1、第六节第六节 对数与对数函数对数与对数函数 【知识重温】【知识重温】 一、必记 4 个知识点 1对数的概念 (1)对数的定义 如果_，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作_， 其中_叫做对数的底数，_叫做真数 (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为 a(a0 且 a1) _ 常用对数 底数为_ _ 自然对数 底数为_ _ 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ()alogaN_(a0 且 a1)； ()logaaN_(a0 且 a1) (2)对数的重要公式 ()换底公式：_(a，b 均大于零且不等于 1)； ()logab 1 logba，推广 logab
2、logbc logcd_. (3)对数的运算法则 如果 a0 且 a1，M0，N0，那么 ()loga(MN)_； ()logaM N_； ()logaMn_(nR)； ()logamMnn mlogaM(m，nR) 3对数函数的图象与性质 a1 0a1 时， 22_ 当 0 x1 时， 24_ 当 0 x0. 2在解决与对数函数有关的问题时易漏两点： (1)函数的定义域； (2)对数底数的取值范围 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数 ylog2(x1)是对数函数( ) (2)log2x22log2x.( ) (3)当 x1 时
3、，logax0.( ) (4)函数 yln1x 1x与 yln(1x)ln(1x)的定义域相同( ) 二、教材改编 2使式子 log(2x1)(2x)有意义的 x 的取值范围是( ) Ax2 Bx2 C.1 2x2 D. 1 2x2 且 x1 3已知 f(x)|lg x|，若 af(1 4)，bf( 1 3)，cf(2)，则( ) Aabc Bbca Ccab Dcba 三、易错易混 4已知函数 f(x)lg(x22ax5a)在2，)上是增函数，则 a 的取值范围为_ 5函数 y3loga(x3)的图象必经过定点的坐标为( ) A(2,3) B(1,4) C(0,3) D(2,2) 四、走进高
4、考 62020 天津卷设 a30.7，b 1 3 0.8，clog 0.70.8，则 a，b，c 的大小关系为( ) Aabc Bbac Cbca Dca0，且 a1)的值域为y|y1，则函数 yloga|x|的图象大致是 ( ) (2)当 0 x1 2时，4 x0，a1，函数 yax与 yloga(x)的图象可能是( ) 2已知函数 f(x) log2x，x0， 3x，x0， 关于 x 的方程 f(x)xa0 有且只有一个实根，则实 数 a 的取值范围是_ 考点三 对数函数的性质及应用分层深化型 考向一：比较对数值的大小 例 2 2020 全国卷设 alog32，blog53，c2 3，则(
5、 ) Aacb Babc Cbca Dca0 且 a1)满足 f 2 a 0 的解集为( ) A(0,1) B(，1) C(1，) D(0，) 考向三：与对数函数有关的函数性质问题 例 4 (1)函数 yloga(2ax)在区间0,1上是减函数，则 a 的取值范围是( ) A(0,1) B(0,2) C(1,2) D(2，) (2)若函数 f(x) x6，x2， 3logax，x2 (a0，且 a1)的值域是4，)，则实数 a 的取值范 围是_ 悟 技法 1. 比较对数值大小的方法 若底数相同，真数不同 若底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断；若底 数为同一字母，则需对底数进行分类
6、讨论 若底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 若底数与真数都不同 常借助 1,0 等中间量进行比较 2.求解对数不等式的两种类型及方法 类型 方法 形如 logaxlogab 借助 ylogax 的单调性求解，如果 a 的取值不确定，需分 a1 与 0ab 需先将 b 化为以 a 为底的对数式的形式，再借助 ylogax 的单调 性求解 3.解与对数函数有关的函数性质问题的三个关注点 (1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论 (2)底数与 1 的大小关系(分类讨论) (3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的. 同类练(着眼于触类旁通) 3已知 a 1 3
7、 2 ，blog21 3，c 1 2 1 log 3 ，则( ) Aabc Bacb Ccba Dcab 4函数 f(x)log2x log 2(2x)的最小值为_ 变式练(着眼于举一反三) 52019 天津卷已知 alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则 a，b，c 的大小关系为( ) Aacb Babc Cbca Dcab 6 已知函数 f(x)loga|x|在(0， )上单调递增， 则 f(2)_f(a1) (填“ ”) 拓展练(着眼于迁移应用) 7设函数 f(x) log2x，x0， log1 2x，xf(a)，则实数 a 的取值范围是( ) A(1,0)(0,1) B(
8、，1)(1，) C(1,0)(1，) D(，1)(0,1) 第六节第六节 对数与对数函数对数与对数函数 【知识重温】【知识重温】 axN(a0 且 a1) xlogaN a N logaN 10 lg N e ln N N N logbNlogaN logab logad logaMlogaN logaMlogaN nlogaM (0， ) R (1,0) 1 210 22y0 23y0 24y0 26增函数 27减函数 28ylogax 29yx 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) (4) 2解析：要使 log(2x1)(2x)有意义，则 2x0 2x10 2x11 ，
9、解得1 2x2 且 x1.故选 D. 答案：D 3解析：f(x)|lg x| lg x，x1， lg x，0 x1. 作出 f(x)的图象如图 f(x)在(0,1)上为减函数 01 4 1 3f( 1 3)即 ab. 又bf(1 3)|lg 1 3|lg 3|lg 2|f(2)c， abc. 答案：D 4 解析： 函数 f(x)lg(x22ax5a)在2， )上是增函数， 则函数 tx22ax5a 在2， )上是增函数，并且 tx22ax5a 在区间2，)上的最小值大于 0，因此可得 a2， 44a5a0， 解得2a4. 答案：2,4) 5解析：因为当 x2 时，y303，所以该函数的图象必过
10、定点(2,3) 答案：A 6解析：由题知 clog0.70.830.7a1，所以 ca1， 则 ylogax 在(0，)上是增函数， 又函数 yloga|x|的图象关于 y 轴对称 因此 yloga|x|的图象应大致为选项 B. (2)解法一 构造函数 f(x)4x和 g(x)logax，当 a1 时不满足条件，当 0a1 时，画出两 个函数在 0，1 2 上的图象， 可知， f 1 2 g 1 2 ， 即 2 2 2 ， 所以 a 的取值范围为 2 2 ，1 . 解法二 0 x1 2，14 x1， 0a1，排除选项 C，D；取 a1 2，x 1 2， 则有 1 2 4 2， 1 2 1 lo
11、g 2 1， 显然 4x1. 答案：(1，) 考点三 例 2 解析：2332，2 2 3 3 ，log32log3 2 3 3 2 3，a52，3 2 3 5 ，log53 log5 2 3 5 2 3，bc，ac0 且 a1)在(0，)上为单调函数，而2 a 3 a 且 f 2 a 02x11，所以 x1. 解法二 由 f 2 a loga 3 a， 所以 loga21loga31，所以 loga21，由 f(2x1)0 得 loga(2x1)0，所以 2x11，即 x1. 答案：C 例 4 解析：(1)题中隐含 a0，2ax 在区间0,1上是减函数ylogau 应为增函数， 且 u2ax
12、在区间0,1上应恒大于零， a1， 2a0， 1a1 时，3logax3loga24， 所以 loga21，所以 1a2； 当 0a1 时，3logax3loga2，不符合题意 故 a(1,2 答案：(1)C (2)(1,2 同类练 3解析：因为 0a1，b1.所以 cab. 答案：D 4解析：f(x)1 2log2x 2log2(2x)log2x(log22log2x)log2x(log2x) 2 log2x1 2 21 4，所 以当 log2x1 2，即 x 2 2 时，f(x)取得最小值1 4. 答案：1 4 变式练 5解析：alog520.511 2，故 alog0.50.252， 而 c0.50.20.501，故 cb.所以 ac1，所以 a12.因为 f(x)是偶 函数，所以 f(2)f(2)f(a1) 答案：0，则 log2a 1 2 log a，即 2log2a0，所以 a1.若 a log2(a)，即 2log2(a)0，所以 0a1，所以1a0. 综上知，实数 a 的取值范围是(1,0)(1，) 答案：C