1、 破解解析几何中重、难点策略 授课提示：对应学生用书第 200 页 （一）图形对称性问题 近几年高考和模考中的圆锥曲线综合题中，出现了不少关于轴对称、中心对称、平行、垂直、 中垂线、弦的中点、特殊几何图形或特殊几何图形内接于圆锥曲线等问题，用解析几何呈现 出来的形式往往是角相等或互补、斜率相等或互为相反数、过定点或为定值等，这种题型能 有效考查考生的直观想象、数学运算和逻辑推理等核心素养 例 1 （2021 安庆模考）经过点 3，1 2 的椭圆 C：x 2 a2 y2 b21（ab0）的右顶点为 A，上顶 点为 B，且直线 AB 的斜率为1 2 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2） 设不垂直
2、于 x 轴的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 P， Q， O 为坐标原点， 点 N （4， 0） 若 P，Q，N 三点不共线，且ONPONQ证明：动直线 l 经过定点 解析 （1）因为 A（a，0） ，B（0，b） ，所以b0 0a 1 2，即 a2b 因为点 3，1 2 在椭圆上，所以 3 a2 1 4b21，即 3 4b2 1 4b21，解得 b 21，a24 故椭圆 C 的标准方程是x 2 4y 21 （2）证明：设直线 l 的方程为 ykxm（k0） ，与 C 的方程联立得 ykxm， x2 4y 21，消去 y 得， （14k2）x28kmx4m240，（8km） 24（14k2
3、） （4m24）16（4k2m21）0 设 P（x1，kx1m） ，Q（x2，kx2m） ，则 x1x2 8km 14k2，x1x2 4m24 14k2 kPNkQNkx1m x14 kx2m x24 2kx1x2（4km）（x1x2）8m （x14）（x24） 由ONPONQ 知，kPNkQN0， 所以 2kx1x2（4km） （x1x2）8m2k 4m24 14k2 （4km）8km 14k28m 8km28k 14k2 32k2m8km2 14k2 8m0，得 mk，满足 0 故动直线 l 的方程为 ykxk，过定点（1，0） 本题中，由 kPNkQN0 构建方程找到 m，k 的关系是解
4、题的关键设直线 l 的方程和点 P，Q 的坐标，将直线方程与椭圆方程联立消元，利用根与系数的关系建立方程与不等式是解题的 难点 例 2 已知动圆过定点 M（0，4） ，且截 x 轴所得的弦 AB 的长为 8 （1）求动圆圆心的轨迹 C 的方程； （2）过轨迹 C 上一个定点 P（m，n） （m0）引它的两条弦 PS，PT，直线 PS，PT 的斜率存 在且倾斜角互为补角证明：直线 ST 的斜率为定值 解析 （1）设动圆圆心 C 的坐标为（x，y） ，则（x0）2（y4）242y2， 整理得 x28y 故所求动圆圆心的轨迹 C 的方程为 x28y （2）证明：设 S（x1，y1） ，T（x2，y2
5、） ，则有 x218y1，x228y2，m28n 因为直线 PS，PT 的斜率存在且倾斜角互为补角，所以 kPSkPT0， 即y1n x1m y2n x2m 1 8x 2 11 8m 2 x1m 1 8x 2 21 8m 2 x2m x1m 8 x2m 8 0， 所以 x1x22m 故直线 ST 的斜率 ky1y2 x1x2 1 8x 2 11 8x 2 2 x1x2 x1x2 8 m 4，为定值 本题中，将倾斜角互为补角这一条件转化为 kPSkPT0，建立方程得到 x1，x2，m 之间的关系 是解题的关键 对点训练 已知定圆 A： （x 3）2y216，动圆 M 过点 B（ 3，0） ，且和
6、圆 A 相切 （1）求动圆圆心 M 的轨迹 E 的方程； （2）直线 l：ykxm（k0）与轨迹 E 交于 C，D 两点，点 P（0，1） ，且|PC|PD|，求 实数 m 的取值范围 解析： （1）圆 A 的圆心为（ 3，0） ，半径 r14 设动圆 M 的半径为 r2，依题意有 r2|MB| 由|AB|2 32 3 所以动点 M 的轨迹 E 是以 A，B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆，其方程为x 2 4y 21 （2）设 C（x1，y1） ，D（x2，y2） ，联立 l 与 E 的方程得 x 2 4y 21， ykxm， 消去 y 得（14k2）x2 8kmx4m240， 由 64k2m2
7、16（m21） （14k2）0 得 14k2m2， 则 x1x2 8km 14k2， y1y2k（x1x2）2m 2m 14k2，弦 CD 的中点 N 4km 14k2， m 14k2 易知 PNCD，所以直线 PN 的方程是 y1 kx1 因为点 N 4km 14k2， m 14k2 在此直线上， 所以 m 14k2 1 k 4km 14k2 1， 整理得 3m14k2，代入 14k2m2，得 m23m0，解得 0m1，m1 3 故实数 m 的取值范围是 1 3，3 （二）解析几何减少运算量的常见技巧 技巧 1 巧用几何性质减少运算量 例 3 已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C： x2 a
8、2 y2 b21（ab0）的左焦点，A，B 分别为 C 的左、 右顶点 P 为 C 上一点， 且 PFx 轴 过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M， 与 y 轴交于点 E 若 直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（ ） A1 3 B1 2 C2 3 D3 4 解析 设 OE 的中点为 N，如图，因为 MFOE，所以有ON MF a ac， MF OE ac a 又因为 OE2ON，所以有1 2 a ac ac a ，解得 ec a 1 3 答案 A 此题也可以用解析法解决，但有一定的计算量，巧用三角形的相似比可简化计算 技巧 2 设而不求整体代换 例 4 已知椭圆 E：
9、x 2 a2 y2 b21（ab0）的右焦点为 F（3，0） ，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点若 AB 的中点坐标为 M（1，1） ，则 E 的标准方程为（ ） Ax 2 45 y2 361 Bx 2 36 y2 271 Cx 2 27 y2 181 Dx 2 18 y2 91 解析 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则 x1x22，y1y22， x21 a2 y21 b21， x22 a2 y22 b21， 得（x1x2）（x1x2） a2 （y1y2）（y1y2） b2 0， 所以 kABy1y2 x1x2 b2（x1x2） a2（y1y2） b2 a2 又 kAB0
10、1 31 1 2，所以 b2 a2 1 2 又 9c2a2b2，解得 b29，a218， 所以椭圆 E 的标准方程为x 2 18 y2 91 答案 D 本题设出 A，B 两点的坐标，却不求出 A，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线 AB 的斜率，通 过将直线 AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题 技巧 3 巧妙“换元”整体减少运算量 例 5 已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21（ab0）的焦距为 2c，且 b 3c，圆 O：x 2y2r2（r0） 与 x 轴交于点 M，N，P 为椭圆 E 上的动点，|PM|PN|2a，PMN 面积的最大值为 3 （1）求圆 O 与椭圆
11、 E 的方程； （2）圆 O 的切线 l 交椭圆 E 于点 A，B，求|AB|的取值范围 解析 （1）因为 b 3c，所以 a2c 因为|PM|PN|2a，所以点 M，N 为椭圆的焦点，所以 r2c21 4a 2 设 P（x0，y0） ，则by0b，所以 SPMNr |y0|1 2a|y0|， 当|y0|b 时， （SPMN）max1 2ab 3， 所以 c1，b 3，a2 所以圆 O 的方程为 x2y21，椭圆 E 的方程为x 2 4 y2 31 （2）当直线 l 的斜率不存在时，不妨取直线 l 的方程为 x1， 则可取 A 1，3 2 ，B 1，3 2 ，|AB|3 当直线 l 的斜率存在
12、时，设直线 l 的方程为 ykxm，A（x1，kx1m） ，B（x2，kx2m） 因为直线 l 与圆 O 相切，所以 |m| 1k21，即 m 21k2 联立得 x 2 4 y2 31， ykxm， 消去 y 可得（4k23）x28kmx4m2120， 64k2m24（4k23） （4m212）48（4k23m2）48（3k22）0，x1x2 8km 4k23， x1x24m 212 4k23 |AB| k21 （x1x2）24x1x2 4 3 k21 4k23m2 4k23 4 3 （k21）（3k22） 4k23 4 3 k23 4 1 4 3 k23 4 1 4 4k23 3 1 16
13、1 k23 4 21 2 1 k23 4 3 令 t 1 k23 4 ，则 0t4 3， 所以|AB| 3 1 16t 21 2t3，0t 4 3， 所以|AB| 3 1 16（t4） 24，所以 30）的焦点到直线 l：yx 的距离为 2 8 （1）求抛物线 C 的方程； （2）如图， 若 N 1 2，0 ，直线 l与抛物线 C 相交于 A，B 两点，与直线 l 相交于点 M， 且|AM| |MB|，求ABN 面积的取值范围 解析： （1）易知抛物线 C：x22py（p0）的焦点坐标为 0，p 2 ， 则由题意得 p 2 2 2p 4 2 8 ，解得 p1 2， 所以抛物线 C 的方程为 x
14、2y （2）由题意可设 M（m，m） （m0） ，直线 l：ymk（xm） （k1） ， 将直线 l的方程代入抛物线的方程 x2y，消去 y，得 x2kxkmm0 因为直线 l与抛物线 C 相交于 A，B 两点， 所以 k24（kmm）k24km4m0 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1x2k， 又 x1x22m，所以 k2m， 代入 k24km4m0，解得 0m1 又 k1，所以 m1 2，故 0m 1 2或 1 2m1 故直线 l的方程为 y2mx2m2m， x1x22m，x1x22m2m 故点 N 到直线 AB 的距离 d|m2m 2m| 14m2 2|mm 2| 14m2， |AB| 14m2 |x1x2|14m2 （x1x2）24x1x2 14m2 2 mm2， SABN1 2|AB| d2|mm 2| mm2 令 t mm2，则 SABN2t3 因为 0m1 2或 1 2m1，所以 0t 1 2， 所以 2t3 0，1 4 ，即 SABN 0，1 4 所以ABN 面积的取值范围为 0，1 4