1、第一节第一节 函数及其表示函数及其表示 【知识重温】【知识重温】 一、必记 3 个知识点 1函数与映射的概念 函数 映射 两集合 A，B A，B 是两个非空数集 A，B 是两个_ 对应关系 f：AB 按照某种确定的对应关系 f， 对于集合A中的_一 个数 x，在集合 B 中有 _的数 f(x)和它对应 按某一个确定的对应关系 f， 对于集合A中的_一 个元素 x，在集合 B 中都有 _的元素 y 与之对应 名称 那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 那么就称对应 f：AB 为从集 合 A 到集合 B 的一个映射 记法 yf(x)，xA 对应 f：AB 是一个映射 2.函数的
2、有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数 yf(x)，xA 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的_；与 x 的 值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的_.显然，值域是集 合 B 的子集 (2)函数的三要素 _、_和_. (3)相等函数 如果两个函数的_和_完全一致，那么这两个函数相等，这是判断两 个函数相等的依据 (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有：_、_、_. 3分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因_不同而分别用几个不同的式子来 表示，这种函数称为分段函数 (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_，其值域等于各段函数的值域
3、的_，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数 二、必明 3 个易误点 1解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则 2易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从 A 到 B 的一个映射，A，B 若不是数集，则这个映射便不是函数 3易误把分段函数理解为几种函数组成 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)f(x) 1 x4 3x是一个函数( ) (2)AR，BR，f：xy 1 x1，表示从集合 A 到集合 B 的映射(也是函数)( ) (3)函数 f(x)的图象与直线 x1 的交点最多有 2 个( )
4、 (4)y2x(x1,2)的值域是 2,4.( ) (5)yln x2与 y2ln x 表示同一函数( ) (6)f(x) x21，1x1， x3，x1或x1或x1. ( ) 二、教材改编 2下列函数 f(x)与 g(x)是同一个函数的是( ) Af(x)x1，g(x)x 2 x1 Bf(x)x 2，g(x)( x)4 Cf(x)x2，g(x)3x6 Df(x)x，g(x) x2 3已知函数 f(x) x12，x1， x1，10， 则 f(f(2)_. 三、易错易混 4已知函数 f(x) 2x，x0， x1，x0. 若 f(a)f(1)0，则实数 a 的值等于( ) A3 B1 C1 或3 D
5、3 5函数 yx 2x1的值域为_ 四、走进高考 62019 江苏卷函数 y 76xx2的定义域是_ 考点一 函数的定义域自主练透型 12020 北京卷函数 f(x) 1 x1ln x 的定义域是_ 2函数 y lg2x 12xx2(x1) 0的定义域是( ) Ax|3x1 Bx|3x2 且 x1 Cx|0 x2 Dx|1x2， x22，x2， 则 f(f(1)( ) A1 2 B2 C4 D11 (2)2021 山西太原三中模拟设函数 f(x) x21x2， log2x0 x2. 若 f(m)3，则 f 5 2m _. 考向二：分段函数与方程、不等式的综合问题 例 3 (1)设函数 f(x)
6、 4xa，x1， 2x，x1， 若 f f 2 3 4，则实数 a( ) A2 3 B 4 3 C4 3或 2 3 D2 或 2 3 (2)2018 全国卷设函数 f(x) 2 x，x0， 1，x0， 则满足 f(x1)f(2x)的 x 的取值范围是 ( ) A(，1 B(0，) C(1,0) D(，0) 悟 技法 1.求分段函数的函数值 (1)基本步骤 确定要求值的自变量属于哪一区间 代入该区间对应的解析式求值 (2)两种特殊情况 当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值 当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点 2解分段函数与方程或不等式的综合问
7、题的策略 求解与分段函数有关的方程或不等式问题，主要表现为解方程或不等式应根据每一段 的解析式分别求解若自变量取值不确定，则要分类讨论求解；若自变量取值确定，则只需 依据自变量的情况直接代入相应的解析式求解解得值(范围)后一定要检验是否符合相应段的 自变量的取值范围. 同类练(着眼于触类旁通) 42021 福州市高三质量检测函数 f(x) x，x0 ，则 f(f(1) ( ) A5 B0 C1 D2 变式练(着眼于举一反三) 62021 惠州市高三第二次调研考试试题设函数 f(x) x2x2x1 1lg xx1 ，则 f(f(4) _. 7设 f(x) x，0 x1， 2x1，x1， 若 f(
8、a)f(a1)，则 f 1 a ( ) A2 B4 C6 D8 拓展练(着眼于迁移应用) 82021 广东金山中学检测已知 f(x) x 2x0， x2x0 时，2a2，a1(舍去)， 当 a0 时，a12，a3.故选 A. 答案：A 5解析：令 t 2x1，则 t0，且 xt 21 2 . 故 yt 21 2 t1 2(t1) 21，t0，) y1 2. 函数 yx 2x1的值域为1 2，) 答案： 1 2， 6解析：由题意知 76xx20. 即 x26x70.解得1x7， 故函数的定义域为1,7 答案：1,7 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析：函数 f(x) 1 x1ln x 的自
9、变量满足 x10， x0， x0，即定义域为(0，) 答案：(0，) 2解析：要使函数解析式有意义，须有 2x0， 12xx20， x10， 解得 x2， 3x4， x1， 所以3x2 且 x1.故已知函数的定义域为x|3x0，所以 t1， 所以 f(t)lg 2 t1. 即 f(x)的解析式是 f(x)lg 2 x1(x1) (2)(待定系数法)设 f(x)ax2bxc(a0)， 又 f(0)c3. 所以 f(x)ax2bx3， 所以 f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)3(ax2bx3)4ax4a2b4x2. 所以 4a4， 4a2b2， 所以 a1， b1. 所以所求函数的解析式为
10、f(x)x2x3. (3)(解方程组法)因为 2f(x)f(x)2x， 将 x 换成x 得 2f(x)f(x)2x， 由消去 f(x)，得 3f(x)6x， 所以 f(x)2x. 答案：(1)f(x)lg 2 x1(x1) (2)f(x)x2x3 (3)f(x)2x 变式练 1解析：解法一(配凑法) f( x1)x2 x( x)22 x11( x1)21，且 x 11.f(x)x21(x1) 解法二(换元法) 设 t x1，则 x(t1)2(t1)代入原式有 f(t)(t1)22(t1)t2 2t12t2t21. 故 f(x)x21(x1) 答案：f(x)x21(x1) 2解析：设 f(x)a
11、xb(a0)，则 f(f(x)af(x)ba2xabb4x3， a24， abb3， 解得 a2， b1 或 a2， b3， f(x)2x1 或 f(x)2x3. 答案：f(x)2x1 或 f(x)2x3 3解析：因为 2f(x)f 1 x 3x， 所以将 x 用1 x替换，得 2f 1 x f(x)3 x， 由解得 f(x)2x1 x(x0)， 即 f(x)的解析式是 f(x)2x1 x(x0) 答案：2x1 x(x0) 考点三 例 2 解析：(1)因为 f(1)1223，所以 f(f(1)f(3)3 1 324.故选 C. (2)当 m2 时，m213，所以 m2 或 m2(舍)； 当 0
12、m2 时，log2m3，所以 m8(舍) 所以 m2.所以 f 5 2m f 1 2 log21 21. 答案：(1)C (2)1 例 3 解析：(1)因为2 31，所以 f 2 3 42 3aa 8 3. 若 a8 31，即 a 5 3时， 8 3 2 a 4， 即 a8 32a 2 3 5 3(成立)； 若 a8 31，即 a 5 3时，则 4a 32 3 a4， 即 a4 3 5 3(舍去)，综上 a 2 3. (2)将函数f(x)的图象画出来， 观察图象可知 2x0， 2xx1， 解得x0， 所以满足f(x1)f(2x) 的 x 的取值范围是(，0)故选 D. 答案：(1)A (2)D
13、 同类练 4解析：因为 f(x) x，x0 ex1，x0 ，所以 f(2)f(1)e211e22. 答案：e22 5解析：f(1)123135，f(5)2(5)122，故选 D. 答案：D 变式练 6解析：f(4)164210，所以 f(f(4)f(10)1lg 100. 答案：0 7解析：解法一 当 0a1. 所以 f(a) a，f(a1)2(a11)2a. 由 f(a)f(a1)得 a2a， 所以 a1 4. 此时 f 1 a f(4)2(41)6. 当 a1 时，a11， 所以 f(a)2(a1)，f(a1)2(a11)2a. 由 f(a)f(a1)得 2(a1)2a，无解 综上，f 1 a 6，故选 C. 解法二 因为当 0 x1 时，f(x) x，为增函数， 当 x1 时，f(x)2(x1)，为增函数， 又 f(a)f(a1)，所以 a2(a11)， 所以 a1 4. 所以 f 1 a f(4)6. 答案：C 拓展练 8解析：当 x0 时，f(x)x 20， 所以 f(f(x)f x 2 x 41，解得 x4； 当 x0， 所以 f(f(x)f(x2)x 2 21，解得 x 2(舍)或 x 2. 综上，f(f(x)1 的解集为(， 24，)故选 D. 答案： D