1、第一节第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数任意角和弧度制及任意角的三角函数 【知识重温】【知识重温】 一、必记 4 个知识点 1角的分类 (1)任意角可按旋转方向分为_、_、_. (2)按终边位置可分为_和终边在坐标轴上的角 (3)与角 终边相同的角连同角 在内可以用一个式子来表示， 即 _. 2象限角 第一象限角的集合 _ 第二象限角的集合 _ 第三象限角的集合 _ 第四象限角的集合 _ 3.角的度量 (1)弧度制：把等于_长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 (2)角的度量制有：_制，_制 (3)换算关系：1 _rad,1 rad_. (4) 弧 长 及 扇 形 面 积 公 式 ：
2、弧 长 公 式 为 _ ， 扇 形 面 积 公 式 为 _. 4任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 _叫做 的 正弦，记作 sin _叫做 的 余弦，记作 cos _叫做 的 正切，记作 tan 各象 限符 号 _ 21_ 22_ 23_ 24_ 25_ 26_ 27_ 28_ 29_ 30_ 31_ 口诀 一全正，二正弦，三正切，四余弦 三角函 数线 有向线段 32_ 为正弦线 有向线段 33_ 为余弦线 有向线段 34_ 为正切线 二、必明 3 个易误点 1易混概念：第一象限角、锐角、小于 90 的角是概念不同的
3、三类角第一类是象限角， 第二、第三类是区间角 2利用 180 rad 进行互化时，易出现度量单位的混用 3三角函数的定义中，当 P(x，y)是单位圆上的点时有 sin y，cos x，tan y x，但 若不是单位圆时，如圆的半径为 r，则 sin y r，cos x r，tan y x. 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)小于 90 的角是锐角( ) (2)角 k 3(kZ)是第一象限角( ) (3)若 sin sin 7，则 7.( ) (4)300 角与 60 角的终边相同( ) (5)若 A|2k，kZ，B|4k，kZ，则
4、AB.( ) 二、教材改编 2已知 是第一象限角，那么 2是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第一或第二象限角 D第一或第三象限角 3已知角 的终边过点 P(12,5)，则 sin _，cos _. 三、易错易混 4若一扇形的圆心角为 72 ，半径为 20 cm，则扇形的面积为( ) A40 cm2 B80 cm2 C40 cm2 D80 cm2 5角 的终边经过点 P(x,4)，且 cos x 5，则 sin _. 四、走进高考 62020 全国卷，2若 为第四象限角，则( ) Acos 20 Bcos 20 Dsin 20 考点一 象限角与终边相同的角的表示 自主练透型 12018 全
5、国卷下列与角9 4 的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A2k45 (kZ) Bk 360 9 4 (kZ) Ck 360 315 (kZ) Dk5 4 (kZ) 2设 是第三象限角，且|cos 2|cos 2，则 2是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 3若 sin 0，则 是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 4已知角 的终边在直线 y 3x 上，则 的集合 S_. 悟 技法 1.终边在某直线上角的求法 4 步骤 (1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出0,2)内的角； (3)再由终边相同角的表示方法
6、写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合 2确定 k， k(kN *)的终边位置 3 步骤 (1)用终边相同角的形式表示出角 的范围； (2)再写出 k 或 k的范围； (3)然后根据 k 的可能取值讨论确定 k 或 k的终边所在位置. 考点二 扇形的弧长及面积公式互动讲练型 例 1 若扇形的周长为 10，面积为 4，则该扇形的圆心角为_ 变式练(着眼于举一反三) 1若去掉本例中“面积为 4”，则当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？ 悟 技法 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度 (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数
7、的最值问题 (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 2.若扇形的圆心角 120 ，弦长 AB12 cm，则弧长 l_ cm. 3已知扇形的面积为 2 3，扇形的圆心角的弧度数是 3，则扇形的周长为_ 考点三 三角函数的定义及应用分层深化型 考向一：三角函数的定义 例 2 (1)若 是第二象限角，其终边上有一点 P(x， 5)，且 cos 2 4 x，则 sin 的值 是( ) A. 2 4 B. 6 4 C. 10 4 D 10 4 (2)已知角 的终边经过点 P(x，6)，且 cos 5 13，则 1 sin 1 tan _. 考向二：三角函数值的符号 例 3
8、 (1)若|sin x| sin x |cos x| cos x |tan x| tan x 1，则 x 不可能的象限是( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 (2)若 满足 sin cos 0 且 cos sin 0，则 在第_象限 考向三：三角函数线的应用 例 4 设 asin 1，bcos 1，ctan 1，则 a，b，c 的大小关系是( ) Aabc Bacb Cbac Dbca 悟 技法 1.三角函数定义应用策略 (1)已知角 的终边与单位圆的交点坐标，可直接根据三角函数的定义求解 (2)已知角 终边上一点 P 的坐标，则可先求出点 P 到原点的距离 r，然后用三角函
9、数的定义 求解 (3)已知角 的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离， 然后用三角函数的定义的推广形式求解 (4)已知角 的某三角函数值(含参数)或角 终边上一点 P 的坐标(含参数)，可根据三角函数的 定义列方程求参数值 (5)已知角 的终边所在的直线方程或角 的大小，根据三角函数的定义可求角 终边上某特 定点的坐标 2三角函数值符号的记忆口诀 一全正、二正弦、三正切、四余弦 3三角函数线的两个主要应用 (1)三角式比较大小 (2)解三角不等式(方程). 变式练(着眼于举一反三) 4sin 2 cos 3 tan 4 的值( ) A小于 0 B大于 0 C等于
10、 0 D不存在 5已知角 的终边在直线 yx 上，且 cos 0，则 tan _. 6已知角 的终边过点 P(3cos ，4cos )，其中 2， ，则 sin _，tan _. 第四章第四章 三角函数三角函数、解三角形解三角形 第一节第一节 任意角和弧度制及任意角和弧度制及任意角的三角函数任意角的三角函数 【知识重温】【知识重温】 正角 负角 零角 象限角 k 360 (kZ) |2k2k 2， kZ |2k 22k，kZ |2k2k 3 2 ，kZ |2k3 2 2k 2， kZ 半径 角度 弧度 180 180 l|r S1 2lr 1 2|r 2 y x y x 正 21正 22正 2
11、3正 24负 25负 26负 27负 28正 29负 30正 31负 32MP 33OM 34AT 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) (4) (5) 2解析：因为 k 360 90 k 360 ，kZ， 所以 k 180 245 k 180 ，kZ， 当 k 为奇数时， 2是第三象限角； 当 k 为偶数时， 2是第一象限角 答案：D 3解析：r 1225213， sin y r 5 13，cos x r 12 13. 答案： 5 13 12 13 4解析：72 2 5 ， S扇形1 2R 21 2 2 5 20280(cm2) 答案：B 5解析：由题意得 x x216
12、x 5，解得 x0 或 x 3， 当 x0 时，sin 1；当 x 3 时，sin 4 5. 答案：4 5或 1 6解析：解法一 是第四象限角， 22k2k，kZ，4k24k， kZ，角 2 的终边在第三、四象限或 y 轴非正半轴上，sin 20，cos 2 可正、可负、可 零，故选 D. 解法二 是第四象限角，sin 0，sin 22sin cos 0，故选 D. 答案：D 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1 解析： 与角9 4 的终边相同的角可以写成 2k9 4 (kZ)， 但是角度制与弧度制不能混用， 所以只有答案 C 正确 答案：C 2解析： 是第三象限角， 2是第二或第四象限角，又
13、|cos 2|cos 2， cos 20，因此 2是第二象限角 答案：B 3解析：sin 0， 在第一、三象限，故 sin 0 时， 在第三象限 答案：C 4解析：如图，直线 3xy0 过原点，倾斜角为 60 ， 在 0 360 范围内， 终边落在射线 OA 上的角是 60 ， 终边落在射线 OB 上的角是 240 ， 所以以射线 OA，OB 为终边的角的集合为： S1|60 k 360 ，kZ， S2|240 k 360 ，kZ， 所以角 的集合 SS1S2|60 k 360 ， kZ|60 180 k 360 ， kZ |60 2k 180 ，kZ|60 (2k1) 180 ，kZ， 所以
14、角 的集合 S|60 k 180 ，kZ 答案：|60 k 180 ，kZ 考点二 例 1 解析：设圆心角是 ，半径是 r， 则 2rr10， 1 2 r 24 ， 解得 r4 1 2 或 r1 8 (舍去)， 故扇形的圆心角为1 2. 答案：1 2 变式练 1解析：设圆心角为 ，半径为 r， 则 2rr10， S1 2 r 21 2r(102r)r(5r)(r 5 2) 225 4 25 4 . 当且仅当 r5 2时，Smax 25 4 ，2， 所以当 r5 2，2 时，扇形面积最大 2解析：设扇形的半径为 r cm，如图 由 sin 60 6 r得 r4 3 cm， 所以 l| r2 3
15、4 38 3 3 (cm) 答案：8 3 3 3解析：设扇形的弧长为 l，半径为 R，由题意可得：1 2lR2 3， l R 3， 解得：l2 3，R2，则扇形的周长为：l2R42 3. 答案：42 3 考点三 例 2 解析：(1)由三角函数的定义得 cos x r x x25 2 4 x， 解得 x0 或 x 3或 x 3， 是第二象限角，即 x0，x 3， sin y r 5 8 10 4 . (2)因为角 的终边经过点 P(x，6)，且 cos 5 13，所以 cos x x236 5 13，即 x5 2，所以 P( 5 2，6)所以 sin 12 13，所以 tan sin cos 1
16、2 5 ，则 1 sin 1 tan 13 12 5 12 2 3. 答案：(1)C (2)2 3 例 3 解析：(1)当 x 是第一象限角时，|sin x| sin x |cos x| cos x |tan x| tan x 31，故 x 一定不是第一 象限角； 当 x 是第二象限角时， |sin x| sin x |cos x| cos x |tan x| tan x 1111， 即 x 可以是第二象限角； 当 x 是第三象限角时，|sin x| sin x |cos x| cos x |tan x| tan x 1111，即 x 可以是第三象限角；当 x 是第四象限角时，|sin x|
17、sin x |cos x| cos x |tan x| tan x 1111，即 x 可以是第四象限角 (2)sin cos 0， 在第二、四象限，又cos sin 0，( 42k， 5 42k)， kZ， 在第二象限 答案：(1)A (2)二 例 4 解析：如图，设BOC1，由于 41 2，结合三角函数线的定义有 cos 1OC，sin 1CB，tan 1DA，结合几何关系可得 cos 1sin 1tan 1，即 bac. 答案：C 变式练 4解析：因为 22340，cos 30，所以 sin 2 cos 3 tan 40. 答案：A 5解析： 如图，由题意知，角 的终边在第二象限，在其上任取一点 P(x，y)，则 yx，由三角 函数的定义得 tan y x x x 1. 答案：1 6解析：因为 2， ，所以 cos 0，所以 r x 2y2 9cos216cos25cos ， 所以 sin y r 4 5，tan y x 4 3. 答案：4 5 4 3