23 （）由题意可知 0，1，2，3， P（0）C 3 3 C36 1 20，P（1） C23C13 C36 9 20，P（2） C13C23 C36 9 20，P（3） C33 C36 1 20 故 的分布列为 0 1 2 3 P 1 20 9 20 9 20 1 20 所以 E0 1 201 9 202
8、 9 203 1 20 3 2 破解此题的关键： 一是要注意分类讨论、明确分类标准 二是注意数据分析与处理 （三）概率与统计的开放性问题 例 3 （2021 郑州一测） 水污染情况与工业废水排放密切相关， 某工厂污水处理程序如下 原 始污水必须先经过 A 系统处理，处理后的污水（A 级水）达到环保标准（简称达标）的概率为 p（0p1） ，A 级水经化验后，若确认达标便可直接排放，若不达标则必须通过 B 系统处理 后再排放该厂现有 4 个标准水量的 A 级水池，需要分别取样、化验已知多个污水样本化 验时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验混合样本中只要有样本不达 标，则混合样本的化
9、验结果必不达标若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化 验；若混合样本达标，则原水池的污水可直接排放 现有以下四种化验方案 方案一：逐个化验 方案二：平均分成两组，每组的两个样本混在一起化验 方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验 方案四：四个样本混在一起化验 化验次数的期望值越小，则方案越“优” （1）若 p2 2 3 ，求将 2 个 A 级水样本混合化验，结果不达标的概率； （2） （）若 p2 2 3 ，现有 4 个 A 级水样本需要化验，请问方案一、二、四中哪个最“优”？ （）化验 4 个 A 级水样本，若方案三比方案四更“优”，求 p 的取值范围 解析 （1）该混合样
10、本达标的概率是 2 2 3 2 8 9， 所以不达标的概率为 18 9 1 9 （2） （）方案一：逐个化验，化验次数14 方案二：由（1）知，分成的每组的两个样本化验时，若达标，则化验次数为 1，概率为8 9，若 不达标，则化验次数为 3，概率为1 9记方案二的化验次数为 2，则 2的可能取值为 2，4，6 列出其分布列如下 2 2 4 6 P 64 81 16 81 1 81 可求得方案二的期望为 E2264 814 16 816 1 81 198 81 22 9 方案四：混在一起化验，记化验次数为 4，则 4的可能取值为 1，5 列出其分布列如下 4 1 5 P 64 81 17 81
11、可求得方案四的期望为 E4164 815 17 81 149 81 比较可得 E4E24，故选择方案四最“优” （）方案三：设化验次数为 3，则 3的可能取值为 2，5 列出 3的分布列如下 3 2 5 P p3 1p3 E32p35（1p3）53p3 方案四：设化验次数为 4，则 4的可能取值为 1，5 列出 4的分布列如下 4 1 5 P p4 1p4 E4p45（1p4）54p4 由题意得 E3E4，故 53p354p4，解得 p3 4 故当 0p3 4时，方案三比方案四更“优” 求解此题时易出现的问题有两个：一是不能根据事件性质正确建立目标代数式；二是不能根 据题意分析交换顺序对数学期
12、望的影响，从而无法根据三个概率的大小关系比较数学期望的 大小 对点训练 （2021 鄂东南九校期中联考）世界军人运动会，简称“军运会”，是国际军事体育理事会主 办的全球军人最高规格的大型综合性运动会，每四年举办一届，会期 7 至 10 天，规模仅次于 奥运会，是和平时期各国军队展示实力形象、增进友好交流、扩大国际影响的重要平台，被 誉为“军人奥运会” 第七届世界军人运动会于 2019 年 10 月 18 日至 2019 年 10 月 27 日在中 国武汉举行，赛期 10 天，共设置射击、游泳、田径、篮球等 27 个大项、329 个小项其中， 空军五项、军事五项、海军五项、定向越野和跳伞五个项目
13、为军事特色项目，其他项目为奥 运项目现对某国军人在射击比赛预赛中的得分数据进行分析，得到如图所示的频率分布直 方图 （得分均在 180 到 430 内） （1）估计该国军人在射击比赛预赛中得分的平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值 作代表） ； （2）根据大量的射击比赛得分，可以认为射击比赛得分 x 近似地服从正态分布 N（，2） ， 若第（1）问中样本的标准差 s 的近似值为 50，用样本的平均数x 作为 的近似值，用样本的 标准差 s 作为 的估计值，求射击比赛得分 x 恰在 350 到 400 内的概率； 参考数据：若随机变量 服从正态分布 N（，2） ，则 P（）0682 7，
14、P（ 22）0954 5，P（33）0997 3 （3）某汽车销售公司在军运会期间推广一款新能源汽车，面向客户推出“玩游戏，送大奖” 活动，客户可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜 利大本营”，则可获得购车优惠券已知骰子出现点数 1，2，3，4，5，6 的概率都是1 6，方 格图上标有第 0 格，第 1 格，第 2 格，第 50 格，遥控车开始在第 0 格，客户每抛掷一次 骰子，遥控车向前移动一次，若抛掷出的骰子正面向上的点数是 1，2，3，4，5，遥控车向前 移动一格（从 k 到 k1） ，若抛掷出的骰子正面向上的点数是 6，遥控车向前移动两格（从 k 到
15、 k2） ， 直到遥控车移动到第 49 格 （胜利大本营） 或第 50 格 （失败大本营） 时， 游戏结束 设 遥控车移动到第 n 格的概率为 pn，试证明pnpn1（1n49，nN）是等比数列，并求 出 p50，再根据 p50的值解释这种游戏方案对意向客户是否具有吸引力 解析： （1）x 000250205000450255000950305000450355 000150405300，故估计该国军人在射击比赛预赛中得分的平均数为 300 （2）因为 xN（300，502） ，所以 P（350 x400）1 2（0954 50682 7）0135 9 （3）遥控车开始在第 0 格为必然事件，
16、故 p01第一次抛掷骰子，若正面向上不出现 6 点， 则遥控车移动到第 1 格，概率为5 6，即 p1 5 6遥控车移动到第 n（2n49，nN）格的情 况只有如下两种：遥控车先移动到第 n2 格，再抛掷骰子，出现正面向上的点数为 6，概 率为1 6pn2；遥控车先移动到第 n1 格，抛掷骰子，出现正面向上的点数不是 6，概率为 5 6pn 1因此 pn1 6pn2 5 6pn1，则 pnpn1 1 6（pn1pn2） ，故当 1n49 时，pnpn1是 首项为 p1p01 6，公比为 1 6的等比数列，故 pnpn1 1 6 n 因为 pnp0（p1p0）（p2p1）（pnpn1）1 1 6 1 1 6 2 1 6 n 1 1 6 n1 1 1 6 6 7 1 1 6 n1 ，p501 6p48 1 6 6 7 1 1 6 49 1 7 1 1 6 49 易知 p501 2，p491p50 1 2，故这种游戏方案使得参与客户中奖的可能性较大，对意向客户 有吸引力