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2022届高三统考数学(文科)人教版一轮复习学案:2.2 函数的单调性与最值

1、第二节第二节 函数的单调性与最值函数的单调性与最值 【知识重温】【知识重温】 一、必记 2 个知识点 1函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数 f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自 变量的值 x1,x2 当 x1x2时,都有_,那么就说函 数 f(x)在区间 D 上是增函数; 当 x1x2时, 都有_, 那么就说函数f(x)在区间D上 是减函数 图象描述 自左向右看图象是_ 自左向右看图象是 _ 注:定义的两种形式 设 x1,x2D 且 x10(x1x2) f(x1)f(x2)0,则 f(x)为增函数;若 fx1fx2 x1x2

2、 0(x1x2)f(x1)f(x2)0,则函数 f(x) 在区间 D 上是增函数( ) (5)已知函数 yf(x)在 R 上是增函数,则函数 yf(x)在 R 上是减函数( ) 二、教材改编 2已知函数 f(x) 2 x1,x2,6,则 f(x)的最大值为( ) A3 B1 C2 D4 3已知函数 f(x)4x2kx8 在5,20上具有单调性,则实数 k 的取值范围是 _ 三、易错易混 4函数 f(x)1x 1x的单调减区间为( ) A(,1) B(1,) C(,1),(1,) D(,1)(1,) 5若函数 f(x)x22(a1)x2 的单调递减区间是(,4,则实数 a 的值是_ 四、走进高考

3、 62019 北京卷下列函数中,在区间(0,)上单调递增的是( ) Ay 1 2 x By2 x Cy 1 2 log x Dy1 x 考点一 确定函数的单调性(区间) 分层深化型 考向一:判断函数的单调性 1判断函数 y2x 23 x 的单调性 考向二:利用函数图象求函数的单调区间 2求函数 f(x)x22|x|1 的单调区间 考向三:求复合函数的单调区间 3函数 f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是( ) A(,2) B(,1) C(1,) D(4,) 悟 技法 1.确定函数单调性(区间)的三种常用方法 (1)定义法:一般步骤:任取 x1,x2D,且 x10,则 kf(x)与 f(x

4、)单调性相同;若 k0,1sin x1 等)确定函数的值域 (5)分离常数法:形如求 ycxd axb(ac0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解 另外,基本不等式法、导数法求函数值域或最值也是常用方法. 考点三 函数单调性的应用分层深化型 考向一:比较函数值的大小 例 1 2021 郑州模拟已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x), 且函数 f(x)在(, 0)上是减函数,若 af(1),bf log21 4 ,cf(20.3),则 a,b,c 的大小关系为( ) Acba Bacb Cbca Dabc 考向二:解不等式 例 2 已知函数 f(x) x21,x0, 1,xf

5、(2x)的 x 的取值范围是( ) A(0, 21) B(1, 21) C(0, 21) D(1, 21) 考向三:求参数的值或取值范围 例 3 2021 黑龙江哈工大附中月考若函数 f(x) ax,x1, 4a 2 x2,x1 在其定义域上为 增函数,则实数 a 的取值范围是( ) A(4,8) B4,8) C(1,) D(1,8) 听课笔记: 悟 技法 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小 (2)解不等式利用函数的单调性将“f”符号脱掉,转化为具体的不等式求解,应注意函数的 定义域 (3)利用单调性求参数 依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较

6、; 需注意:若函数在区间a,b上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; 分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值. 同类练(着眼于触类旁通) 1已知 f(x)2x2 x,a 1 4 7 ( ) 9 ,b 1 5 9 ( ) 7 ,clog27 9,则 f(a),f(b),f(c)的大小顺序 为( ) Af(b)f(a)f(c) Bf(c)f(b)f(a) Cf(c)f(a)f(b) Df(b)f(c)f(a) 2已知函数 f(x)x|x|,x(1,1),则不等式 f(1m)1, 对于任意 x1x2都有fx1fx2 x1x2 0 成立,则实数 a 的取值范围是(

7、) A(1,3 B(1,3) C(1,2 D(1,2) 42021 广州模拟已知函数 f(x)在(,)上单调递减,且当 x2,1时,f(x)x2 2x4,则关于 x 的不等式 f(x)1 的解集为( ) A(,1) B(,3) C(1,3) D(1,) 拓展练(着眼于迁移应用) 52021 贵阳市高三摸底函数 y x5 xa2在(1,)上单调递增,则 a 的取值范围是 ( ) Aa3 Bax11 时,f(x2) f(x1) (x2x1)ab Bcba Cacb Dbac 第二节第二节 函数的单调性与最值函数的单调性与最值 【知识重温】【知识重温】 f(x1)f(x2) 上升的 下降的 增函数

8、减函数 单调区间 f(x)0 f(x)0,所以幂函数 y 1 2 x 在(0,)上单调递增 B 选项,指数函数 y2 x(1 2) x在(0,)上单调递减 C 选项,因为 01 21,所以对数函数 y 1 2 log x 在(0,)上单调递减 D 选项,反比例函数 y1 x在(0,)上单调递减 答案:A 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析:因为 f(x)2x 23 x 2x3 x,且函数的定义域为(,0)(0,),而函数 y 2x 和 y3 x在区间(,0)上均为增函数,根据单调函数的运算性质,可得 f(x)2x 3 x在 区间(,0)上为增函数 同理,可得 f(x)2x3 x在区间(0

9、,)上也是增函数 故函数 f(x)2x 23 x 在区间(,0)和(0,)上均为增函数 2解析:f(x) x22x1,x0, x22x1,x0 x122,x0, x122,x0,得 x4 或 x2. 设 tx22x8,则 yln t 为增函数 要求函数 f(x)的单调递增区间,即求函数 tx22x8 在定义域内的单调递增区间 函数 tx22x8 在(,2)上单调递减,在(4,)上单调递增,函数 f(x)的单 调递增区间为(4,) 答案:D 考点二 4解析:因为函数 f(x)x1 x在 2,1 3 上是减函数,所以 f(x)maxf(2)21 2 3 2. 答案:A 5解析:令 t x1,则 t

10、0 且 xt21, 所以 yt21t t1 2 23 4,t0, 所以当 t1 2时,ymin 3 4. 答案:3 4 6解析:y3x1 x2 3x27 x2 3 7 x2, 因为 7 x20,所以 3 7 x23,所以函数 y 3x1 x2 的值域为y|yR 且 y3 答案:y|yR 且 y3 考点三 例 1 解析:函数 f(x)满足 f(x)f(x),cf(20.3)f(20.3) 120.320.32,即120.3log21 4. 函数 f(x)在(,0)上是减函数, f(1)f(20.3)f log21 4 ,即 acf(2x)等价于 1x20, 2x0 或 1x20, 2x0, 1x

11、22x, 解得1x1, 4a 20, a6a 2, 解得 4a 1 5 9 ( ) 7 1, clog27 90, 所以 cba.因为 f(x)2 x2x2x 1 2 x在 R 上单调递增,所以 f(c)f(b)f(a) 答案:B 2解析:由已知得 f(x) x2,1x0, x2,0 x1, 则 f(x)在(1,1)上单调递减, 所以 11m1, 1m211, m211m, 解得 0m1, 所以所求解集为(0,1) 答案:(0,1) 变式练 3解析:根据题意,由fx1fx2 x1x2 0,易知函数 f(x)为 R 上的单调递减函数,则 a31, a352a, 解得 1a2.故选 C. 答案:C 4解析:因为 f(1)1,所以 f(x)1,等价于 f(x)1,所以关于 x 的不等式 f(x)1 的解集为(1,) 答案:D 拓展练 5解析:y x5 xa2 xa2a3 xa2 1 a3 xa2,所以当 a3x11时, f(x2)f(x1)(x2x1)ac.故选 D 项 答案: D