1、第四节第四节 二次函数与幂函数二次函数与幂函数 【知识重温】【知识重温】 一、必记 2 个知识点 1幂函数 (1)定义： 形如_的函数称为幂函数， 其中底数 x 是自变量， 为常数 常 见的五类幂函数为 yx，yx2，yx3，y 1 2 x ，yx 1. (2)性质 ()幂函数在(0，)上都有定义； ()当 0 时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，)上单调递增； ()当 0) f(x)ax2bx c(a0 时，幂函数 yxn在(0，)上是增函数( ) (3)二次函数 yax2bxc(xR)不可能是偶函数( ) (4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点( ) (5
2、)二次函数 yax2bxc，xa，b的最值一定是4acb 2 4a .( ) 二、教材改编 2已知幂函数 yf(x)的图象过点(2， 2)，则函数 yf(x)的解析式为_ 3函数 yax26x7a(a0)的值域为2，)，则 a 的值为( ) A1 B9 7 C1 D2 三、易错易混 4函数 y2x26x3，x1,1，则 y 的最小值是( ) A1 B2 C1 D2 5若四个幂函数 yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图象如图所示，则 a，b， c，d 的大小关系是( ) Adcba Babcd Cdcab Dabdc 四、走进高考 62020 江苏卷已知 yf(x)是奇函数，当 x0
3、 时，f(x) 2 3 x ，则 f(8)的值是_ 考点一 幂函数的图象及性质自主练透型 1已知点 3 3 ， 3 在幂函数 f(x)的图象上，则 f(x)是( ) A奇函数 B偶函数 C定义域内的减函数 D定义域内的增函数 2幂函数 yxm22m3(mZ)的图象如图所示，则 m 的值为( ) A1 B0 C1 D2 32021 江西九江联考已知 a0.40.3，b0.30.4，c0.3 0.2，则( ) Abac Bbca Ccba Dabc 4若 1 2 (1)a 0，若在(0，)上单调递减，则 4ac；2ab1；abc0；5ab. 其中正确的结论是( ) A B C D 考向二：二次函数
4、的单调性 例 2 2021 河南中原名校联考已知函数 f(x)2ax24(a3)x5 在区间(，3)上是 减函数，则 a 的取值范围是( ) A. 0，3 4 B. 0，3 4 C. 0，3 4 D. 0，3 4 考向三：二次函数的最值 例 3 已知 f(x)4x24ax4aa2在0,1内的最大值为5，则 a 的值为( ) A.5 4 B1 或 5 4 C1 或5 4 D5 或 5 4 考向四：与二次函数有关的恒成立问题 例 4 当 x(1,3)时，若不等式 x2mx40 恒成立，则 m 的取值范围是_ 听课笔记： 悟 技法 1.二次函数最值问题的类型及处理思路 (1)类型：对称轴、区间都是给
5、定的；对称轴动、区间固定；对称轴定、区间变动 (2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点， 一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成 2由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数 (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分 离这两个思路的依据是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min. 变式练(着眼于举一反三) 1函数 f(x)ax22x3 在区间1,3上为增函数的充要条件是( ) Aa0 Ba0 C00，且4
6、a7a6 2 4a 2，即 7a22a90，所以 a1 或 a9 7(舍去) 答案：C 4 解析： 函数 y2x26x3 的图象的对称轴为 x3 21， 函数 y2x 26x3 在 x 1,1上为单调递减函数，ymin2631. 答案：A 5 解析： 观察图象联想 yx2， yx1 2， yx 1 在第一象限内的图象， 可知 c0， d0,0b12d，所以 cd. 综上知 abcd. 答案：B 6解析：由函数 f(x)是奇函数得 f(8)f(8) 2 3 8 (23) 2 3 4. 答案：4 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析：设 f(x)x，由已知得 3 3 3，解得 1， 因此 f(
7、x)x 1，易知该函数为奇函数 答案：A 2解析：从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故 m22m30，即 1ma0.40.30.30.3b0.30.4，c0.3 0.21，所以 bac.故选 A 项 答案：A 4 解析： 易知函数yx1 2的定义域为0， )， 在定义域内为增函数， 所以 a10， 32a0， a132a， 解得1a0， 即 b24ac， 正确；二次函数的图象的对称轴为直线 x1，即 b 2a1,2ab0，错误；结合图象 知，当 x1 时，y0，即 abc0，错误；由对称轴为直线 x1 知，b2a，又函数 的图象开口向下，a0，5a2a，即 5a0， 4a3 22
8、a 3， 解得 0a3 4； 当 a0 时，f(x)12x5 在(，3)上是减函数， 综上可知，a 的取值范围是 0，3 4 . 答案：D 例 3 解析：f(x)4 xa 2 24a，对称轴为直线 xa 2. 当a 21，即 a2 时，f(x)在0,1上递增， f(x)maxf(1)4a2. 令4a25，得 a 1(舍去) 当 0a 21，即 0a2 时，f(x)maxf a 2 4a. 令4a5，得 a5 4. 当a 20，即 a0 时，f(x)在0,1上递减， f(x)maxf(0)4aa2. 令4aa25，解得 a5 或 a1(舍去) 综上所述，a5 4或5.故选 D. 答案：D 例 4
9、 解析：设 f(x)x2mx4. 因为 x(1,3)时，不等式 x2mx40 恒成立， 所以 f10， f30， 即 5m0， 133m0， 解得 m5， 所以 m 的取值范围是(，5 答案：(，5 变式练 1解析：当 a0 时，f(x)为减函数，不符合题意；当 a0 时，函数 f(x)ax22x3 图 象的对称轴为 x1 a， 要使 f(x)在区间1,3上为增函数， 则 a0， 1 a1， 解得 a1.故选 D. 答案：D 2解析：因为函数 f(x)x22x1(x1)2，对称轴 x1， 因为 f(x)在区间a，a2上的最小值为 4， 所以当 1a 时，f(x)minf(a)(a1)24，解得 a1(舍去)或 a3， 当 a21，即 a1 时，f(x)minf(a2)(a1)24，解得 a1(舍去)或 a3， 当 a1a2，即1a1 时，f(x)minf(1)04， 故 a 的取值集合为3,3 答案：3,3 3解析：2ax22x30 在1,1上恒成立， 当 x0 时，30，成立； 当 x0 时，a3 2 1 x 1 3 21 6， 因为1 x(，11，)， 当 x1 时，右边取最小值1 2，a 1 2. 综上，实数 a 的取值范围是 ，1 2 . 答案： ，1 2